2026届新高考数学考前冲刺最后一课三次函数的图象与性质

2026届新高考数学考前冲刺最后一课三次函数的图象与性质三次函数图象的零点视角1

f′(x)=x2＋mx－(m＋1)=(x－1)(x＋m＋1)，令f′(x)=0，解得x=1或x=－m－1.①当－m－1＞1，即m＜－2时，由f′(x)＞0，得x＜1或x＞－m－1.由f′(x)＜0，得1＜x＜－m－1，所以f(x)在(－∞，1)和(－m－1，＋∞)上单调递增，在(1，－m－1)上单调递减．②当－m－1=1，即m=－2时，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在R上单调递增．【解答】1③当－m－1＜1，即m＞－2时，由f′(x)＞0得x＞1或x＜－m－1.由f′(x)＜0得－m－1＜x＜1，所以f(x)在(－∞，－m－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－m－1，1)上单调递减．综上，当m＜－2时，f(x)在(－∞，1)和(－m－1，＋∞)上单调递增，在(1，－m－1)上单调递减；当m=－2时，f(x)在R上单调递增；当m＞－2时，f(x)在(－∞，－m－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－m－1，1)上单调递减．

【解答】1研究三次函数的零点问题的策略(1)通过单调性与极值的讨论，研究函数的图象；(2)观察出函数的一个零点，将三次函数转化为二次函数研究；(3)分离参数，先将三次函数分解为两个函数，再讨论交点问题．

【解答】变式1

【解答】变式1

三次函数图象的切线视角2

已知函数f(x)=2x3－3x．(1)求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程；

因为f′(x)=6x2－3，所以f′(0)=－3.又f(0)=0，根据导数的几何意义可知，曲线y=f(x)在x=0处的切线的斜率为－3，所以切线方程为y=－3x．【解答】2

已知函数f(x)=2x3－3x．(2)若过点P(－1，t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切，求实数t的取值范围；

【解答】2

已知函数f(x)=2x3－3x．(3)请问：过点A(0，0)，B(－1，－1)，C(－1，3)，D(1，－1)，E(1，－2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切？

【解答】2

研究过点P(a，b)可以作出几条三次函数f(x)=ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)图象的切线，本质上是研究方程根的个数：设切点，写出切线方程，判断关于切点横坐标的方程有几个实数解．

已知函数f(x)=ax3＋bx2＋cx(a＞0)的极小值为－2，其导函数f′(x)的图象经过A(－1，0)，B(1，0)两点．(1)求f(x)的解析式；

【解答】变式2

已知函数f(x)=ax3＋bx2＋cx(a＞0)的极小值为－2，其导函数f′(x)的图象经过A(－1，0)，B(1，0)两点．(2)若曲线y=f(x)恰有三条过点P(1，m)的切线，求实数m的取值范围．

【解答】

x(－∞，0)0(0，1)1(1，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)↗极大值↘极小值↗变式2

三次函数图象的对称中心视角3

3【解析】

【答案】ABD

【解析】变式3

【答案】BD

【解析】

A

【解析】

【答案】A

【解析】BD

【解析】

【答案】BC5.

(多选)(2025∙武汉一模)已知函数f(x)=ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，若函数g(x)=|f(x＋2)－3|为偶函数，则下列说法一定正确的是

(

)A．y=|f(x)|的图象关于直线x=2对称

B．g(0)=0C．ab＜0 D．f(0)＋f(4)=6

对于A，令f(x)=(x－2)3＋3，则g(x)=|f(x＋2)－3|=|x3|，满足g(x)为偶函数，由|f(0)|=5，|f(4)|=11，知其不关于直线x=2对称，故A错误．对于B，D，g(x)=|f(x＋2)－3|为偶函数，故q(x)=f(x＋2)－3为奇函数，即q(－x)=－q(x)，即f(－x＋2)－3=－f(x＋2)＋3，故f(－x＋2)＋f(x＋2)=6，故点(2，3)为曲线y=f(x)的对称中心，故f(2)=3，则g(0)=|f(2)－3|=0，f(0)＋f(4)=6，故B正确，D正确．【解析】对于C，由题意得f′(x)=3ax2＋2bx＋c，令h(x)=f′(x)，则h′(x)=6ax＋2b，由于曲线y=f(x)的对称中心为(2，3)，结合三次函数的图象特征可知h′(2)=12a＋2b=0，则b=－6a，又a≠0，所以ab＜0，故C正确．【答案】BCD

【解析】8

1027.

已知函数f(x)=x3－4mx2－3m2x＋2，其中m≥0.(1)若f(x)的极