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2026届新高考数学考前冲刺最后一课截面与交线问题题型拆解题型一截面问题1.多面体中的截面问题多面体中找截面的几种方法(1)直接法:有两点在多面体的同一个面上,连接这两点即为多面体与截面的交线,找截面实际就是找交线的过程.(2)延长线法:若直线相交,但在多面体中未体现,可以通过作延长线的方法找到交点,然后借助交点找到交线.(3)平行线法:过直线与直线外一点作截面,若直线所在的平面与点所在的平面平行,可以通过过点作直线的平行线找到多面体与截面的交线.(4)坐标法:建立空间直角坐标系,设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,求截面与多面体各棱的交点坐标(解直线与平面的方程组);按顺序连接交点(确保在多面体内),得到截面.2.球的截面问题球的截面问题的核心是“构建直角三角形(球心、截面圆心、截面圆上点)+运用公式R2=d2+r2”,解决时需明确已知量和待求量,结合截面的位置(过球心、不过球心)、动态变化等特点,灵活转化关系即可.例1

(多选题)(2025·湖南邵阳三模)已知正四面体P-ABC的棱长为2,过点P的截面PEF将正四面体分成体积相等的两部分,则下列说法正确的是(

)A.截面为等腰三角形的个数是6B.截面一定是锐角三角形C.截面可以是等边三角形D.过棱BC的中点N作正四面体外接球的截面,截面圆的面积的最小值是πABD

图1图2如图2,当点F为AC的中点,点E与点B重合时满足题意,此类等腰三角形有3个;无其他类型的等腰三角形,故A正确;

图3

图4

ACD解析

延长B1B至点B2,使得B1B=BB2,取BB2,BC的中点H,K,连接AH,AD1,GD1,GH,AK,因为点E,F,G分别是棱B1B,B1C1,C1C的中点,所以EF∥BC1∥GK∥AD1,在正方体中,A1F∥AK,因为EF⊄平面AKGD1,GK⊂平面AKGD1,所以EF∥平面AKGD1,同理A1E∥平面AKGD1,又EF∩A1E=E,且EF,A1E⊂平面A1EF,所以平面A1EF∥平面AKGD1,则过线段AG作与平面A1EF平行的平面为梯形AKGD1,故A正确,B错误;

例2

在棱长为2的正四面体ABCD中,M,N分别为棱AD,BC的中点,O为线段MN的中点,球O的表面正好经过点M,则球O被平面BCD截得的截面面积为

.

D

题型二交线问题作交线的方法有如下两种:(1)利用基本事实3作交线;(2)利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行,然后根据性质作出交线.例3

(多面体中的交线问题)在正三棱台A1B1C1-ABC中,A1B1=1,AB=AA1=2,点E,F分别为棱BB1,A1C1的中点,若过点A,E,F作截面,则截面与上底面A1B1C1的交线长为

.

[对点训练3](2025·四川成都期中)如图,在棱长为6的正方体中,点P为棱AB的中点,点Q为棱A1D1的中点,点M为棱CC1上靠近

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