第28讲 实验：用单摆测重力加速度（复习讲义）（四川专用）（教师版）

第28讲实验：用单摆测重力加速度目录01TOC\o"1-3"\h\u考情解码·命题预警 102体系构建·思维可视 203核心突破·靶向攻坚 3考点实验：用单摆测重力加速度 3知识点实验：用单摆测重力加速度 3考向1教材原型实验 4考向2创新拓展实验 904真题溯源·考向感知 14考点要求考察形式2025年2024年2023年用单摆测重力加速选择题非选择题\\\考情分析：1．在四川高考物理的知识体系中，“用单摆测重力加速度”实验作为力学实验的重要内容，在考查学生实验操作、数据处理以及误差分析等综合能力方面发挥着关键作用。2．从命题思路上看，试题情景为随着教育对学生创新能力培养的重视，在该实验的命题上，会不断创设新颖的实验情境。可能会结合生活实际（如利用摆钟的原理测量重力加速度）、科技前沿（如在微重力环境下模拟单摆运动）等情境，考查学生从实际情境中抽象出物理模型，运用所学实验知识解决问题的能力复习目标：目标一：掌握单摆测重力加速度的核心原理，熟练推导周期公式，精准把握摆角小于5°的条件要求，以及摆长（摆线长与摆球半径之和）、周期、重力加速度之间的关系，确保对原理的理解无偏差、无盲区。目标二：熟练记忆实验全流程操作规范，包括摆线、摆球的选材标准，摆的安装步骤，计时起点的选择方法（摆球过平衡位置时开始计时），以及多次测量的操作要点，保证实验操作知识零遗漏。目标三.：能精准识别系统误差（如摆长测量错误、摆角过大）和偶然误差（测量工具精度、人为计时误差）来源，熟练分析各类误差对实验结果的影响方向及程度，并提出针对性改进措施，提升误差处理与实验优化能力。考点用单摆测重力加速度知识点用单摆测重力加速度一、实验原理当摆角较小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2πlg，由此得到g＝4π2lT2，因此，只要测出摆长l和振动周期T二、实验器材铁架台、单摆、游标卡尺、毫米刻度尺、停表。三、实验过程1.让细线的一端穿过金属小球的小孔，做成单摆。2.把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图所示。3.用毫米刻度尺量出摆线长度l'，用游标卡尺测出金属小球的直径，得出金属小球半径r，计算出摆长l＝l'＋r。4.把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度（小于5°），然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t，计算出单摆的振动周期T。5.根据单摆周期公式，计算当地的重力加速度。6.改变摆长，重做几次实验。四、数据处理1.公式法：利用T＝tN求出周期，算出三次测得的周期的平均值，然后利用公式g＝4π2.图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l-T2的图像，由单摆周期公式得l＝g4π2T2，图像应是一条过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝4π2k五、注意事项1.一般选用一米左右的细线。2.悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定。3.应在小球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长。4.单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于5°。5.选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数。六、误差分析1.系统误差：本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即：悬点是否固定，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内的摆动以及测量哪段长度作为摆长等等。2.偶然误差：本实验的偶然误差主要来自时间（即单摆周期）的测量上。为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。3.图像分析：单摆周期公式为T＝2πlg，得T2＝4π若误将悬点到小球下端的距离记为摆长，则T2＝4π2g(L－r若误将悬点到小球上端的距离记为摆长，则T2＝4π2g(L+T2－L图像斜率不受影响，故利用该图线求得的重力加速度等于利用图线②求得的重力加速度。考向1教材原型实验例1（2025·四川眉山·高三月考）某同学在做“利用单摆测重力加速度”实验中：(1)先测得摆线长，用游标卡尺测得摆球的直径如图甲所示，则小球的直径为cm。(2)为了减小测量周期的误差，摆球应在经过最（填“高”或“低”）点的位置时开始计时，并用秒表测量单摆完成多次全振动所用的时间，求出周期。(3)为了提高测量精度，需多次改变L的值并测得相应的T值。现测得的六组数据，标示在以L为横坐标、T2为纵坐标的坐标纸上，即图乙中用“×”表示的点。（取π2=9.8）根据图中的数据点作出T2与L的关系图线如图所示，则重力加速度(4)如果测得的g值偏大，可能的原因是（填正确答案标号）。A．单摆的悬点未固定紧，振动中出现松动，使摆线增长了B．把n次摆动的时间误记为n+1次摆动的时间C．以摆线长作为摆长来计算D．以摆线长与摆球的直径之和作为摆长来计算【答案】(1)2.125(2)低(3)9.80(4)BD【详解】（1）用游标卡尺测得摆球的直径2.1cm+5×0.05mm=2.125cm（2）为了减小测量周期的误差，摆球应在经过最低点的位置时开始计时，并用秒表测量单摆完成多次全振动所用的时间，求出周期。（3）根据T=2π可得T由图像可知k=解得g=9.80m/s2（4）根据T=2π可得g=A．单摆的悬点未固定紧，振动中出现松动，使摆线增长了，但计算时仍用原来的值计算，根据g=4π2B．把n次摆动的时间误记为n+1次摆动的时间，则周期T测量值偏小，根据g=4C．以摆线长作为摆长来计算，则摆长偏小，则根据g=4D．以摆线长与摆球的直径之和作为摆长来计算，摆长偏大，根据g=4故选BD。【变式训练1】（2025·四川遂宁·高三月考）某实验小组用如图甲所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。(1)如图乙为4种摆球设计，选哪种方式正确；(2)测摆球直径时游标卡尺的读数为mm；(3)若某同学根据实验中数据计算出摆长L，n次全振动时间为t，则当地的重力加速度g=（用L，n，t表示）。【答案】(1)C(2)12.5(3)4【详解】（1）本实验中为了减小阻力影响，摆球应选择密度大，体积小的小铁球或者小钢球，摆线应选择较长且伸缩性较小的细线。故选C。（2）游标卡尺的读数为主尺读数与游标尺读数之和，所以此时游标卡尺读数为12+5×0.1（3）根据单摆周期公式T=2πLg所以g=【变式训练2】（2025·四川南充·高三月考）在“用单摆测定重力加速度”的实验中：(1)用一个摆长为80.0cm的单摆做实验，要求摆动的最大角度小于5°，则开始时将摆球拉离平衡位置的距离应不超过cm（保留1位小数）。（提示：单摆被拉开小角度的情况下，所求的距离约等于摆球沿圆弧移动的路程。）(2)为了减小测量周期的误差，计时开始时，摆球应是经过最（填“高”或“低”）点的位置，且用停表测量单摆完成多次全振动所用的时间，求出周期。(3)用最小刻度为1mm的刻度尺测摆长，测量情况如图乙所示。O为悬挂点，从图乙中可知单摆的摆长为m。(4)若用L表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝。(5)考虑到单摆振动时空气浮力的影响后，学生甲说：“因为空气浮力与摆球重力方向相反，它对球的作用相当于重力加速度变小，因此振动周期变大。”学生乙说：“浮力对摆球的影响好像用一个轻一些的摆球做实验，因此振动周期不变”，这两个学生中________。A．甲的说法正确 B．乙的说法正确 C．两学生的说法都是错误的【答案】(1)6.9(2)低(3)0.9980(4)4(5)A【详解】（1）由弧长公式可知l＝θR又结合题意所求的距离近似等于弧长，则d＝5°360°×2π结合题中保留1位小数和摆动最大角度小于5°可知不能填7.0，应填6.9；（2）为了减小测量周期的误差，计时开始时，摆球应是经过最低点的位置，且用停表测量单摆完成多次全振动所用的时间，求出周期。（3）从悬点到球心的距离即为摆长，可得单摆的摆长为L＝0.9980m（4）由单摆周期公式T=2π可得重力加速度的表达式为g=（5）由于受到空气浮力的影响，小球的质量没变而是相当于小球所受重力减小，即等效重力加速度减小，因而振动周期变大，故学生甲说法正确。故选A。【变式训练3】小明在学了单摆知识后想利用单摆来测量当地的重力加速度，他用细线悬挂一个小球组成一个单摆，如图甲所示，其细线长度可以改变。

（1）测摆线长：用刻度尺量出悬挂状态下摆线长l。（2）测周期：让小球在同一竖直面内做小幅度摆动，秒表在小球经过最低点时开始计时，并计数1，以后小球每次经过最低点都计数一次，到小球第N次经过最低点时，计时结束，读出秒表读数为t，则该单摆周期T=。（3）改变摆线长，重复步骤（1）（2）。（4）数据处理：以周期T2为纵坐标，摆线长l为横坐标，作出T2−l图像如图乙所示。已知图像纵截距为b，斜率为k，则可求得当地重力加速度大小为，还可附带求出小球半径为（5）误差分析：小红看了小明的方案后，认为该单摆摆长并不等于摆线长l，摆长还应加上小球半径。小明细想后认为仍然以摆线长l为横坐标会导致当地重力加速度的测量值（选填“大于”“小于”或“等于”）真实值。【答案】2tN−14π2【详解】（2）[1]每经过最低点计数一次且从1开始到N总时间为t，有t=(N−1)解得T=（4）[2][3]设小球半径为R，由T=2π可得T结合图像有k=解得g=（5）[4]在T2−l图像中横坐标无论是摆长还是摆线长，图像的斜率k=4考向2创新拓展实验例1（2025·四川成都·三模）为了测量当地的重力加速度，某学校科技兴趣小组利用激光切割机切割出如图甲所示半径为R的两块完全相同的金属工件，然后将两块金属板正对平行固定，在两板之间形成距离为d的较为光滑的圆槽轨道。现将直径为D的小球放入轨道，使之做简谐运动，等效为单摆运动。(1)实验前用螺旋测微器测量小球的直径D，如图丙所示，则小球的直径D=mm。(2)更换大小相同，质量更大的小球进行实验，小球的运动周期将（填“变大”“变小”“不变”）(3)图乙为小球在圆槽轨道最低点时的示意图，该单摆的等效摆长L=。（用R，D，d表示）(4)若等效摆长L为12cm，π2取值为9.8，从小球运动到最低点开始计时，并记为第1次，第101次经过最低点时用时35s，则计算重力加速度g为m/s【答案】(1)6.124/6.125/6.126(2)不变(3)R−(4)9.60【详解】（1）小球的直径D=6（2）根据单摆的振动周期T=2πl（3）根据几何关系可得小球在最低点时，其重心到圆槽平面的距离为x=所以该单摆的等效摆长为L=R−x=R−（4）依题意，单摆的振动周期为T=由T=2π代入数据，解得g=9.60【变式训练1】（2025·四川南充·高三月考）某同学用图示装置测量当地重力加速度g：(1)用游标尺上有10个小格的游标卡尺测量摆球的直径，结果如图甲所示，可读出摆球的直径d＝cm；(2)实验时，摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置激光光源与光敏电阻，如图乙所示，光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图丙所示，则该单摆的周期为；(3)用刻度尺测量出绳长L，则当地重力加速度g＝（结果用题中字母表示）；(4)若把该装置放到正在匀加速下降的电梯中，用完全相同的操作重新完成实验，图像中t0将【答案】(1)1.87(2)2(3)π(4)变大【详解】（1）摆球的直径d=18（2）单摆一周经过2次平衡位置，由图可知，单摆的周期为T=2（3）摆长l=L+根据周期公式T=2π联立解得g=（4）若把该装置放到正在匀加速下降的电梯中，则等效重力加速度为g'=g−a可知等效重力加速度减小，根据周期公式可知，周期变大，所以图像中t0【变式训练2】为了测量当地的重力加速度，某同学设计了如图甲所示的双线摆，两轻质细线的上端系在固定的水平横杆上，下端系在小球上的同一点，静止时测得两细线长均为l，用量角器测得两细线之间的夹角为θ。(1)用螺旋测微器测出小球的直径，示数如图乙所示，则小球直径d=mm；双线摆摆动时的等效摆长L=（用l、θ、d表示）。(2)将双线摆拉开一个小角度，让摆球在竖直面内摆动，从小球经过最低点时开始计时并体记为“0”，测得小球第n次经过最低点时计时器记录的总时间为t，则小球摆动的周期T=。(3)多次改变两细线在A、B上两悬点间的距离，从而改变两细线间的夹角θ，重复实验，从而测得多组T和θ，作T2-（选填“sinθ”“sinθ2”“cosθ”或“cosθ2”）图像，得到图像的斜率为k，则测得当地的重力加速度为g=（用π、【答案】(1)7.170/7.169/7.171d(2)2t(3)cosθ2【详解】（1）[1]螺旋测微器的读数为固定刻度与可动刻度之和，所以小球的直径为d=7[2]等效摆长为L=（2）小球摆动的周期为T=（3）[1]由单摆的周期公式有T=2π可得T所以作T2-cosθ[2]由题意可知4解得g=【变式训练3】（2025·四川达州·高三月考）小明欲利用一固定光滑圆弧面测定重力加速度，圆弧面如图甲所示，图中虚线为圆弧面最低处，圆弧面半径为R，该同学取一光滑小铁球进行实验。(1)小明用游标卡尺测量小铁球的直径时，发现游标尺上的零刻度线处被遮挡，如图乙所示，他根据游标卡尺的测量原理和读数规则还是正确读出了小球的直径，则小铁球的直径d=mm。(2)若小明测得小铁球振动的周期为T，则测得的重力加速度表达式为g=（用题干中物理量T、R、d表示）(3)同组的小军同学更换半径不同的金属球进行实验，根据实验记录的数据，绘制的T2−d2【答案】(1)16.6(2)2(3)4【详解】（1）油标尺的第6条刻度线与主尺的22mm刻度对齐，则小铁球的直径d=22mm-0.9mm×6=16.6mm（2）根据T=2π可得g=（3）根据T=2π可得T由图像可知4可得g=【变式训练4】某同学欲测量当地的重力加速度，利用的实验器材有：带有滑槽的水平导轨，足够长的一端带有滑轮的木板，不可伸长的细线，重物，沙漏（装有沙子），立架，加速度传感器，刻度尺．具体操作如下：①按图甲所示安装好实验器材，并测量摆线的长度L（沙漏的大小可忽略）；②将沙漏拉离平衡位置（摆角较小）由静止释放，使沙漏在竖直面内振动；③沙漏振动稳定后，由静止释放重物，使木板沿滑槽运动，记下加速度传感器的示数a0④缓慢移出木板，测量曲线上相邻三点A、B、C之间的间距xAB、xBC，并计算出⑤改变立架的高度及摆线的长度，重复②③④的操作。回答下列问题：(1)对该实验，下列说法正确的是______（填字母）A．随着沙漏中沙子的流出，ΔxB．其他条件不变，若仅增大重物的质量，ΔxC．其他条件不变，若仅增大摆线的长度，Δx(2)沙漏振动稳定后的周期T=（用Δx、a(3)该同学依据测出的L和Δx，作出的L−Δx图像如图丙所示，若测得该图像的斜率为k，则计算重力加速度的表达式为【答案】(1)BC(2)2(3)a【详解】（1）A．由匀变速直线规律有Δ分析可知相邻两点间的时间间隔为单摆周期的一半，即Δ联立整理可有Δ由该式可看出ΔxB．仅重物质量增大时，a0增大，由上式可知ΔC．摆线长度增大时，由上式可知Δx故选BC。（2）因为Δ整理得Δ而单摆周期T=2（3）以上分析可知Δ整理得L=则L−Δx整理得g=1.（2025·海南·高考真题）小组用如图所示单摆测量当地重力加速度(1)用游标卡尺测得小球直径d=20mm，刻度尺测得摆线长l=79cm，则单摆摆长L=(2)拉动小球，使摆线伸直且与竖直方向的夹角为θ（θ<5°），无初速度的释放小球，小球经过点（选填：“最高”或“最低”）时，开始计时，记录小球做了30次全振动用时t=54.00s，则单摆周期T=s，由此可得当地重力加速度g=m/s2（【答案】(1)80.00(2)最低1.89.88【详解】（1）单摆的摆长为L=l+（2）[1]为减小实验计时误差，需小球经过最低点时开始计时；[2]单摆周期T=t[3]根据单摆周期公式T=2πL可得g=代入数值得g=9.882.（2024·辽宁·高考真题）图（a）为一套半圆拱形七色彩虹积木示意图，不同颜色的积木直径不同。某同学通过实验探究这套积木小幅摆动时周期T与外径D之间的关系。(1)用刻度尺测量不同颜色积木的外径D，其中对蓝色积木的某次测量如图（b）所示，从图中读出D=cm。(2)将一块积木静置于硬质水平桌面上，设置积木左端平衡位置的参考点O，将积木的右端按下后释放，如图（c）所示。当积木左端某次与O点等高时记为第0次并开始计时，第20次时停止计时，这一过程中积木摆动了个周期。(3)换用其他积木重复上述操作，测得多组数据。为了探究T与D之间的函数关系，可用它们的自然对数作为横、纵坐标绘制图像进行研究，数据如下表所示：颜色红橙黄绿青蓝紫ln2.93922.78812.59532.48492.197⋯1.792ln−0.45−0.53−0.56−0.65−0.78−0.92−1.02根据表中数据绘制出lnT−lnD图像如图（d）所示，则TA．T∝D B．T∝D2 C．T∝(4)请写出一条提高该实验精度的改进措施：。【答案】(1)7.54/7.55/7.56(2)10(3)A(4)见解析【详解】（1）刻度尺的分度值为0.1cm，需要估读到分度值下一位，读数为D=7.55（2）积木左端两次经过参考点O为一个周期，当积木左端某次与O点等高时记为第0次并开始计时，之后每计数一次，经历半个周期，可知，第20次时停止计时，这一过程中积木摆动了10个周期。（3）由图（d）可知，lnT与lnD成线性关系，根据图像可知，直线经过2.80，ln解得ln则有ln解得T=可知T∝故选A。（4）为了减小实验误差，提高该实验精度的改进措施：用游标卡尺测量外径D、通过测量40次或60次左端与O点等高所用时间来求周期、适当减小摆动的幅度。3.（2023·河北·高考真题）某实验小组利用图装置测量重力加速度。摆线上端固定在O点，下端悬挂一小钢球，通过光电门传感器采集摆动周期。（1）关于本实验，下列说法正确的是。（多选）A．小钢球摆动平面应与光电门U形平面垂直

B．应在小钢球自然下垂时测量摆线长度C．小钢球可以换成较轻的橡胶球

D．应无初速度、小摆角释放小钢球（2）组装好装置，用毫米刻度尺测量摆线长度L，用螺旋测微器测量小钢球直径d。螺旋测微器示数如图，小钢球直径d=mm，记摆长l=L+d

（3）多次改变摆线长度，在小摆角下测得不同摆长l对应的小钢球摆动周期T，并作出l−T根据图线斜率可计算重力加速度g=ms2（保留3位有效数字，（4）若将摆线长度误认为摆长，仍用上述图像法处理数据，得到的重力加速度值将（填“偏大”“偏小”或“不变”）。【答案】ABD20.035/20.036/20.0349.87不变【详解】（1）[1]A．使用光电门测量时，光电门U形平面与被测物体的运动方向垂直是光电门使用的基本要求，故A正确；B．测量摆线长度时，要保证绳子处于伸直状态，故B正确；C．单摆是一个理想化模型，若采用质量较轻的橡胶球，空气阻力对摆球运动的影响较大，故C错误；D．无初速度、小摆角释放的目的是保持摆球在竖直平面内运动，不形成圆锥摆，且单摆只有在摆角很小的情况下才可视为简谐运动，使用T=2πl故选ABD。（2）[2]小钢球直径为d=20（3）[3]单摆周期公式T=2π整理得l=由图像知图线的斜率k=解得g=9.87（4）[4]若将摆线长度L误认为摆长l，有T=2π则得到的图线为L=仍用上述图像法处理数据，图线斜率不变，仍为g44.（2023·重庆·高考真题）某实验小组用单摆测量重力加速度。所用实验器材有摆球、长度可调的轻质摆线、刻度尺、50分度的游标卡尺、摄像装置等。

（1）用游标卡尺测量摆球直径d。当量爪并拢时，游标尺和主尺的零刻度线对齐。放置摆球后游标卡尺示数如图甲所示，则摆球的直径d为mm。（2）用摆线和摆球组成单摆，如图乙所示。当摆线长度l＝990.1mm时，记录并分析单摆的振动视频，得到单摆的振动周期T＝2.00s，由此算得重力加速度g为m/s2（保留3位有效数字）。（3）改变摆线长度l，记录并分析单摆的振动视频，得到相应的振动周期。他们发现，分别用l和l+d2作为摆长，这两种计算方法得到的重力加速度数值的差异大小Δg随摆线长度l的变化曲线如图所示。由图可知，该实验中，随着摆线长度l的增加，Δg的变化特点是，原因是

【答案】19.209.86随着摆线长度l的增加，Δg逐渐减小随着摆线长度l的增加，则l+d2越接近于l，此时计算得到的【详解】（1）[1]用游标卡尺测量摆球直径d=19mm+0.02mm×10=19.20mm（2）[2]单摆的摆长为L=990.1mm+12×根据T=2π可得g=带入数据g=（3）[3][4]由图可知，随着摆线长度l的增加，Δg逐渐减小，原因是随着摆线长度l的增加，则l+d2越接近于l，此时计算得到的5.（2023·新课标卷·高考真题）一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。

（1）用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图（a）所示，该示数为mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图（b）所示，该示数为mm，则摆球的直径为mm。（2）单摆实验的装置示意图如图（c）所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角