最值模型之将军饮马、垂线段最短问题（6种题型）原卷版-2026年中考数学一轮复习

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2.（2025•四川南充・中考真题）如图，48是O。的直径，4OJ.48于点4。。交。。于点C,4£_1,。0于点后,

交0。于点尸，尸为弧〃。的中点，P为线段＜8上一动点，若CD=4,则PE+P"的最小值是（）

B.2近C.6D.4\/3

3.（2025・西藏・中考真题）如图，在菱形48CD中，^ABC=60°,AB=4,连接8D,点P是BD上的一个动

点，连接P4PC,则24+P8+PC的最小值是

4.（2025・四川内江•中考真题）如身，在△/18C中，乙1=45。，=60°,AB=2近,点。、E、F分别是边

BC、48、AC上的动点,则aDEF周长的最小值是

5.（2025•江苏连云港•中考真题）如图，在菱形ABC。中，AC=4,BD=2,E为线段4c上的动点，四边形ZMEF

为平行四边形，则8E+BF的最小值为,

4/18

D

6.（2025•山东滨州•中考真题）如图，每个小正方形的边长都为1,点4、8、C均在格点上.

（1）只用无刻度的直尺在上找一点D,使得8。最短（保留作图痕迹）.

（2）在（1）的基础上，在BC边上找一点M,使得M4+MO最小，最小值为.

题型02将军饮马求和模型（函数）

7.（2025•河南濮阳•一模）如图，两座城市/和B在平面直角坐标系中的坐标为4（3,6）、/?（1,2）,铁路所在的

直线为y=x,计划在铁路上修建一个站点P,使站点P到两城市的距离和最小，则站点P的坐标为.

8.（2025•四川凉山•中考真题）如图，一次函数力=ax+b的图象与反比例函数的图象交于点

⑴求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）利用图像，直接写出不等式以+的解集为;

⑶在x轴上找一点C,使△48C的周长最小，并求出最小值.

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9.(2025・四川德阳•中考真题)如国1,在平面直角坐标系中，已知二次函数y=—x2+.+c的图象与x轴

交于点4(-1,0),8(3,0),与y轴交于点C.

(2)如图2,连接8C,过点C作CDJLBC与抛物线相交于另一点。.

①求点D的坐标；

②如图3,点E,F为线段8c上两个动点(点E在点F的右侧)，且EF=&,连接OF,DE.求。F+DE的

最小值.

题型03将军饮马求差模型

10.(2022・四川乐山•二模)如图，直线y=kx+b与x轴、y轴分别相交于4、8两点，与双曲线y=：(>>0)

相交于点P，尸C1X轴于点C,且PC=2,tan£PAC=

⑴求直线的解析式；

(2)若点为双曲线上的一点，点。为y轴上的一动点，当|QP—QM|的值达到最大值时，求点Q的坐

标.

11.(2025•浙江•中考真题)在菱形48CD中，AB=5,AC=8.

⑴如图1,求sin/BAC的值.

(2)如图2,E是4D延长线上的一点，连接BE,作△FBE与△48E关于直线BE对称，E尸交射线4c于点P,连

6/18

接BP.

①当EFl4C时，求AE的长.

②求PR-P8的最小值.

12.(2025•内蒙古赤峰•二模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线'=一必+必+<:经过点(2,3),与x

轴交于点A,B(点4在点B左侧)，与y轴交于点C,对称轴直线L为％=1.

⑴求该抛物线的函数解析式及顶点坐标.

⑵设点C关于直线/的对称点为点。，P是直线2上的一个动点，是否存在点P,使24-PD有最大值？若存在,

求出/M-PO的最大值；若不存在，请说明埋由.

⑶M为抛物线上一点，连接MC,过点M作MN1CM交直线，于点N,若tan4MCN=,，求点M的坐标.

13.(2025・重庆•二模)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=-d+2%+3与x轴交于48两点(点4

在点8左侧)，与y轴交于点C.

⑴求A8的长；

⑵点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PMII8C交x轴于点M,点N为直线BC上一动点,过点/V

作NQIIx轴交PM于点Q,连接PC，PB,PN,QA.当△PCB的面积取得最大值时，求|4Q-PV|的最大值；

(3)如图2,将原抛物线沿射线8C方向平移，使平移后的新抛物线/过点C,点。为新抛物线y'的对称轴与x

轴的交点，点F为新抛物线炉对称轴上一动点，连接FC,FO.若尸。平分NCFD,请直接写出所有符合条件

的点F的坐标，并写出其中一个点F的坐标的求解过程.

14.(2024•西藏•中考真题)在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3(aH0)与x轴交于4(-1,0),8(3,0)

两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线/.

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⑴求抛物线的解析式；

（2）如图（甲），设点C关于直线/的对称点为点。，在直线/上是否存在一点P,使P力-尸。有最大值？若存

在，求出P4—P。的最大值；若不存在，请说明理由；

⑶如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接MC,过点M作MNJLCM交直线/于点M若tan乙MGV=j

求点M的坐标.

题型04垂线段最短模型

15.（2025•四川资阳•中考真题）如图，在四边形48CD中，AB||DC,AD1DC,AB=4,AD=DC=2,E

是线段AD的中点，F是线段48上的一个动点.现将△力EF沿Er所在直线翻折得到△人”（如图的所有点在

同一平面内），连接©B,AC,则△/BC面积的最小值为（）

A.2—\/2B.3—V2C.V10—V2D.4—V2

16.（2025•黑龙江绥化•中考真题）如图，在菱形4BCD中，AB=4,对角线8D=4百，点P是边CD的中点,

点M是对角线8。上的一个动点，连接PM、CM.则PM+CM的最小值是.

17.（2025・山东•中考真题）如图，在RtA/RC中，AABC=90°,AB=6,BC=8.点P为边上异于力

的一点，以P4，PB为邻边作UP/QB,则线段PQ的最小值是

A

QP

BC

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18.（2025•山东东营•中考真题）如图，在△ABC中，AB=6,/.BAC=30°,的平分线交8c于点0,M、

N分别是和力B上的动点，则8M+MN的最小值是.

19.（2025•江苏宿迁•中考真题）如图1,在矩形4BCO中，AB=3,BC=373,点M是边RC上一个动点,

点N在射线CD上，2MAN=60。.线段4M的垂直平分线分别交直线48、AM.AN、CD于点、E、F、G、H.

图3

⑴直接写H"ACB=___________。，£=_