第二章 不等式与复数 专项复习

第二章不等式与复数

知识梳理

1、几个重要的不等式

(I)a2>0(aG/?),Va>0(a>0),|a|>0(aGR).

(2)基本不等式：如果a,b6R+,则手之病(当且仅当“a=b"时取"=").

特例：。>0,。+工工24+222(a,b同号).

(3)其他变形：

22a

@a+b>(+；)(沟通两和Q+b与两平方和Q?+匕2的不等关系式)

(2)ab<°(沟通两积ab与两平方和a?+b?的不等关系式)

③ab工(?券)(沟通两积ab与两和a+b的不等关系式)

④重要不等式串：^i<Vab<^<产手(a,b£R+)即

调和平均值式几何平均值工算数平均值三平方平均值(注意等号成立的条件).

2、均值定理

已知居yGR+.

(1)如果x+y=S(定值)，则xyW(等?=?(当且仅当七=y"时取即“和为定值，枳有最

大值

(2)如果xy=P(定值),则x+y>2历=2\fP(当且仅当“％=y”时取"=”).即积为定值，和有

最小值

3、常见求最值模型

模型一：mx+2\/mn(m>0,n>0),当且仅当％=J^时等号成立；

模型二：mx4-^2^=ni(x-a)++ma>2yjmn+ma(j(n>0,n>0),当且仅当％—Q=J^时等

号成立；

模型三：一三一=—\—c<.^.(a>0,c>0),当且仅当％=£时等号成立；

ax2+bx^caK+b+"2\[ac^bK'y/a

模型四：％(71-mx)=mx(n-mx)工J,.mx+n-mx>Q0<X<-),当且仅当％时

v7mm(272=4mv(YNN>mQ,72m

等号成立.

4、对复数几何意义的理解及应用

（1）复数z,复平而上的点z及向量次相互联系，即2=。+抗（a,bER）=Z（a,b）=应；（2）由于

复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数

形结合的方法，使问题的解决更加直观.

经典真题回顾

1.（2024年北京高考数学真题）已知（/Ji）,（皿,'2）是函数'=2、的图象上两个不同的点，则（）

A.脸空〈安B.1叫中>警

D.Iog2"性＞%1+'2

【答案】B

【解析】由题意不妨设/V%2，因为函数y=2乂是增函数，所以0<2必<2不，即Ovyi<y2,

对于选项AB：可得2门+2。>-2m=2月也,即上">2美包>0,

22

根据函数y=10g2%是增函数，所以log2在产>10g22空=±答，故B正确，A错误；

对于选项D：例如jq=0,x2=1»则yi=1,丫2=2,

可得1窕2空二唳2打（0，1），即10g2炉<1=%+必，故D错误；

对于选项C：例如=—1,%2=-2,则力=3，、2=}

可得log2g在=log2?=log23-3W（-2,-1）,即log2"卢>一3=+不，故c错误，

故选：B.

2.（2024年北京高考数学真题）已知彳=-l-i,则z=（）.

A--1—iB.-1+iC.1—iD.1+i

【答案】C

［解析］由题意得z=i（-l-i）=1-i.

故选：C.

3.（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）若z=5+i,则i（2+z）=（）

A.10iB.2iC.10D.2

【答案】A

【解析】由z=5+i=2=5—i,z+2=10,则i(Z+z)=10i.

故选：A

4.(2024年新课标全国II卷数学真题)已知z=—l-i,则|z|=()

A.0B.1C.x/2D.2

【答案】C

［解析］若2=—1一i,则|z|=J(-l)2+(-1)2=V2.

故选：C.

5.(2024年新课标全国I卷数学真题)若三=1+i,则z=()

Z-1

A--1—iB.-1+iC-1—iD.1+i

【答案】c

［解析］因为'-=Z~1+1=1+—=14-i,所以z=14-T=l-i.

z-lZ-lZ-l1

故选：c.

6.(2024年上海市1月春考数学试题)已知Qb=l,4a2+9/的最小值为.

［答案］12

［解析］4a2+9b2=(2a)2+(3b)2>2x2ax3b=12ab=12,

当且仅当僚=:好=净匕=曰或Q=-^,b=誉时，等号成立，

故4a2+9炉的最小值为12.

故答案为：12.

7.（2024年天津高考数学真题）i是虚数单位，复数（6+i）.（痣-2i）=

【答案】7-倔

［蟀析】（通+i）•（述一2i）=5+V5i-2V5i+2=7-V5i.

故答案为：7—若i.

8.(2023年北京高考数学真题)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1,6)，则z的共版复数2=

()

A.1+V3iB.1-V3i

C--1+V3iD.-1-V3i

【答案】D

【解析】z在复平面对应的点是(-1,冉)，根据复数的几何意义，z=-1+V3i,

由共掘复数的定义可知，z=-1-V3i.

故选：D

9.(2023年高考仝国甲卷数学(文)或艇)=()

(2+1X2-1)

A.—1B.1C.1—iD.1+i

【答案】c

［解析］5(1+i3)=%0=1-i

11J(2+i)(2-i)5

故选：C.

1().(2023年高考全国乙卷数学(理)真题)设z='2，则2=()

l+l2+l5

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【答案】B

［解析］由超意可得z=可？=—=^=—=1-21,

i+i2+i5i-1+ii2-i

则2=l+2i.

故选：B.

11.(2023年新课标全国H卷数学真题)在复平面内，(l+3i)(3—i)对应的点位于().

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】因为(l+3i)(3-i)=3+8i-3i2=6+8i,

则所求复数对应的点为(6,8),位于第一象限.

故选:A.

12.(2022年高考全国乙卷数学(理)真题)已知z=l-2i,且Z+QN+/)=0,其中a,方为实数，则

()

A.a=l,b=-2B.a=-1,b=2C.a=l,b=2D.a=-l,b=-2

【答案】A

［解析］z=1—2i

z+az+b=l—2i+a(l+2i)+b=(1+a+b)+(2a—2)i

由Z+QZ+力=0,结合复数相第的充要条件为实部、虚部对应相等，

死；上？消，嘘22

故选:A

13.(多选题)(2022年新高考全国H卷数学其题)若x,y满足％2+y2—xy=1,则()

A.x+y<1B.x+y>—2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

［答案】RC

［解析］因为ab<(等(a,bER),由无？+y2—xy=1可变形为,(x+y)2—1=3xy<

3(管，,解得一2W%+yW2,当且仅当》=y=—1时，x+y=—2,当且仅当x=y=l,时，x4-y=

2,所以A错误，B正确；

由42+y2—%y=1可变形为(工2+y2)-1=xy工工_*，解得好+必工？，当且仅当％=丫=±1时取等

%,所以C正确；

因为％2+y2—盯=1变形可得(％—J+］2=1,设％—擀=cosJ^y=sin6,所以％=cos8+

tsind,y=专sin。，因此/+y2=cos20+|sin20+》sin6cos8=1+专sin2J-|cos204-1

=^+|sin(2^-^)e［1,2］,所以当“今y二一苧时满足等式，但是/+丫2工1不成立，所以D错误.

故选：BC.

14.（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知△ABC中，点。在边8。上，Z.ADB=120°,AD=

2,CD=2BD.当笠取得最小值时，8D=.

/io

【答案】V3-1/-1+V3

【解析】|方法一］:余弦定理

设CD=28。=27n>0,

则在^ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD•ADcosz.ADB=m2+4+2m,

在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADCOSZ.ADC=4m2+4-4m,

AC?_4m2+4-4^_4(m2+4+2m)-12(l+m)_._______12

所“AB2m2+4+27nm2+4+2m(m+l)+—

m+1

>4-12=4-2V3

2gl号，

当且仅当m+1==一即m=4一1时，筝号成立，

m+1

所以当今区最小值时，m=V3-1.

AD

故答案为：x/3-1.

令BD=t,以D为原点，0C为x轴，建立平面直角坐标系.

则C(2t,0),A(1,V3),B(-t,0)

AC2(2t-l)2+34t2-4t+4.12、人、B

:，-------=------=4---------5->4-2V3

AB2(t+l)2+3t2+2t+4(t+i)+三

£♦】,

当且仅当t+1=遮，即BD=V3-1时等号成立。

［方法三］:余弦定理

设BD=x,CD=2x.由余弦定理得

(；：=：上4产：，...2。2+肥=12+6/,

优=^+”2i,...2C2+F=12+6/,

b=4+4xz-4x

令q=t，则2c2+£2c2=12+6/,

,7,c12+6/12+6//2pz

t-+2=——；—=-.....=61--------s->6-o2v3,

c2*2+2X+4\(x+i)+W

At2>4-2V3,

当且仅当％+1=.,即％=V5+1时等号成立.

［方法四］:判别式法

i§LBD=x,W'JCD=2x

在人ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD•ADcosZ-ADB=/+4+2x,

在AACD中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcos/-ADC=4x2+4-4x,

所以出=竺竺士，记《=竺上土，

AB2X2+4+2XX2+4+2X

则(4-t)x2-(4+2t)x+(4-4t)=o

由方程有解得：△=(4+2t)2—4(4一£)(4-4t)>0

即产一8c+4W0,解得：4-2>/3<t<4+2>/3

所以tmin=4-273,此时％=三=6-1

111111T

所以当3取最小值时，X=V3-1,^BD=V3-1.

AD

15.(2022年高考全国甲卷数学(文)真题)已知9m=10,61=10爪-11/=8巾一9,则()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

【答案】A

［解析］［方法一］：（指对数函数性质）

由9m=10可得m=k)g910=翳>1,而］g91gllv(吧等y=(等y<l=(|gl0)2,所以曾,需,

即m>Igll,所以a=10m-11>10电11-11=0.

又㈣gio<(喳罗)2=(等)2<(幽2,所以联〉翳，即隰9>风

所以力=8m-9<810g89-9=0.综上，a>0>b.

［方法二］:【最优解】(构造函数)

由9m=io,可得m=logJOWQL5).

根据a,b的形式构造函数/(x)=X小一X—1(%〉1),则/''(X)=—1,

令广(%)=0,解得&=m卷,=log910e(1,1.5)知&W(0,1).

f(x)在(1,+8)上单调递增，所以/'(10)>/(8),即a>b,

又因为/'(9)=9,0^10-10=0,所以a>0>b.

故选：A.

【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；

法二：利用a,匕的形式构造函数/(。=%加一%一1。>1),根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，

是该题的最优解.

16.(2021年浙江省高考数学试题)已知a,0,y是互不相同的锐角，则在sinacos/?,sin/?cosy,sinycosa三个

值中，大于3的个数的最大值是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】法1:由基本不等式有sinacos/?<的必产，

mm)siMf+cos2y.)sin2y+cos2a

同理sin/?cosy<————sinycosa<——----，

故sinacos"+sin^cosy+sinycosa<

故sinacos£,sin£cosy,sinycosa不可能均大于：.

取a屋，y=I

则sinacos^=；<^,sin/?cosy=y>sinycosa=y>

故三式中大于:的个数的最大值为2,

故选：C.

法2：不妨设a<p<y,则cosa>cos，>cosy,sina<sin/?<siny,

由排列不等式可得:

sinacos/?+sin/?cosy+sinycosa<sinacosy+sin/?cos/?+sinycosa,

13

而sinacosy+sin/?cos0+sinycosa=sin。+a)+-s\n2p<

故sinacos£,sin^cosy,sinycosa不可能均大于最

取a建，0=%,y=；,

则sinacos夕=^<|,sin/?cosy=~>sinycosa=曰>：，

故三式中大于二的个数的最大值为2,

故选：C.

17.（2021年仝国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4的是（）

A.y=x2+2x-^-4B.y=|sinx|+

C-y=2x+22-xD.y=lnx+^-

J/Inx

【答案】c

【解析】对于A,y=x2+2x4-4=（x+l）2+3>3,当且仅当％=-1时取等号，所以其最小值为3,A

不符合题意；

对于B,因为0<|sinx|Wl,y=|sinx|+品［工2四=4,当且仅当|sinx|=2时取等号，等号取不到，

所以其最小值不为4,B不符合题意；

对于C,因为函数定义域为R,而2、>0,y=2'+22r=2'+2'2"=4,当且仅当2、=2,即x=1

时取等号，所以其最小值为4,C符合题意；

对于D,y=Inx+函数定义域为（0,l）U（l,+8）,而InxWR且Inx。0,如当lnx=-1,y=-5,D

不符合题意.

故选：C.

18.（2021年天津高考数学试题）若a>0,b>0,则二+9+b的最小值为__________.

ab幺

【答案】2/

［解析］va>0,Z?>0,

••--4-^4-b>2+b=7+0>2/Pb=2V2,

ab2yjab2by］b

当且仅当工=合且，=b,即Q=匕=&时等号成立，

an

所以:+£+b的最小值为2企.

故答案为：2鱼.

考点一：基本不等式二元式

解题思路：如果Q>0,b>0,那么而工等，当且仅当。=匕时，等号成立.其中，学叫作a,

b的算术平均数，质叫作Q,力的几何平均数.即正数a,力的算术平均数不小于它们的几何平均数.

不等式可变形为：（历+d5）224>/方或abW（?）2,其中a,b6R+.

【典例1・1】［新考法］（2024•浙江宁波一模）不等式（％2一。%一1）（%一切20对任意%>0恒成立，则M+

炉的最小值为（）

A.2V2-2B.2C.2A/2D.2或+2

【答案】A

【解析】由题意可得，需满足x=b是"一Q%一1=o的一个根，

即F—ab—1=0,且匕>0,所以a=b一；,

b

2

+匕2=（b-+b2=2b2+^-2>2V2-2,

当且仅当252=3，即6=平时取等号.

匕/yj2

所以小+块的最小值为2企一2.

故选：A.

【典例1・2】（2024•陕西宝鸡•二模）已知正数％y满足％+三=1,则2+2y的最小值是（）

y艾

A.2+2V2B.6C.4&D.3+272

【答案】D

【解析】由工+7=1可得xy=y-1,因％>0,y>0,则y>l、

于是］+2丫=*+2丫=1+已+2'=1+六+2丫=3+匕+23-1)

因「一+2(y-l)N2I12(y-1)=2企,当且仅当」一=2。-1)时等号成立,

y-iyy-iy-i

即)，=1+亨，％=/-1时，1+2y的最小值为3+2收

故选：D.

【变式1・1】(2024•辽宁大连•模拟预测)已知函数y=k)ga(x-l)+l(a>0,且aW1)的图象恒过定点

A若点/在直线mx+ny-1=0(rn>0,几>0)上，则上+工的最小值为()

ymn

A.13B.8V2C.9+4V2D.8

【答案】C

【解析］当工一1=1时，y=logal+l=1,即4(2,1)

因为4在直线7nx+ny—1—0上，所以2/n+n—1

±+l=(27n+n)(±+n-9+.+至N9+2的型=9+4或

mn\mn/mnyjmn

当且仅当71=立6=•时，取等号，即3+2的最小值为9+

27mn

故选：C

【变式1・2】［新考法I(2024•广西柳州•一模)设函数/(幻=¥lnx-(Q+b)lnx,若/(%)N0,则5。+5b的

最小值为()

A.1B.2C.V5D.2圾

【答案】D

［解析］因为f(x)=xlnx—(a+b)lnx=(x—a—b)lnx,

若a+bWO,则对任意的%>0,x-a-b>0,

则当0cx<1时，/(x)=(%—a—b)lnx<0,不合乎题意；

若0<。+6<1时，当a+b<x<l时，x-a-b>0,lnx<0,此时，f(x)=(x-a-b)lnx<0,不

合乎题意；

若a+b>l,则当lVX<a+b时，x—a—b<0,Inx>0,此时，/(x)=(x—a—b)\nx<0,不合乎

题意.

所以，a+b=l,此时，/（x）={x—l）lnx,则/（I）=0,

当CVxVl时，x—1<0,Inx<0,土匕时，/(x)=(x—l)lnx>0；

当”>1时，x—1>0,\nx>0,此时，/(x)=(x—l)lnx>0.

所以，对任意的无>0,/(x)=(A-l)lnx>0,合乎题意，

由去本不等式可得5。+5b>2所于=2回而=2V5,

当且仅当，a”时,即当Q=b=三时，等号成立，

故5。+5b的最小值为2遍.

故选：D.

高考预测

1.（多选题）（2024,浙江•一模）已知a>0,b>0,则下列说法正确的是（）

A.若a+b=1,则log2a+log2b<—2

B.若Q+/J=1,则正+伤<1

C.若a-b=1,则2a—京〉1

D.若Q—b=1,则。2+川〉1

［答案］ACD

［解析】后+解WJ2（a+8）=&当且仅当a=b=［时取等号，B选项错误；

va-b=l,.-.a=b+l,•,«2a-^=2d+1-^,vb>0,.%2a=2b+1>2,2b>1,以v1,2a-最

»1,C选项正确；

・：b>0,a—b=l-,-a=14-Z?>1.AQ2+b2>1,D选项正确.

故选：ACD.

2.（多选题）若实数Q,匕满足3a2+3〃+4ab=5,则下列结论正确的是（）

A.ab<1B.ab>--

C.a2+h2>2D.-V2<a+b<\［2

【答案】AD

［解析】因为5=3Q2+3b2+4ab>6ab+4ab=10ab,当且仅当|a|=\b\=多时等号成立，所以Qb<

A正确；

因为3a2+3炉+4ab=5,所以3(a+b)2=5+2abN0,所以QZ?NB错误；

因为5=3Q2+3/)2+4QB33a2+3匕2+2Q2+2/)2=5Q2+5匕2,当且仅当|Q|二|团=包时等号成立，所

2

以a?+b2>1,C错误；

由3(a+b)2=5+2ab工5+2(等了整理，得色+力尸三？，当且仅当⑷=依=当时等号成立，

所以一叵Wa+bW五,D正确.

故选：AD.

3.［新考法］设函数/(》)=(2a—x)ln(x+b),若/(幻£0,则4+〃的最小值为()

A.-B.—C.-D.—

5522

【答案】A

［解析］f(%)的定义域为(一瓦+8),

令ln(x4-b)=0,得x=1—b,

①当久二1-b时，/(x)=0满足题意，2aER；

②当一bVxVl-b时，ln(x+b)V0,由/(x)W0,<2a,

要使任意％W(一瓦l-b),f(x)WO恒成立，则(一"1一匕)G(-8,20，

所以2Q>1-b；

③当%>l—b时，ln(x+b)>0,由/(%)W0,得“22a,

要使任意％w(1—b,+8),/(%)W0恒成立，则(1-b,+8)£［2a,+8),

所以2Q<1-b；

综上，2a=l-b,即2Q+b=1.

2

又砂+b2=a2+(1—2a)2=5a2—4a+1=5(a—§4-aWR,

_2

当且仅当・一$时，取最小值占

b=-5

所以a?IZ>2的最小值为

故选：A.

考点二：和式与积式

【典例2-1】（2024•广西•模拟预测）已知Q”€（-8,0）,且a+4b=ab-5,则ab的取值范围为（）

A.[25,+8）B.[l,+oo）C.（0,5]D.（0,1]

【答案】D

[解析]因为a,b£（—8,0）,a+4b=ab—5,则a+4bV0,所以0VabV5.

又ab-5=a+4b=—[（—a）+4（-b）]<—2\[4ab=-4\[ab,

即初+4病一5工0,即（闹+5）•（相—1）WO,解得0<夜工1,

所以0<口。:1,当且仅当一a=-4b,即a=4。=—2时，等号成立，

即ah的取值范围为（0,1].

故选：D.

【典例2-2】已知％2+y2=/y2（xyH0）,则1-16M-9y2的最大值为（）

A.-48B.-49C.-42D.-35

【答案]A

【解析]因为/+y2=%2丫2（孙工0）,所以点+会=1,

2

所以16/+9y2=（±+±）（16x+9y2）=25+竽+詈225+2律x暇=49,

当且仅当与=咚，即/=："=河等号成立，

x2y24'3

所以1-16/-9y2的最大值为1-49=-48.

故选：A.

【变式2-1】（2024•四川绵阳•一模）已知%>0,y>0,且满足％+y=xy-3,则孙的最小值为（

A.3B.2V3C.6D.9

【答案】D

[解析】x+y=xy-3之2y[xy,

（月）2-2则-3=-3）（7%y+1）>o,

Vxy-3>0,xy>9,

当且仅当％=y=3时等号成立，

所以xy的最小值为9.

故选：D

【变式2-2】（2024•山西•三模）已知正实数x,y满足/+3孙一2=0,则2%+y的最小值为（

A.那B.邈C.白D.2

3333

【答案】A

［解析］因为正实数x,y满足/+3xy-2=0,则y=（一；，

W>j2x+y=2x4---^=—+—>2隹&=—,

J3X333X\］33X3

当且仅当竽=今即％=乎,时，等号成立，

所以2%+y的最小值为过过.

3

故选:A.

【变式2-3］（多选题.）已知机>0,九>0,m2+n2-mn=4,则（）

A.log2nl+log2n<1B.m+n<4

C.m3+n3<16D.yfm+>Jn<2、泛

［答案］BCD

【解析］对于A,m2+n2=mn4-4>2mn,即nrnW4,当且仅当m=n=2时等号成立，

所以log27n4-log2n=log2（mn）<2,故A错误；

对于B,由m2+彦一机九=4,得0+九）2=3巾71+4工3-（管）”+4,

Pp（7n4-n）2<16,则m+〃W4,当且仅当m二n=2时等号成立，故B正确；

对于C,Tn?+九3=（加+九）（租2_mn+九2）-4（77i+n）<16,

当且仅当m=九=2时等号成立，故C正确；

对于D,\[m+y/n=\/m+n+2^Jmn<J2（m+九）,

又m+所以近1+返工2、0，当且仅当m=ri=2时等号成立，故D正确.

故选：BCD.

1.（多选题）设正实数a,b满足G+b=l,则下列说法中正确的有（）

A.有最大值B.工+:有最大值4

ab

C.VH+否有最大值&D.Q2+/J2有最小值1

［答案］ACD

［解析］对于A。+b=1,则雷>瓦计算可得底Wa当且仅当a=匕时，病取得最大值为，故A正

确；

对于3=上+号=2+。+322+2］“三=4,当且仅当2=f即Q=b=：有最小值4,故

ababab7abab2ab

B错误；

对于C,(Va+y[b)2=a+b+2\fab<2(a4-b)=2,解得0<Va+VF<V2,当且仅当a=b=1,Va+\[b

有最大值为企,故C正确；

对于D,由于a2+炉=（。+b）2一2ab?（a+匕）2—2x（手手=则+当且仅当

a=b=枭2+炉有最小值为3，故D正确.

故选：ACD.

2.(多选题)已知a>0,b>0,且a+2b=2,则下列说法正确的是()

A.ab>\B.yfa+V2b<2

C.2a+4b>4D.+

a+ba+3b4

(答案]BCD

【解析］对于A,a-2b<=1,^?ab<当且仅当a=2/7,即a=l,b=［时等号成立，故A错

误；

^2[(Va)2+(x^)2]=J2(a+2。)=2,

对于B,>/a+V2b<

当且仅当伞二加瓦即Q=l,b=；时等号成立，故B正确;

对于C,2a+4b=2a+22b>2v12rt-22b=2乃=4,

当且仅当2a=2?，即Q=1,匕=g时等号成立，故C正确；

对于D,因为a+2b=2,所以［(a+b)+(a+3b)］=2a+4b=2(a+2b)=4,

所以京+导=3(念+品)〔(a+〃)+(a+3b)］

13,a+3b,2(a+b)..3,Lola+3b2(a+b)3+2V2

当且仅当生乎=幺嘤，即a=-10+8&,b=6—4&时等号成立，故D正确；

a±oa±3b

故选：BCD.

3.(多选题)已知正实数Q,8满足a?-Q/J+/=1,则()

A.a+b的最大值为2

B.ah的最小值为1

C.M+b?的最.大值为2

D.Q2+/j2的最小值为1

［答案］AC

［解析］由a?—a»+川=1,可得(0一§2+4_=1,令。一5=cos。，苧=sin。，所以a=cosO+

ysin0,b=^sin0,0G(0,y)

对于A,则Q+b=cosd+bsinH=2sin(d+［),当6>=g时，a+b取戢大值为2,故A正确

63

对于B,ah=^sinJ(cosd+苧sinj)

=—sin0cos0+-s\n20=—sin29--cos20+-=-sin(20--)4--

333333、6，3

当6==时，ab的最大值为1,故B错误；

3

对于C、D,由B可得0<QbWl,由。2+匕2=1+。匕，则1<02+匕2工2,故C正确，D错误.

故选：AC

4.(多选题)(2024•海南•模拟预测)若正实数明力满足a+28=1,则()

A.£+"的最小值为1+2或B.3b(2a+b)的最大值为1

C.6?+2炉的最小值为1D.(a+1)(8+1)的取值范围为(1,2)

【答案】BC

【解析】正实数。，。满足a+2b=1,a=1-26(0<b<1),

对于A,g+g=~=?+：+2工23+2=4,当且仅当a=b='时取等号，A错误；

对于B,3b(2a+b)&(世吆与2=(a+2b)2=1,当且仅当a=b=2时取等号，B正确；

23

对于C,a24-2b2=(1-2b)2+2b2=6/J2-4d+1=6(b-1)2+^>当且仅当力=1时取等号，C正

确；

对于D,(a+l)(b+1)=(2-+b)=2(1-b2)E(|,2),D错误.

故选:BC

考点三：柯西不等式二元式、

解题思路：设a,b,c,deR+,有(a+b)(c+d)N(疝+痂产当且仅当£=号时等号成立.

［典例3-1］|新考法|(多选题.)坷西不等式(Ca〃c%y-SMw"z。绐"4〃少)是一种在数学和物理学中广泛使

用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁・路易•柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可

以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式：

①对于所有实数％和y,有(M+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2.

②等式条件：当且仅当ad-be=0时，等号成立.

例：已知x+2y=2,由柯西不等式(7+y2)("+22)2a+2y)2,可得十丫2\曲=?.运用柯西不等

式，判断以下正确的选项有()

A.若a2+炉=1,则(2a4-3b)max=

B.若0<Q<2,则G+2)=3+2A/2

\a2-aJmin

C.若Q+/?=4,0'J(VaTT4-2VbT2)max=2>/5

D.若1Va<3,则-1+76—2Q)皿=瓜

［答案］AD

［解析］对于A选项，根据柯西不等式(a?+〃)(22+32)>(2a+3b产

因为。2+坟=1,所以(22+32)2(2Q+3b)2,即13N(2a+3b)2.

所以一gW2Q+3/)Wg,则(2Q+3b)max=g，当且仅当3。=28时取等号，

A选项正确.

对于B选项，令m=a,n=2—a,则m+n=2.

根据柯西不等式d+--)(a+(2-Q))N(Rxa+1--x(2-a))2.

*a2—uMuM2-a

即G+J-)x2N(1+V2)2=3-2V2.当且仅当工x(2—Q)=」xQ取等号，

a2-aQ2-a

所以d+二一)工21出，B选项错误.

'a2-az2

对于C选项，根据柯西不等式(V7不I+2VF+2)2<(1+4)(a+1+b+2).

因为a+b=4,所以+2、历不<5x(4+l+2)=35.当且仅当4(Q+1)=b+2取等号.所以

Va+14-2VFT2<V35,C选项错误.

对于D选项，令％=yja—1,y=V3—a,则/+y2=a—1+3—a=2.

22

根据柯西不等式(后二彳+76-2a尸=(而工+/75=0)2=(%+72y)<(1+2)(/+y).

因为/+y2=2,所以(后二T+，6-2a)2<6.当且仅当W二^=或而工取等号.

所以+、6—2aW历,D选项正确.

故选：AD.

【典例3・2】(多选题.)已知x>0,y>0,且不等式x(x+I)?+y(y+1)2-(血2-2机)%、2o恒成立，则

m的取值可能是()

A.-4B.-2C.2D.4

[答案]BCD

【解析】由%(%+1)2+火,+1)2—(62一2770；^之0得：m?—2mW=小+3,

xyxyyx

,[(W)2+(燮)1[(/『+(向2]>[(x+1)+(y+l)]2(当且仅当岁=牛即X=y时取等号),

..竺之+空之之至0=3”竺但=(%+)+±+4N2]，+y)・±+4=8(当且仅当无=

yxx+yx+y/x+y7)x+y

y=1时取等号),

即当X=y=l时，[迄把+业斗=8,

L*y孙Jmin

2

Am—2m<8,解得：—2WmW4,二m可能的取值为一2,2,4.

故选:BCD.

［变式3・1］存在正数匕y,z,使得不等式五+Nmjx+y+z成立,则m的最大值

是.

【答案】3

(解析】解:由柯西不等式可知(1+3+5)(%+y+z)>(44-yj3y+V5z)2="；；：；：；*<3

由m能成立=»m<3=>7n=3.

y/同X+y*+至Zmmaaxx

故答案为：3.

【变式3・2】(2024•河南信阳•模拟预测)已知正数a,b满足a+b=二+E匚，则a+b的最小值

2a+l2b+l

为_________

【答案】a

［解析］Q>0,b>0,

a+】।b+1=如。+1川।如“1泻二i।［।：

Q+b

2a+l干2b+l2a+l2b+l丁2a+l~2b+l

二洋野二】

所以0+6—1

就+品2a+l+2b+la+b+1

叵V2

当且仅当肃=肃即0=”时等号成立，

所以(a+b—l)(a4-/7+1)>1,得(a+b)2>2,

所以a+Z?>&或a+b<->/2(舍去),

即a+b的最小值为鱼.

故答案为：V2

高考预测

1.已知％,y,z是正实数，且％+y+z=5,则M+2f+z?的最小值为.

【答案】10

【解析】由柯西不等美可得(丫2+2y2+?2)停+(专)4-I2之(x+y+z)2,

所以+2y2+z2)>25,即炉+2y2+z2>10,

当且仅当土=华=?即x=2y=z也即x=2,y=l,z=2时取得等号,

1五1

故答案为：10

2.|新考法|设角a、/?均为锐角，则sina+sin/?+cos(a+/?)的范围是.

［答案】(词

【解析］因为角a、4均为锐角,所以sina,cosa,sin/7,cos/?的范国均为(0,1),

所以sin(a+/?)=sinacos/?+cosasin/?<sina+sin。,

所以sina+sin/?+cos(a+/?)>sin(a+/?)+cos(a+/?)=V2sin(a+0+：)

因为0<a<g,0<S+

22444

所以&sin(a+S+?>/乂¥=1,

sina+sin/?+cos(a+0)=sina+sin/?+cosacos/?—sinasin/?

=(1-sin/?)sina+cosacos/?+sin/?<J(1-sin3)2+cos20+smR

=72(1-sin/?)4-sin/?,

当且仅当(1-sin6)cosa=sinacosp时取等,

令、/1-sin/?=t,tG(0,1),sin/?=1—t2,

2

所以=’2(1―sin/?)+sin?—y/2t+1—产=—(t—亭)4-

则sina+sin/?+cos(a+/?)的范围是：

故答案为：(词

3.已知正实数a,匕满足Q+28=1,则<+把的最小值为______.

ba

【答案、

［解析］由柯西不等式号+胃=(£+?)(2b+a)N(V2a2+4V2/?2)2=2(a2+4/?2)2

而居+4b2=-(a2+4b2)(l+1)>-(a4-2b)2=所以匕+竺->2(a2+4b2)2>-,a=\,b=乙时等

222bci2z)4

号成立,

故答案为：

考点四：齐次化与不等式最值

解题思路：关于齐次化，就是将不等式最值转化为方程的实根分布，从而实现不等式与函数方程的无缝

切换

［典例4-1］|新考法|若正实数％,y满足(3%-2)3+8(y-I)3=4-3x-2y,则2x+廿+竺的最小值

xy

是.

【答案】4

322

［解析］设m=3x-2,n=2(y-1),则/+n=-(m+n),即(m+n)(m-mn+n4-1)=0,

若n+