公式法（同步练习）-2025-2026学年苏科版八年级下册数学

9.3公式法同步练习

一、单选题

1.下列因式分解正确的是()

A.-crb+air=-ab(a-b)

B.x2-6x+9=(x+3)2

c.--^2-y=-(-v+>,)(x->,)

D.a2(a-b)2-b2(b-«)2=(a-b)2(^a2+82)

2.下列因式分解，错误的是()

A.3/-6冲=3x(x-2y)B.x2-9v2=(.v-3y)(x+3>')

C.4x2+4.V+1=2(x+l)2D.x2-2x-15=(x+3)(x-5)

3•多项式(x+l)2-9因式分解的结果为()

A.(x+8)(x+l)B.(x-2)(x+4)

C.(x-4)(x+2)D.(x-10)(^+8)

4.把多项式/-2町，+_)，2+2工-2I>，-8分解因式的结果是()

A.(1一y-4)(x-y+2)B.(x-y—l)(x—JJ—8)

C.(x-j+4)(x-y-2)D.(.r-y-f-l)(x-y-8)

5.已知V"C的三边长满足/一2机・=C2_2H,贝IJVA8C是()

A.等腰三角形B,直角三角形C.等边三角形D.锐角三角形

6.把多项式4/TOO因式分解的最后结果是（）

A.4（«2-25）B.（2«+10）（2«-10）

C.4（〃+5）卜/-5）D.4（a-5）2

7.若〃+方=3,则/-l+/+2ab的值是（）

A.5B.6C.7D.8

8.若f+x-3=0,则代数式F+2/—2.r+2的值为（）

A.2B.3C.4D.5

9.若关于x的多项式〃2P+2x-〃i（x+〃）（x+l）的值与x无关，且

a-b=m,a-c=m（n+l）,贝IJ式子片+/+c?—"一次•一ac的最小值为（）

A.3B.2C.1D.0

10.已知多项式M=a2+/,N=2a-2b+肛P="+〃（皿〃为常数）,下列说法:

①当〃“2时，无论外力取何值，都有M+N>0；

②若m+2〃=2且2M+N+2P=0,贝IJa+〃=（）；

③若m=2〃，则不存在整数使得M+N-2P=1.

其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空题

11.因式分解：(4«+5):-9=

12.分解因式：25V-4X2=.

13.分解囚式：a2+cLX-b2+bx=

14.若"=10〃2+加2-74+6,%=/+2〃+54+1,则M—N0（填<,〉或

=）

15.已知k-y+5|+（x+y-5）2=o,则/_y2的值为.

16.当x取时，多项式V+2x+9取得最小值是.

17.新定义：对于任意实数%都有〃力=加+反，若"1）=5,"2）=12,则将

/（x2-叙）因式分解的结果为

18.在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方

便记忆，原理是对于多项式丁-），一因式分解的结果是（.x+y）（x-丹（』+）/）,若取

1=9,>=9,则各个因式的值：人十）=18,八一）=0,42十,2=]1,2,丁是就可以把“180162”

作为一个六位数的密码.那么对于多项式9V-取x=u,）、=6时，用上述方法产生的

密码是（写出一个即可）

三、解答题

19.把下列多项式分解因式

⑴4a3-16而2;

（2）3（x-l）2+12.r.

20.已知a+〃=IO,ab=S,求下列各式的值.

（1）«2+b-；

⑵〃%+2/从+苏

21.父亲今年x岁，儿子今年歹岁，父亲比儿子大26岁，并且Y-.»=MMO,请你求出父

亲和儿子今年各多少岁？

22.证明：任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除.

23.数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一

些多项式因式分解.例如：利用图1可以得至面+2迎+〃

⑴请把表示图2面积的多项式因式分解：_；（直接写出等式即可）

⑵若x,N,z为实数，4x+2），+z=12,4x2+r+^z2=100,利用⑴的结论求

4

4q，+2xz+），z的值；

⑶如图3,有足够数量的边长分别为〃，方的正方形纸片和长为/九宽为。的长方形纸片,

可利用这些纸片将多项式3/+&力+4"因式分解，并画出图形.

24.阅读以下材料：

目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法.对于Y+3X+2,它不是完全平方

式，所以无法用公式法进行因式分解.现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范

围内因式分解：

第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，f+3x+2最高含有x的二次项，所以看作由

（尔+%）©+"）得至I];

第二步，去括号，（以+b｝（cx+d）=acx2+（ad+bc）x+bd^\x2+3x+2对比发现，

二次项系数为1,二次项由明和以相乘得出，所以“=c=l（为了计算简便、往往取整

数）；

笫三步，继续把1+S+d）,i+仪/和f+3/2对比，发现〃，，/两数之积为2,和为3,就

不难凑出8=1,4=2,检验一下：（工+1）（工+2）=/+3声2,换个方向写就是因式分解了.

请使用上述方法回答下列词题：

⑴因式分解：

G）x2-5x+6；

②29+尸36；

⑵对关于x的多项式因式分解：nvc2-（3/M-1）X+2//2-1

答案

题号12345678910

答案ACBCACDDAD

1.A

【详解】解：A、-crb+cdr=-ab[a-b)t故A正确，符合题意；

B、x2-6x+9=(x-3)2,故B不正确，不符合题意；

C、—V-y2不能因式分解故c不正确，不符合题意；

D、f/2(6/-b)2-b2(b-a)2=(f/-b)2(^2-h2)=(a-b)?(f/4-b),故D不正确，不符合题意；

故选：A.

2.C

【详解】解：A、3x2-6^=3x(x-2y),正确；

B、x2-9/=(x-3y)(x+3>),正确；

C、4x2+4.v+l=(2x+l)2,选项错误；

D、x2-2X-15=(X+3)(A:-5),正确；

故选C.

3.B

【详解】解：(A-+1)2-9=(X4-1-3)(X+I+3)=(X-2)(A-4-4),

故选：B.

4.C

【详解】解：W-2盯+y、2x-2)，-8

=(x2-2.ty!+/)+2(x-y)-8

=(x-»+2(x-y)-8

=(x-y+4)(,r-y-2),

故选：C.

5.A

【详解】解：cr-2bc=c2-lab,

•••a2-c2+2ah-2bc=0.

(6F+C)(t7-C)+2/?(£/-C)=O,

(«-C)(6/+C4-2/?)=(),

,••〃、b、。是三角形的三边，

•*-a+c+2l?>0,

「•a—c=O,

a=c,

・•.△A3C是等腰三角形.

故选：A.

6.C

【详解】解：4a2-}()(),

=4(1—25),

=4(«+5)(«-5).

故选c.

7.D

【详解】解：-a+b=3,

a2-\+b2+2ab

=a2+b2+lab-1

=(«+/?)2-1

=32-l

=8

故选D.

8.D

【详解】解：,.3+%一3=(),

X2+X=3.

+2A'--2A"+2=丁+x"+X"-2x+2,

=x(^x2+x^+x2-2x+2,

=3x+x~—2x+2,

=x2+x+2.

=3+2=5,

故选：D.

9.A

【详解】解：〃£+2X—，"(X+〃)(X+1)

=rnx2+2工-"1，+x+/ir+〃)

=irvc+2x-nix2-m(〃+1)x-nui

=(2-mn—x-nui

多项式+2x-/"(x+〃)(x+l)的值与x无关，

2-mn-/n=0,

整理得〃?(〃+l)=2,

a-b=m,a-c=2t则两式相减得。一c=2-，

:a2+b2+c2-ab-bc-ac

=67(«-Z?)+Z?(Z?-c)+c(c-«)

=ma+。(2-"?)-2c

=nui+2b-nib-2c

=ni(a-b)+2(b-c)

=m24-2(2-77?)

=m2+4-2m

=(//2-l)2+3

当〃?=1时，/+Z?2+/-岫-Z?c-ac取最小值，最小值为3,

故选：A.

10.D

【详解】解：对于'1」：M+N=a2+h2+2a—2b+m=-F1—1)~+///—2,

v(«+l)2>0,(Z?-l)2>0,

「.当/〃>2时，M+N>0,故①正确；

对于0：.「2M+N+2P=0,m+2n=2,

2(«2+//)+(2a-20+"i)+2(q/)+〃)=0,

/.2(«2+/叫+(2a-2/?)+lab+m+2〃=0,

二.2(々2+//)+2,一〃)+2,沼+2=(),

即〈J+6+0-〃+"+1=0,

a2+2〃+]+力2_%+[-〃4■匕+q〃-]=(),cT+2ab+b2+a-b-ab+\=()

(«+l)2+(Z?-l)2+(«+l)(/?-l)=O,(«+Z?)2-(67+l)(Z?-l)=O,

(67+Z?)2=(«+l)(Z?-l),

(a+l)~+(b-l)“+(a+〃)"=0,

«+1=/?-1=67+/>=0,故2正确；

对于③：■/M+N—2P=1,

a2+b2+2a-2b+m-lab-2〃=1,

(a-b)~+2(t/—/?)+m—2/?—1=0,

tn=2〃,

•••(a-人>+2(〃—力)+1=2

(a-/?+l)2=2,

a-b+\=±\p2।

••・不存在整数“，力使得M+N—2P=1,故③正确.

故选：D.

11.8(a+2)(2〃+1)

【详解】解：(4"5『-9

=(4〃+5『-3?

=(4〃+5+3)(4〃+5-3)

=(4a+8)(4a+2)

=8(〃+2)(2.+1).

故答案为：8("2)(2"1).

12.(5y+2x)(5y-2x)

【详解】解：25)，-442=(5)1)2一(2力2=(5)，+2x)(5),-2x),

故答案为：(5)，+2x)(5y-2x).

13.(a+b)(a-b+x)

【详解】原式=(4一〃2)十(小.+法)=(。+〃)(。一。)++〃)=(。+b)(a-b+x)

故答案为(。+力)(。-〃+1)

14.>

【详解】解：M-N=\0n2+?b2-7a+6-a2-2b2-5a-\

=9/-l%+5

=9a2-12«+4+l

=(3。-2『+l,

•••(3〃-2)50,

M-N>0；

故答案为：〉

15.-25

【详解】解：,.卡->+5|20,(x+y-5)2>0,|x-y+5|+(x+y-5)2=0.

/.x-j?+5=0,x+)，-5=0,

/.x-y=-5,x+y=5,

x2-y2=(x+y)(x-y)=5x(-5)=-25.

故答案为：-25.

16.-18

【详解】解：/+2x+9

=(X2+2X+1)+8

=(X+1)2+8,

v(x+1)2>0,

(X+1)2+8^8,

・•・当x+l=0,即x=-l时,J+2x+9的值最小,最小值为8,

故答案为：-1；8.

17.x(x-4)(x-2)2

【详解】解：由/⑴=5,"2)=12得,

a+b=5

4〃+2〃=12

a=1

解得

b=4

「•f(x)=ax1+bx=jr+4x,

/(x2-4x)=(x2-4X)2+4(X2-4X),

=(f-4x)(x2-4x+4),

=x(x-4)(x-2)2,

故答案为:x(x-4)(x-2)2.

18.113927或112739或391127或392711或271139或273911.(任选其一即可)

【详解】解：9./_冲2,

=x(9x2-/)

=x(3x+y)(3x-y),

当x=U,y=6时，

3x+y=3x11+6=39,

3x-y=3x11-6=27,

用上述方法产生的密码是：H3927或112739或391127或392711或271139或273911.

故答案为：113927或112739或391127或392711或271139或273911.(任选其一即可).

19.(l)4a(a+2b)(a-2b)

⑵3(x+l『

【详解】(1)原式=4〃(/一4从)

=4a(a+2b)(a-2b)

(2)原式=3(V—2x+l+4x)

-3(x+l)2

20.(1)116

(2)-800

【详解】⑴解：•.,a+8=IO,ab=-S,

a2+^2=(a+Z?)2-2^=102-2x(-8)=100+16=116；

(2)解：,/a+0=10,ab=-S,

a3b+2a2b2+ahy

=ab^a2+2ab+b1)

=〃/)(〃+/7)~

=-8xl02

=-8xl(X)

=-800.

21.40岁，14岁

【详解】解：由题意，得%-)=26,

•/x2-^=x(x->)=l(>4(j,

26x=1040,

解得x=4(),

y=x-26=40-26=14.

答：父亲今年40岁，儿子今年14岁.

22.

【详解】证明：二•任意个位数是5的整数都可以写成10〃+5的形式，其中〃为整数,

(10〃+5『=1GO/+100.7+252=25(4，/+4〃+1),

又•••〃为整数,

4/r+4〃+1为整数，

・•.(10〃+5)2是25的整数倍，

即任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除.

23.(1)6/2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+cy

(2)-64

(3)3片+&必+4从=(3〃+%)(〃+%),图见解析

【详解】(1)解：图2面积表示为：a2+b'+c2+2ab+2bc+2ac,

或表示为：(a+A+cp,

所以有：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2.

故答案为：a2+b2+c2+2eib+2bc+2ac=(a+b+c)2.

(2),.,4x+2y+z=12,

，

:.2cx+y+—1z=6.

/J2x+>'+-!-zj=4x2+y2+^z2+4xy+2xz+yz=36.

•?4x2+y2+-z2=100,

4

/.^xy+2xz+=36-100=-64.

(3)如图所示.

abb