广东省深圳市部分学校高二上学期期末联考数学试卷

广东省深圳市部分学校学年高二上学期期末联考数学试卷考试时间：120分钟试卷满分：150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知直线l经过点，，则正确的是（）A.直线l的斜率为1 B.直线l的倾斜角为C.直线l的方向向量为 D.直线l的法向量为【答案】B【解析】【分析】由两点求得斜率，进而逐项判断即可.【详解】由斜率公式得，所以倾斜角为，方向向量为，法向量为，其中，所以A，C，D错误，B正确.故选：B2.若椭圆：（）仅经过，，中的一个点，则椭圆的短轴长为（）A.2 B.4 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据椭圆是轴对称图形，所给的三点中有两个点关于轴对称，进而可得点在椭圆上，因此可得椭圆的短轴长.【详解】因为，关于轴对称，椭圆也关于轴对称，所以，要么都在椭圆上，要么都不在椭圆上，而椭圆仅经过，，中的一个点，所以椭圆经过，代入得，解得，所以椭圆的短轴长为.故选：B.3.已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是（）A. B. C.1 D.1【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列性质、等比中项的意义列式计算即得.【详解】依题意，，所以.故选：A4.圆关于直线对称的圆的方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题求出关于的对称点，据此可得答案.【详解】由题可得圆心，半径为1，设点关于直线的对称点为，则，则，又圆半径也为1，所以圆的方程为.故选：D.5.“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】法一：根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算,即可得到的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.法二：利用直线过定点的特征，结合双曲线渐近线可作出判断.【详解】法一：由题意，联立方程可得，当时，即时，方程有一解，即只有一个公共点；当时，，方程有两解，即有两个公共点，不符合题意.所以，直线与双曲线只有一个公共点时，.所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件.法二：因为直线过定点，双曲线的右顶点为，如图，根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有交点.所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件.故选：C.6.在四棱锥中，底面是平行四边形，且，设，，，则（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量基本定理即可求解.【详解】由，得，，故选：A7.已知等差数列的前项和为，且，则取最大值时的值是（）A.4 B.5 C.6 D.10【答案】B【解析】【分析】设出公差，结合等差数列求和公式计算可得，再用与表示出后，结合二次函数性质即可得.【详解】设等差数列的公差为，则，化简得，即，则，由，则当时，取最大值.故选：B.8.若直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据渐近线的概念，写出参数之间的等量关系，根据离心率的概念直接求出结果即可.【详解】由题意知，所以，所以离心率．故选：D．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.）9.已知数列满足，，记数列的前项和为，则（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】根据递推公式求出、、，即可找到规律得到数列是以为周期的周期数列，即可判断A、B、D，再根据递推公式表示出，即可得到，从而判断C.【详解】解：因为，，所以，故A错误；，，所以数列是以为周期的周期数列，所以，故B错误；因为，，所以，故C正确；，故D正确；故选：CD10已知空间向量，，则（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用空间向量减法的坐标运算判断A，利用模长公式判断B，利用数量积的坐标运算判断C，利用平行向量的定义判断D即可.【详解】由题意得，对于A，由空间向量减法的坐标运算法则得，故A正确，对于B，由空间向量的模长公式得，故B正确，对于C，由空间向量的数量积的坐标运算法则得，故C正确，对于D，设，可得，所以，此时方程组无解，得到向量与向量不平行，故D错误.故选：ABC11.已知抛物线焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D.【详解】法一：对于A，对于抛物线，则，其准线方程为，焦点，则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，由抛物线的定义可知，，故A正确；对于B，过点作准线的垂线，交于点，由题意可知，则，又，，所以，所以，同理，又，所以，即，显然为的斜边，则，故B错误；对于C，易知直线的斜率不为，设直线的方程为，，联立，得，易知，则，又，，所以，当且仅当时取等号，故C正确；对于D，在与中，，所以，则，即，同理，又，，所以，则，故D正确.故选：ACD.法二：对于A，对于抛物线，则，其准线方程为，焦点，则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，由抛物线的定义可知，，故A正确；对于B，过点作准线的垂线，交于点，由题意可知，则，又，，所以，所以，同理，又，所以，即，显然为的斜边，则，故B错误；对于C，当直线的斜率不存在时，；当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立，消去，得，易知，则，所以，综上，，故C正确；对于D，在与中，，所以，则，即，同理，当直线的斜率不存在时，，；所以，即；当直线的斜率存在时，，，所以，则；综上，，故D正确.故选：ACD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.直线与直线之间的距离为__________.【答案】【解析】【分析】先将方程变形，再根据平行直线间的距离公式求解出结果.【详解】因为，所以平行线间的距离为，故答案为：.13.若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________.【答案】【解析】【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解.【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则，设的公比为，当时，，即，则，显然不成立，舍去；当时，则，两式相除得，即，则，所以，所以该等比数列公比为2.故答案为：.法二：设该等比数列为，是其前项和，则，设的公比为，所以，，所以，则，所以，所以该等比数列公比为2.故答案为：2.法三：设该等比数列为，是其前项和，则，设的公比为，因为，又，所以，所以，所以该等比数列公比为.故答案为：.14.圆与x轴相切于点A，点B在圆C上运动，点为线段的中点，点N是直线上一点，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】首先搞清楚点的轨迹，把问题转化成圆外一点与圆上的点的距离问题求解.【详解】如图：已知，，因为为弦的中点，所以，所以点轨迹是以为直径的圆.设圆心为，半径为1.作点，则，关于直线对称.所以.所以当四点共线且在之间时，取得最小值，为.故答案为：四、解答题（本题共5小题，共77分）15.在中，角的对边分别为，已知．（1）求的大小；（2）若，且，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理并结合题设求出即可求解；（2）由结合角B的范围即可分析求解.【小问1详解】由余弦定理及得，显然，，；【小问2详解】，，，的取值范围是.16.已知等差数列的前项和为，满足，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求．【答案】（1）（2）20【解析】【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果；（2）由并项求和法代入计算，即可得到结果.【小问1详解】设等差数列的公差为，由题意可得，解得，所以.【小问2详解】由（1）可得，所以17.已知数列的前项和为，且满足，数列是等差数列，，且、、成等比数列．（1）求数列和数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和；（3）记，求．【答案】（1），（2）（3）当为偶数时，；当为奇数时，【解析】【分析】（1）根据已知求的方法求通项公式，利用等差数列和等比中项性质求的通项公式；（2）化简，利用裂项相消法求数列的前项和；（3）求出，分为偶数，为奇数，求.【小问1详解】当时，，解得，当时，，整理得又∵，∴，,∴数列是首项为3、公比为3的等比数列，，设等差数列的公差为，∵，且、、成等比数列∴.，即，即，解得，∴.【小问2详解】由（1）可知则【小问3详解】由题意可知，，当为偶数时，当为奇数时，18.如图，正四棱台中，为的中点，．（1）当时，（i）求证：平面平面；（ii）求直线与平面所成角的正弦值．（2）若正四棱台存在内切球，求正四棱台的体积．【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）（2）【解析】【分析】(1)（i）连接交于，则平面．证得平面，从而得，再证得，则平面，进而得证；（ii）以为原点，建立空间直角坐标系，求出，平面的法向量，即可求直线与平面所成角的正弦值；(2)设球为正四棱台的内切球，根据轴截面图形可求出正四棱台的高为，从而利用台体体积公式求出答案．【小问1详解】（i）证明：连接交于，连接，交于点，连接，则平面．∵平面，∴．在正方形中，，且平面，∴平面．∵平面，∴．∵，∴．连接，∵且，∴四边形为平行四边形．∴．连接，∵为的中点，∴．∵平面，∴平面．∵平面，∴平面平面．（ii）由题意，两两互相垂直，以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，连接，则，∴，∴．∴，．设平面的法向量为，则，取，则，∴．设直线与平面所成的角为，∴．∴直线与平面所成角的正弦值为．【小问2详解】取的中点，连接，则．由题意，设球为正四棱台的内切球，则为的中点，且球与平面的切点在上，如图，可证，，∴．∴．过作，垂足为，则，∴，∴，∴，∴正四棱台体积为．19.17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为4，点间的距离2，转动杆一周的过程中始终有.点在线段的延长线上，且.（1）以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程；（2）过点的直线与交于两点.记直线的斜率分别为，（i）证明：为定值；（ii）若直线的斜率为，点是轨迹上异于的点，且平分，求的取值范围.【答案】（1）（2）（i）证明见解析；（ii）【解析】【分析】（1）由题意，根据椭圆的定义知点的轨迹是以为焦点的椭圆，确定a，b即可求解；（2）（i）设，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示，结合两点表示斜率公式即可证明；（ii）根据三角形面积公式化简可得，设，由（i）和平面向量的坐标表示建立的方程，解之即可求解.【小问1详解】，点的轨迹是以为焦点的椭圆，设椭圆的方程为，，，点的轨迹的方程为；【小问2详解】（i）证明：设直线与椭圆的交点坐标为①当直线斜率存在时，如图，设，联立直线与椭圆的标准