青岛版七年级数学下册：列方程组解应用题（第一课时）教案

青岛版七年级数学下册：列方程组解应用题（第一课时）教案

一、教学基本信息与设计理念

所属学科：初中数学

涉及学段：七年级（下学期）

课时安排：1课时（45分钟）

使用教材：青岛出版社《义务教育教科书·数学》七年级下册

核心内容：二元一次方程组的应用——建立数学模型解决实际问题

设计理念：

本教案以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为指导，秉持“核心素养”导向的教学观。教学设计超越了传统的技能训练模式，致力于构建一个以“数学建模”为核心思维流程的深度学习场域。我们强调将数学知识与真实世界进行有意义的联结，引导学生在复杂情境中识别、提取并量化关系，从而经历完整的“问题情境—数学建模—求解验证—解释应用”的数学化过程。通过本课的学习，学生不仅应掌握列方程组解应用题的基本步骤，更应初步形成运用数学思维分析与解决现实问题的意识与能力，发展数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养，并体会数学的广泛应用价值与理性精神。

二、教学内容与学情分析

1.教学内容分析

本节课是学生在系统学习了解二元一次方程组的基本解法（代入消元法、加减消元法）之后，首次集中学习如何应用方程组解决实际问题。它在整个代数知识链条中起着承上启下的关键作用：向上，是对“用一元一次方程解应用题”的深化与拓展，从寻找一个等量关系到寻找两个相互关联的等量关系，思维复杂度提升；向下，是为后续学习更为复杂的函数、不等式应用问题奠定坚实的建模基础。青岛版教材在此部分注重情境的生活化与趣味性，常以“里程碑上的数”、“增收节支”、“鸡兔同笼”等经典问题为载体。本课时（第一课时）的重点在于引导学生掌握建立二元一次方程组模型解决含有两个未知量且两个未知量满足两个等量关系的实际问题的一般思路和方法。

2.学情分析

认知基础：七年级学生已经熟练掌握了有理数、整式的运算，具备解一元一次方程和二元一次方程组的扎实技能。在“用一元一次方程解应用题”方面，学生已经历了初步的建模训练，具备寻找单一等量关系、设未知数、列方程的基本经验。

思维特征：该年龄段学生的抽象逻辑思维正处于快速发展阶段，但仍有赖于具体形象的支持。他们能够处理两个变量的关系，但在面对复杂文字描述时，同时捕捉两个等量关系并准确将其转化为数学表达式仍存在困难。部分学生存在“重运算、轻分析”的倾向，急于设未知数列方程，而疏于对题目深层数量关系的细致剖析。

潜在困难：一是从冗长的文字叙述中精准提取有效数学信息，并辨别出两个独立且相关的等量关系；二是如何合理设定未知数（直接设元或间接设元），使列出的方程最为简洁明了；三是对方程组解的实际意义进行合理解释与检验。教学中需通过搭建思维支架、强化审题步骤、示范规范表达等方式突破这些难点。

三、教学目标与重难点

基于核心素养的教学目标：

1.知识与技能

1.能准确识别实际问题中涉及的两个主要未知量。

2.能从问题情境中分析出两个独立的等量关系，并用自然语言和数学语言进行表述。

3.能根据等量关系，合理设未知数，列出二元一次方程组。

4.能解所列的方程组，并检验解的合理性，最后给出符合题意的答案。

2.过程与方法

1.经历从现实问题抽象为数学问题的完整建模过程，体会方程思想是刻画现实世界数量关系的有效模型。

2.通过小组合作探究与辨析，掌握“审、设、列、解、验、答”的六步解题策略，提升分析问题和解决问题的能力。

3.学会使用表格、线段图等辅助工具梳理复杂数量关系，培养化繁为简的思维策略。

3.情感、态度与价值观

1.在解决贴近生活的实际问题中，感受数学的应用价值，增强学习数学的兴趣和信心。

2.通过克服建模过程中的困难，培养勇于探究、严谨求实的科学态度和理性精神。

3.在小组交流中，学会倾听、表达与合作，提升数学交流能力。

教学重点：

掌握列二元一次方程组解应用题的一般步骤，特别是如何从问题中找出两个等量关系。

教学难点：

1.突破点一：从复杂的语言文字中，分离并精准表述两个相互独立的等量关系。

2.突破点二：根据不同的等量关系特点，选择最简洁、最直接的设元方法。

四、教学准备

教师准备：

1.多媒体课件：包含问题情境动画、例题图文解析、解题步骤框架图、阶梯式练习题组。

2.教具：磁性白板贴（用于板书关键步骤和等量关系）、小组探究任务卡。

3.预设学案：印有核心例题、探究活动记录表及分层练习。

4.教学环境：学生座位按4-6人异质小组排列，便于合作探究。

学生准备：

1.复习二元一次方程组的解法。

2.准备笔记本、练习本、尺规等学习用具。

3.预习教材相关内容，对“用方程组解决问题”有初步印象。

五、教学过程实施

（一）情境创设，问题驱动（预计时间：5分钟）

活动设计：

1.课件动态展示一幅“古代集市”场景图，并配以故事性叙述：“话说《孙子算经》中记载了一道有趣的数学问题——‘今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？’这就是著名的‘鸡兔同笼’问题。在小学，我们曾用假设法、抬腿法来思考它。今天，我们已经掌握了代数的强大工具，能否用一种更通用、更直接的方法来攻克这类问题呢？”

2.教师板书问题原文，并引导学生用现代数学语言复述：“这个问题中，有哪些未知的量？已知哪些数量？这些数量之间有什么关系？”

3.学生快速回应：未知量是鸡的数量和兔的数量。已知总头数35，总足数94。关系是：鸡的头数+兔的头数=35；鸡的足数+兔的足数=94。

4.教师顺势引题：“很好！这里恰好有两个未知量，同时它们满足两个不同的等量关系。这正是二元一次方程组大显身手的绝佳场合。本节课，我们就来系统学习如何‘列方程组解应用题’。”

设计意图：

以经典数学文化问题导入，迅速激发学生兴趣和探究欲。将学生已有经验（鸡兔同笼的算术解法）与新知（代数解法）形成冲突与联系，凸显方程组方法的普适性和优越性。开门见山地指明本课核心：处理“两个未知量，两个等量关系”的问题，目标明确。

（二）探究新知，建构模型（预计时间：18分钟）

环节一：解剖范例，归纳步骤

1.出示例1（教材例题或改编）：“小华和爸爸的年龄和是50岁，已知爸爸的年龄比小华年龄的2倍少10岁。请问小华和爸爸今年各多少岁？”

2.自主审题（1分钟）：学生独立阅读，圈划关键词。

3.小组讨论（3分钟）：围绕以下问题展开：

1.4.问题中的未知量是什么？（小华年龄，爸爸年龄）

2.5.题目中包含了哪两个等量关系？请用完整的句子表述出来。

3.6.如何用含有未知数的式子来表示这两个关系？

7.全班分享与提炼（5分钟）：

1.8.教师邀请小组代表分享等量关系。

关系一：小华年龄+爸爸年龄=50

关系二：爸爸年龄=小华年龄×2-10

2.9.教师板书这两个关系式。

3.10.关键提问：“现在，我们需要把这两个用中文描述的‘关系’，变成数学的‘方程’。第一步应该做什么？”（设未知数）

4.11.引导学生设未知数：设小华今年x岁，爸爸今年y岁。

5.12.教师示范将等量关系翻译成方程：

根据关系一：x+y=50

根据关系二：y=2x-10

板书方程组：{x+y=50;y=2x-10}

6.13.请一名学生板演解方程组的过程，其余学生自主练习。解得x=20,y=30

。

7.14.追问检验：“得到解x=20,y=30

后，我们能否直接写下答案？”（不能，需检验）引导学生将解代入原题进行实际意义检验：20+30=50，符合；30是否等于2×20-10？30=40-10，符合。检验无误。

8.15.最后，规范书写答句。

16.思维结构化——提炼“六步法”（4分钟）：

教师引导学生回顾刚才解决问题的完整流程，共同总结出列二元一次方程组解应用题的一般步骤，并用思维导图形式板书：

列二元一次方程组解应用题的一般步骤：

1.审：审清题意，明确未知量，找出等量关系。

2.设：设未知数（直接设元或间接设元）。

3.列：根据等量关系，列出方程组。

4.解：解这个方程组，求出未知数的值。

5.验：检验解是否符合题意（包括实际意义检验和方程检验）。

6.答：写出完整的答案。

教师强调：“在这六步中，‘审’是基础，‘找等量关系’是核心，‘列’是关键。‘验’是保证解答正确的必要环节，不可省略。”

环节二：策略深化——列表辅助分析

1.出示例2（涉及数量、单价、总价类问题）：“某文具店销售A、B两种品牌的钢笔。A品牌每支进价10元，售价15元；B品牌每支进价12元，售价18元。某天该店共售出这两种钢笔30支，总利润为180元。问这天A、B两种钢笔各售出多少支？”

2.认知冲突：此问题数量关系比例1更隐蔽，涉及销售数量、进价、售价、利润等多个概念。

3.引入策略（4分钟）：教师提出：“对于这种涉及多组数量（如数量、单价、总额）的问题，我们可以借助‘表格’来梳理信息，让等量关系一目了然。”

师生合作，共同构建分析表格：

品牌

售出数量（支）

单支利润（元）

总利润（元）

A

x

15-10=5

5x

B

y

18-12=6

6y

总计

30

——

180

4.基于表格找关系（1分钟）：从表格中可直接读出两个等量关系：

1.5.数量关系：x+y=30

2.6.利润关系：5x+6y=180

7.学生独立完成设、列、解、验、答的过程。教师巡视指导。

设计意图：

本环节是教学的核心。通过两个由浅入深的例题，引导学生经历完整的建模过程。例1重在规范流程，归纳普适性的“六步法”，形成思维框架。例2引入“列表法”这一重要的辅助分析工具，帮助学生应对更复杂的情境，掌握化繁为简、有序思考的策略。从“怎么做”上升到“为什么这么做”以及“如何做得更好”，促进了学生方法论的建构。

（三）变式练习，巩固内化（预计时间：12分钟）

遵循“理解—掌握—应用”的认知规律，设计三层递进的练习。

层次一：基础巩固（对标教学重点）

1.题目：“篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分。某队在全部10场比赛中得到16分，那么这个队胜、负场数分别是多少？”

2.要求：学生独立完成，严格遵循“六步法”书写。教师抽样投影展示，重点评价等量关系寻找是否准确（胜场数+负场数=10；胜场积分+负场积分=16）和步骤的完整性。

层次二：能力提升（突破教学难点）

1.题目：“用一根长60cm的铁丝围成一个长方形，使长方形的长比宽多4cm。求这个长方形的面积。”

2.引导探究：此题未知量是长和宽，等量关系明显（2×(长+宽)=周长；长-宽=4）。但问题是求面积。教师提问：“求出长和宽后，问题结束了吗？”（没有，还需计算面积）这提醒学生审题要审“最终问题”。同时，可探讨是否可直接设面积为未知数？通过对比，让学生体会直接设长和宽为未知数更直接简便。

层次三：拓展迁移（跨学科视野）

1.题目：“化学实验室需要配制浓度为8%的盐水100克。现在有浓度为5%和10%的两种盐水，问需要这两种盐水各多少克？”

2.小组合作：此题涉及化学中的浓度概念。教师需简要解释“浓度=溶质质量/溶液质量×100%”。小组合作，尝试寻找等量关系。

1.3.溶液质量关系：设需5%盐水x克，10%盐水y克，则x+y=100

2.4.溶质质量关系：5%x+10%y=8%×100

5.此题为学有余力的学生提供挑战，初步感受数学作为工具在其他学科中的应用价值。

练习组织：学生独立完成层次一，同桌互评。层次二由学生尝试后教师讲评关键点。层次三作为小组探究题，讨论后由教师引导分析。教师巡回指导，重点关注学困生对等量关系的把握情况。

（四）课堂小结，反思升华（预计时间：5分钟）

活动设计：

1.知识网络构建：教师引导学生以“今天我学到了什么？”为主线进行开放式小结。学生可能从知识、方法、思想、感受等多角度发言。

1.2.知识：列二元一次方程组解应用题的步骤（六步法）。

2.3.方法：找等量关系的技巧（抓关键词、列表格、画示意图）。

3.4.思想：方程思想、建模思想。

4.5.感受：数学有用，解决问题需要耐心和分析。

6.教师总结提升：“同学们总结得非常到位。我们不仅学会了一种技能，更掌握了一种用数学眼光观察世界、用数学思维分析世界、用数学语言描述世界的思维方式。从‘鸡兔同笼’到‘销售利润’，再到‘配制盐水’，我们看到，只要生活中存在两个相互关联的未知量，并已知它们之间的两个等量关系，二元一次方程组就是我们手中的一把‘万能钥匙’。关键在于，你是否能练就一双发现等量关系的‘火眼金睛’。”

7.布置作业：

1.8.必做题：教材课后练习题第1、2、3题。要求规范书写过程。

2.9.选做题/探究题：（1）寻找一个生活中可以用二元一次方程组解决的实际问题，并尝试建立模型。（2）查阅资料，了解“鸡兔同笼”问题除了算术法和方程法，还有哪些有趣的解法？

设计意图：

通过学生自主小结，将零散的知识点系统化、结构化。教师的总结将本课从具体技能提升到数学思想与核心素养的高度，强化学生的学科认同感和学习成就感。分层作业设计尊重个体差异，必做题巩固基础，选做题激发探究兴趣，并实现课内向课外的延伸。

六、板书设计

板书采用“主-副”板布局，力求清晰、直观地呈现思维脉络和知识要点。

主板（左侧）：

列二元一次方程组解应用题（一）

一、典例解析

例1：年龄问题

未知量：小华年龄、爸爸年龄

等量关系：1.和的关系：小华年龄+爸爸年龄=50

2.倍差关系：爸爸年龄=小华年龄×2-10

设：设小华x岁，爸爸y岁。

列：{x+y=50

{y=2x-10

解、验、答：（略）

二、一般步骤（六步法）

1.审→2.设→3.列→4.解→5.验→6.答

（核心：找等量关系）

副板（右侧）：

辅助策略：列表法（例2：销售问题）

|品牌|数量(x,y)|单利|总利|

|A|x|5|5x|

|B|y|6|6y|

|总计|30|—|180|

关系：{x+y=30

{5x+6y=180

课堂练习要点：

•基础题：抓“胜、负”关键词。

•提升题：审清“最终问题”。

•拓展题：理解浓度公式。

七、教学反思与评价预设

1.教学效果预设

预计80%以上的学生能通过本课学习，掌握“六步法”的基本流程，并能解决等量关系较为明显的标准型应用题。约60%的学生能初步运用列表等工具分析稍复杂的问题。学生在“寻找等量关系”这一核心环节上的表现差异，将是衡量本课教学有效性的关键指标。

2.教学评价设计

1.过程性评价：通过课堂观察，评价学生在小组讨论中的参与度、发言质量；通过巡视练习，评价学生审题、找关系的思维过程是否清晰；通过板演和问答，评价其语言表达和逻辑的严