内科大材料力学（土木类）课件第4章 弯曲应力

第四章弯曲应力§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图a0901[1].swfⅠ、弯曲的概念受力特点：杆件受到垂直于杆轴线的外力（横向力）或外力偶（其矢量垂直于杆轴）作用。MeMeABF——以弯曲为主要变形的杆件通称为梁。梁变形特点：1、直杆的轴线在变形后变为曲线；2、任意两横截面绕垂直于杆轴的轴作相对转动。MeMeABF最基本常见的弯曲问题——对称弯曲对称弯曲时梁变形后轴线所在平面与外力所在平面相重合，因而一定是平面弯曲。梁变形后的轴线与外力在同一平面内FAAF1F2

B对称轴纵对称面FB特定条件下，发生非对称弯曲的梁变形后其轴线所在平面也会跟外力所在平面相重合，因而也属于平面弯曲。1、梁不具有纵对称面；2、梁有纵对称面，但外力没有作用在纵对称面内，从而变形后轴线所在平面与梁的纵对称面不一致。非对称弯曲——yzFzyFqxqⅡ、梁的计算简图1、支座的基本形式(1)固定端MA

FAABq0

MR

FRyFRx约束反力计算简图(2)固定铰支座和可动铰支座FRyFRxFR

可动铰支座固定铰支座约束反力计算简图(1)悬臂梁2、梁的基本形式(2)简支梁(3)外伸梁FRy1FRxFRxFRyMR

FRy2FRy1FRxFRy2静定梁梁的支反力均可由平面力系的三个独立的平衡方程求出。3、静定梁和超静定梁梁的支反力单独利用平衡方程不能确定。静定梁超静定梁FAyFAxMA

FBFAyFAxFCFBABBCA例4-1试求图示有中间铰C的梁AB的支反力。关键在于中间铰不能传递力矩的特性，因而不论AC段或CB段均有解：整体分析梁的受力如图。未知支反力：4个整体独立平衡方程：3个1m0.5m1m3m1mBACDKEq=20kN/m

Me=5kN·mF=50kNFByMA

FAxFAyCDKq=20kN/mMe=5kN·mAEFBFCx

FCy

CAE50kNFCy'FCx'MA

FAxFAy1m0.5m1m3m1mBACDKEq=20kN/m

Me=5kN·mF=50kNDKq=20kN/mCFByMe=5kN·mFByMA

FAxFAyCDKq=20kN/mMe=5kN·mAEFB1m0.5m1m3m1m

CB梁段上的荷载会传递到梁的AC段，称为副梁；

AC段上的荷载不会传递到梁的CB段，称为基本梁(或主梁)。CFCx

FCy

AEFFCy'FCx'MA

FAxFAyDKq=20kN/mCFByMe=5kN·m带有中间铰的梁的受力特点：B§4-2梁的剪力和弯矩•剪力图和弯矩图Ⅰ、梁的剪力和弯矩取左侧分离体分析任一横截面m-m上的内力mmxaABFFBFAFAFSyAmmxxCM由其右边分离体的平衡条件同样可得切向应力的合力，称为剪力法向应力的合力，称为弯矩ammxABFFBFAFAFSyAmmxxCMMFSmFmBCFB剪力和弯矩的符号规则：例4-2求图示外伸梁在截面1—1、2—2、3—3和4—4横截面上的剪力和弯矩。解：支反力为

xyAFBaa2a11224433Me

=3FaFBFA截面1—1截面2—2M1FS1FC111FAM2FS2FC222

xyAFBaa2a11224433Me

=3FaFBFA截面3—3截面4—4

xyAFBaa2a11224433Me

=3FaFBFA33C3M3FFS3FAFS4M44C4FB4内力1—12—23—34—4FS-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa1、横截面上的剪力和弯矩在数值上由截面左侧或右侧梁段分离体的静力平衡方程来确定。剪力值=截面左侧（或右侧）所有外力的代数和弯矩值=截面左侧（或右侧）所有外力对该截面形心的力矩代数和

xAFB11224433Me

=3FaFA=3FFB=-2F2、截面左侧梁段向上的外力→正剪力→正弯矩顺时针外力偶→正弯矩截面右侧梁段向上的外力→负剪力→正弯矩顺时针外力偶→负弯矩内力1—12—23—34—4FS-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa

xAFB11224433Me

=3FaFA=3FFB=-2F剪力：左上右下为正弯矩：左顺右逆为正3、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值=集中力大小；在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值=集中力偶矩大小。内力1—12—23—34—4FS-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa

xAFB11224433Me

=3FaFA=3FFB=-2F例4-3图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷载集度为q0，试求截面C上的内力。解：先求支反力xyABalCq0FBFAq0l/2截面C的内力思考：是否可以将梁上的分布荷载全部用静力等效后的合力代替来求截面C的内力？FSCMCFAaAa/3Ⅱ、剪力方程和弯矩方程•剪力图和弯矩图显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。剪力方程弯矩方程反映梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式例4-4图示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：1、以自由端为坐标原点，则可不求反力列剪力方程和弯矩方程：ABxlBxFS(x)M(x)2、作剪力图和弯矩图注意：弯矩图中正的弯矩值绘在x轴的下方(即弯矩值绘在弯曲时梁的受拉侧)。xqlFS

ql22xMl/2ql28ABl例4-5图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：1、求支反力2、列剪力方程和弯矩方程xFBFABlAqFAM(x)FS(x)xAqql

2FS

ql28l/2MBlAq3、作剪力图和弯矩图例4-6图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：1、求支反力2、列剪力方程和弯矩方程——需分两段列出xBlAFabCFBFAAC段CB段xBlAFabCFBFAFAxAM(x)FS(x)FBBFS(x)M(x)3、作剪力图和弯矩图FS

FblxFblMxFablFBlAabC发生在集中荷载作用处发生在AC段b>a时FS

FblxFblMxFablFBlAabC例4-7图示简支梁在C点受矩为Me

的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解:1、求支反力Me

FA

FBBlACab2、列剪力方程和弯矩方程剪力方程无需分段：弯矩方程——两段：AC段：CB段：FA

FBBlACabxAFAM(x)FS(x)xFBBFS(x)M(x)3、作剪力图和弯矩图b>a时发生在C截面右侧BlACabFslxMelMxMealMeb思考：对称性与反对称性Bl/2FA

AFBCl/2FxMFl/4xFsF/2F/2Bl/2FA

AFBCMe

l/2FslxMeMxMe/2Me/2结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称，剪力图为反对称结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称，剪力图为正对称结论：Ⅲ、弯矩、剪力与分布荷载集度之间的关系及其应用略去mmnnmmCnnq(x)

FS(x)

M(x)M(x)+dM(x)OFyxMe

q(x)xdxFS(x)+dFS(x)

q(x)、FS(x)、M(x)间的微分关系其中分布荷载集度q(x)

以向上为正，向下为负。OFyxMe

q(x)剪力、弯矩与外力间的关系外力无外力段均布载荷段集中力集中力偶q=0q>0q<0FS图特征M图特征CFCm水平直线xFS>0FS<0x斜直线增函数xx降函数xC自左向右突变xC无变化斜直线xM增函数xM降函数曲线xM坟状xM盆状自左向右折角

自左向右突变与m反xM折向与F反向MxM1M2利用以上特征1、可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确；2、可以不建立剪力方程和弯矩方程，利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图。利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图的步骤：1．求支座反力；2．分段确定剪力图和弯矩图的形状；3．计算控制截面内力值，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；4．确定和。例5-8试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系作图示梁的剪力图和弯矩图。解:利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图。aaqaqAaaqaqA左端点：分区点A：右端点：FSxqa2qa–xMB3aACMe=3qa2axq例5-9试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系作图示梁的剪力图和弯矩图。解：1、支反力为FAFBB3aACMe=3qa2axqAC段：q=0剪力图为水平直线剪力值2、作剪力图FS5qa/3xqa/38a/3xFAFBB3aACMe=3qa2axqCB段：q=常量<0剪力图为向右下方倾斜的斜直线3、作弯矩图AC段弯矩图→斜直线CB段弯矩图→二次抛物线B3aACMe=3qa2axq4qa2/3Mx5qa2/3qa2/18FS5qa/3xqa/38a/3Mx5qa2/3qa2/18例5-10试绘出图示有中间铰的静定梁的剪力弯矩图。已知：(逆时针)1m0.5m1m3m1mBACDKEq=20kN/m

Me=5kN·mF=50kNMA

FAxFAyFBy

96.515.53155345M图(kN·m)813129Fs图(kN)1.45m1m0.5m1m3m1mBACDKEq=20kN/m

Me=5kN·mF=50kNMA

FAxFAyFBy例4-11改内力图之错。a2aaqqa2ABFSxxM––++qa/4qa/43qa/47qa/4qa2/449qa2/323qa2/25qa2/4

IV.按叠加原理作弯矩图叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。按叠加原理作弯矩图步骤：

①分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；

②将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。例4-12按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力F作用在梁AB的中点处）。qqFF=+AAABBBxM2xM1xM

+++=+§4-3平面刚架和曲杆的内力图Ⅰ、平面刚架——由同一平面内不同取向的杆件相互间刚性连接的结构。面内受力时，平面刚架杆件的内力有：轴力、剪力、弯矩作刚架内力图的约定：弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号；剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧，但应注明正、负号；剪力和轴力的正、负规定仍与前面章节一致。例5-13试作图示刚架的内力图。解：从自由端取分离体作为研究对象写各段的内力方程，可不求固定端A处的支反力。CB段：(外侧受拉)yxqF=2qaBCA2aa2aDFS(x)M(x)Cqx(外侧受拉)BD段：(外侧受拉)DA段：F=2qaBCay2aDqFS(x)M(x)qBCy2aFS(x)M(x)FN(y)FN(y)可取刚性结点B为分离体，考察该结点是否满足平衡条件来校核内力图的正误。F=2qaBCA2aa2aDq2qa2qa26qa22qa2qaFN图FS图M图Ⅱ、平面曲杆面内受力时的内力——轴力、剪力、弯矩弯矩的符号约定——使杆的曲率增加（即外侧受拉）为正作平面曲杆内力图的约定与刚架相同。AOBmmRjF例5-14一端固定的四分之一圆环，半径为R，在自由端B受轴线平面内的集中荷载F作用如图，试作出其内力图。解：取分离体如图写出其任意横截面m-m上的内力方程：AOBmmRjFCFOjhzFN(j)FS(j)M(j)根据内力方程绘出内力图，如图所示。AOBmmRjFBAFFN图FRABM图AFBFS图练习题：作图示梁的剪力图和弯矩图

3kN5kN2kN(+)(+)(-)(+)(-)4kN.m2.25kN.m§4-4梁横截面上的正应力•梁的正应力强度条件纯弯曲横力弯曲FSxFFxMFa

FalaFⅠ.纯弯曲时梁横截面上的正应力（一）几何方面表面变形情况纵线弯成弧线，靠近顶面的纵线缩短，而靠近底面的纵线则伸长；横线仍为直线，并与变形后的纵线保持正交，只是横线间相对转动。平面假设

梁在纯弯曲时，横截面仍保持为平面，且与梁变形后的轴线仍保持正交，只是绕垂直于纵对称轴的某一轴转动。中性轴根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层，称为中性层。中性层中性轴中性层与横截面的交线就是中性轴。中性层中性轴Me

Me

mabmanbnMe

Me

mmnnaabbr——中性层的曲率半径CABryO1O2B1dq}dxMe

Me

mmnnaabb（二）物理方面——单轴应力状态下的胡克定律不计挤压，即认为梁内各点均处于单轴应力状态。当s<sp，且拉、压弹性模量相同时，有即直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化。zOyzdA

sdAyx（三）静力学方面即中性轴

z是形心轴。对称弯曲时此条件将自动满足。zOyzdA

sdAy得xzOyzdA

sdAy得这是纯弯梁变形时中性层曲率的表达式。EIz称为梁的弯曲刚度。思考：发生纯弯曲变形的等直梁其轴线将弯成什么曲线？x弯曲正应力计算公式zOyzdA

sdAyx中性轴

z

为横截面的对称轴时称为弯曲截面系数yzzybh中性轴

z

不是横截面的对称轴时Ozyyt，maxyc，max简单截面的弯曲截面系数⑴矩形截面⑵圆形截面zybhyzd⑶空心圆截面(4)型钢截面：参见型钢表式中DOdyzⅡ.纯弯曲理论的推广横力弯曲时：1、由于切应力的存在梁的横截面发生翘曲；2、横向力还使各纵向线之间发生挤压。平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。弹性力学的分析结果：对于细长梁（l/h>5

），纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。Fl4lF例4-14图示简支梁由56a号工字钢制成，已知F=150kN。试求危险截面上的最大正应力smax

和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处的正应力sa

。B5

m10

mAFCFA

FB

12.521166560za375kN.m

M解：1、作弯矩图如上，2、查型钢表得56号工字钢3、求正应力为

12.521166560za或根据正应力沿梁高的线性分布关系的

12.521166560zaⅢ梁的正应力强度条件由于smax处t=0或极小，并且不计由横向力引起的挤压应力，因此梁的正应力强度条件可按单向应力状态来建立：材料的许用弯曲正应力中性轴为横截面对称轴的等直梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁Ozyyt，maxyc，max为充分发挥材料的强度，最合理的设计为例4-15图示外伸梁，材料的许用应力[σ]=120Mpa。试校核梁正应力强度。

解：（1）求支反力

FA=17.5kNFB=32.5kN

（2）作弯矩图：确定危险截面

（3）强度校核

例4-16图示为由工字钢制成的楼板主梁的计算简图。钢的许用弯曲正应力[s]=152MPa

。试选择工字钢的号码。ABFFF=75kN2.5m2.5m2.5m2.5m10mFBFA

解：1、支反力为作弯矩图如上。281375单位：kN·m2、根据强度条件确定截面尺寸与要求的Wz相差不到1%，可以选用。查型钢表得56b号工字钢的Wz比较接近要求值例4-17跨长l=2m的铸铁梁受力如图，已知铸铁的许用拉应力[st

]=30MPa，许用压应力[sc]=90MPa。试根据截面最为合理的要求，确定T字形梁横截面的尺寸d，并校核梁的强度。解：根据截面最为合理的要求1m2mBAF=80kNCy1y2z60220yO280d即得截面对中性轴的惯性矩为y1y2z60220yO280d梁上的最大弯矩于是最大压应力为即梁满足强度要求。y1y2z60220yO280dOsc,maxst,maxz例4-18图示槽形截面铸铁梁，已知：b=2m，截面对中性轴的惯性矩Iz=5493104mm4，铸铁的许用拉应力[st

]=30MPa，许用压应力[sc]=90MPa。试求梁的许可荷载[F]

。

解：1、梁的支反力为zyC形心86134204018012020BFCbq=F/bDbbAFBFA

据此作出梁的弯矩图如下发生在截面C发生在截面BzyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4BFCbq=F/bDbbA2、计算最大拉、压正应力可见：压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度条件则B、C截面都要考虑。zyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4C截面B截面压应力拉应力拉应力压应力考虑截面B

：zyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4考虑截面C：因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制zyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4练习题：F=10kN100501m试计算最大正应力。§4-5梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件Ⅰ、梁横截面上的切应力推导思路：近似方法不同于前面章节各种应力计算公式的分析过程分离体的平衡横截面上切应力分布规律的假设横截面上弯曲切应力的计算公式一、矩形截面梁mmnnq(x)F1

F2

xdxbhzyhm'mn'nnm'mdxbzyOxFS(x)M(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)mnnmm'n'yzyBAA1sdAy1横截面上纵向力不平衡意味着纵截面上有水平剪力，即有水平切应力分布。面积AA1mm'对中性轴z的静矩而横截面上纵向力的大小为mnm'yy1ABA1B1bdxdAsyzOx纵截面上水平剪力值为要确定与之对应的水平切应力t‘还需要补充条件。mnm'yy1ABA1B1bdxdAsyzOx矩形截面梁对称弯曲时横截面上切应力的分布规律

(1)由于梁的侧面为t=0的自由表面，根据切应力互等定理，横截面两侧边处的切应力必与侧边平行；(2)对称轴y处的切应力必沿y轴方向，即平行于侧边；(3)横截面两侧边处的切应力值大小相等，对于狭长矩形截面则沿截面宽度其值变化不会大。m'mn'nnm'mdxbytt'A1ABB1hzyOx窄高矩形截面梁横截面上弯曲切应力分布的假设：(1)横截面上各点处的切应力均与侧边平行；(2)横截面上距中性轴等远各点处的切应力大小相等。根据切应力互等定理推得：(1)t'

沿截面宽度方向均匀分布；(2)在dx微段长度内可以认为t'

没有变化。m'mn'nnm'mdxbytt'A1ABB1hzyOx根据前面的分析mnm'yy1ABA1B1bdxdAsyzOx即又由两式得其中：FS→横截面上的剪力；Iz

→整个横截面对于中性轴的惯性矩；b

→与剪力垂直的截面尺寸，此时是矩形的宽度；矩形截面梁弯曲切应力计算公式zyyy1

→横截面上求切应力的点处横线以外部分面积对中性轴的静矩矩形横截面上弯曲切应力的变化规律zyyy1

t沿截面高度按二次抛物线规律变化；(2)同一横截面上的最大切应力tmax在中性轴处(y=0)；(3)上下边缘处（y=±h/2)，切应力为零。tmaxzyOtmax二.工字形截面梁1、腹板上的切应力xydhzOdbtydAxzyOsA*dxtt'腹板与翼缘交界处中性轴处zyOtmaxtmintmax2、翼缘上的切应力

a、因为翼缘的上、下表面无切应力，所以翼缘上、下边缘处平行于y轴的切应力为零；

b、计算表明，工字形截面梁的腹板承担的剪力(1)平行于y轴的切应力可见翼缘上平行于y轴的切应力很小，工程上一般不考虑。xydhzOdbty(2)垂直于y轴的切应力dht1t1'xydhzOdbth即翼缘上垂直于y轴的切应力随

按线性规律变化。且通过类似的推导可以得知，薄壁工字刚梁上、下翼缘与腹板横截面上的切应力指向构成了“切应力流”。zyOtmaxtmaxtmint1max三、薄壁环形截面梁薄壁环形截面梁弯曲切应力的分布特征：(1)d<<r0→沿壁厚切应力的大小不变；(2)内、外壁上无切应力→切应力的方向与圆周相切；(3)y轴是对称轴→切应力分布与y轴对称；与

y轴相交的各点处切应力为零。最大切应力tmax

仍发生在中性轴z上。zyOtmaxtdr0tmaxzyOdr0yz2r0/pOC薄壁环形截面梁最大切应力的计算四、圆截面梁切应力的分布特征：边缘各点切应力的方向与圆周相切；切应力分布与y轴对称；与y轴相交各点处的切应力其方向与y轴一致。关于其切应力分布的假设：1、离中性轴为任意距离y的水平直线段上各点处的切应力汇交于一点；2、这些切应力沿y方向的分量ty沿宽度相等。zyOtmaxkk'O'd最大切应力tmax

在中性轴z处zyOtmaxkk'O'dyzOC2d/3pⅡ、梁的切应力强度条件一般tmax发生在FS,max所在截面的中性轴处，该位置s=0。不计挤压，则tmax所在点处于纯剪切应力状态。梁的切应力强度条件为材料在横力弯曲时的许用切应力对等直梁，有EtmaxFtmaxEmml/2qGHCDFlql2/8ql/2ql/2梁上smax所在点处于单轴应力状态，其正应力强度条件为梁上任意点G和H→平面应力状态，若这种应力状态的点需校核强度时不能分别按正应力和切应力进行，而必须考虑两者的共同作用（强度理论）。Csmax

DsmaxEmml/2qGHCDFlql2/8ql/2GtsHts横力弯曲梁的强度条件：强度足够确定截面尺寸验证设计截面时Emml/2qGHCDFlql2/8ql/2例4-19跨度为6m的简支钢梁，是由32a号工字钢在其中间区段焊上两块100

10

3000mm的钢板制成。材料均为Q235钢，其[

]=170MPa，[

]=100MPa。试校核该梁的强度。解1、计算反力得F1F2

50kN

50kN

50kNCABFB1.5m1.5mFA1.5m1.5mzy9.51001032010FS(kN)xM(kN·mm)x75252575112.5150112.5F1F2

50kN

50kN

50kNCABFB1.5m1.5mFA1.5m1.5mzy9.51001032010最大弯矩为F1F2

50kN

40kN

60kNCABFB1.5m1.5mFA1.5m1.5mzy9.51001032010EC截面弯矩为FS(kN)xM(kN·mm)x75252575112.5150112.5F1F2