河北保定市2026届高三第二次模拟考试数学试题+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页河北保定市2026届高三第二次模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A=x−1<A．x−1<x<3 B．x2．已知复数z=3+i1A．−2 B．2 C．2i 3．a=sin2A．a<c<b B．b<a<c C．4．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在直线2x+y=0A．45 B．−34 C．−5．生态系统的物种丰富度指数I=2S−3log2N用于评估森林生态系统的健康程度，其中S代表乔木层的物种数，N代表乔木层的个体总数，指数I越大表示生态系统越稳定．某林场在实施生态修复工程前后，乔木层的物种数A．5N1=7N2 B．76．若两个随机事件A,B相互独立，满足P(ABA．45 B．35 C．13257．已知等比数列an的各项均为正数；a1013,a1014是函数fA．2026 B．2025 C．1014 D．10138．已知F1,F2分别是双曲线x2a2−yA．7 B．102 C．72 二、多选题9．已知四边形ABCD是平行四边形，AA．点D的坐标是0,1,C．四边形ABCD的面积是3 D．坐标原点O到直线10．函数f(x)A．f(x)是偶函数 B．fC．f(x)在[−π11．记等差数列an的前n项和为Sn，数列Snn的前k项和为A．若a1<0且S3=B．若当且仅当k=20时，TC．若Tk取最小值时，k有两个不同解，则D．若an以1为首项，以2为公差，则数列a三、填空题12．已知函数f(x)=13．某厂生产了40000件产品，现对其质量进行测评，规定质量指标值不小于80就认为质量测评合格．现从这批产品的测评数据中随机抽取100件产品的质量指标值xi(i=1,2,参考数据：若随机变量X服从正态分布Nμ,σ2，则P(14．已知圆锥SO的底面为单位圆，其体积为π3.AB是底面圆O的直径，圆O内有一条动弦MN垂直于AB，过MN作平面a与母线SA交于点P，当BS四、解答题15．在△ABC中，a,b,c(1)求△A(2)若D是AB的中点，求C16．某AI大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式（即同时使用“深度思考”和“联网搜索”）三种模式，用户可根据需求在提问时自由选择．不同模式处理问题的时间（单位：秒）可以大致分为三组：0，20，20，某企业想对三种模式进行测评，若每种模式处理问题的时间在0，20，20，(1)若不考虑其它因素，仅从测评得分的均值考虑，哪种处理模式的测评得分最高？请说明理由；(2)在测评过程中，使用“深度思考”模式处理的所有问题中随机选取3个，记这3个问题中的测评得分相等的问题的个数为X，求X的分布列.17．三棱锥P−ABC中，已知M是PC的中点．AM=B(1)证明：AP(2)当平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为77（i）求PA的长；（ii）求三棱锥M−18．某设计图案由曲线C1与C2构成，曲线C1是以原点O为中心，F1(−1,0),F2(1)求曲线C1和C(2)直线AF1与曲线C1的另一交点为A1，直线AF2与曲线(3)作一条与坐标轴不垂直且不过原点的直线l，当直线l与曲线C1交于B,E两点，与曲线C2交于C,D两点时，E点关于原点O的对称点为F，若G为CD的中点，点Q(519．已知函数fx(1)若fx在定义域上单调递减，求a(2)当a=（i）若0<x1<x（ii）求证：1答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《河北保定市2026届高三第二次模拟考试数学试题》参考答案题号12345678910答案CBBCDCDBACDABD题号11答案BC1．C【详解】因为B=所以A∪B=2．B【分析】由复数除法运算化简得z，然后由虚部概念可得.【详解】z=所以复数z的虚部为2；故选：B3．B【分析】根据正弦函数的值域性质，结合对数函数、指数函数的单调性进行求解即可.【详解】因为0<sin2所以b=log2所以c=2−b=4．C【分析】根据二倍角的正弦公式，结合正弦和余弦的定义分类讨论进行求解即可.【详解】当角α的终边落在第二象限时，取一点P−则sinα所以sin2当角α的终边落在第四象限时，取一点P′则sinα所以sin2综上所述：sin25．D【分析】根据生态系统的物种丰富度指数公式，结合对数的运算性质进行求解即可.【详解】因为乔木层的物种数S保持不变，而个体总数从N1变为N所以有5⇒N6．C【分析】根据独立事件的运算公式和性质，结合条件概率的运算公式、对立事件的概率公式、和事件的概率公式进行求解即可.【详解】因为两个随机事件A,所以两个随机事件A,由P(由P(所以P7．D【分析】根据函数极值点的定义，结合等比数列下标的性质、对数的运算性质进行求解即可.【详解】f(令f′x>0，解得所以函数fx的单调递增区间为4,+令f′x<0，解得1<因此1,4是函数fxk=8．B【分析】根据双曲线定义及余弦定理得BF2=3a【详解】如图，设A，B是双曲线左支上的两点，令|AF1在△F2A整理得3m2−2a∴BF1∴AB=4∴△F2A在Rt△F1即a2∴e2∴e=1029．ACD【分析】根据平行四边形的性质、中点坐标公式，结合空间向量夹角公式、三角形面积公式、空间点到线距离公式逐一判断即可.【详解】A：设平行四边形ABCD因为A(0,0,设点D的坐标是x,y,所以1=2+x2B：因为AB所以cos∠C：由上可知：cos∠所以sin∠四边形ABCDD：AO=0,0,坐标原点O到直线AC的距离为A10．ABD【分析】本题关键在于把绝对值和三角函数复合后的表达式转化为关于t=【详解】对于A，因为f所以f所以fx对于B，当x>0时，x求导得f当x∈0所以4sinx故fx在区间0对于C，当x∈0,π且fx转化为由fx=0得当t=1时，sinx当t=12时，故fx在x∈0因为fx是偶函数，所以当x∈−π,所以fx在x对于D，对于任意实数x，均有sin2x=令t则求fx的最大值转化为求y=2对称轴为t=当t=−1当t=1时，当t=34因此fx11．BC【分析】根据等差数列的前n项和公式，结合二次函数的性质、等比数列的性质逐一判断即可.【详解】设等差数列的公差为d.A：S3因为a1<0Sn因为d>所以由12n的最小值为14，所以本选项说法不正确；B：令bn因为bn所以数列bn是首项为a1，公差为当k=20时，所以数列bn是首项为负，单调递增的等差数列，且有S20<则有a1<0S11−SC：因为Tk取最小值时，k有两个不同解，不妨设k=k所以数列Tk先单调递减，再单调递增，因此有a1<所以bk0+所以一定∃m=kD：假设数列an中存在三项成等比数列，这三项设为a所以有at2=ap所以1⇒⇒2因为p,q,所以有2t-p-12．2【分析】根据分段函数解析式代入求解即可.【详解】fπ13．39090【分析】本题是正态分布的实际估计问题，用样本平均数估计总体均值；用x2−x【详解】由题意，样本均值为x又因为x所以样本方差可估计为s用样本统计量估计总体参数，故可估计μ于是质量指标值近似服从正态分布N因为合格标准是不小于80，而80所以合格的概率为P由题给参考数据，P又正态分布关于均值μ对称，所以两侧尾部概率相等，从而P因此P所以该批产品中质量测评合格的产品件数约为40000故估计该批产品中质量测评合格的产品件数为39090.14．3【分析】弦MN交AB于点Q,设OQ=x,0【详解】如图，弦MN交AB于点Q，当BS//α时，SB⊂平面则BS由圆锥SO的底面为单位圆，其体积为π3得π3=13π设OQ则PQBS=AMN则△PMN则S′由S′=0当x∈0,12时，S′>0，则当x=12故S的最大值为：S115．(1)3(2)2【详解】（1）因为三角形中角A,B,C成等差数列，2B所以B=60°得b2=a2+则a2整理得ac=4（2）在△BC=≥2当且仅当14c2此时CD取得最小值为216．(1)“联网搜索”模式的测评得分最高，理由见解析(2)X023P0.1080.6480.244【分析】（1）根据题中统计表，结合均值的定义进行求解即可；（2）根据独立事件的概率公式进行求解即可.【详解】（1）设“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式的测评得分的均值分别为Y,Y=ZZ因为1.7>（2）三个问题中测评得分相等的问题的个数X可能的取值为0,2,3P(P(P(所以三个问题中测评得分相等的问题的个数X的分布列为：X023P0.1080.6480.24417．(1)证明见解析(2)（i）AP=c【分析】（1）先在平面PAB内作AH⊥PB，由两平面垂直的性质得AH⊥平面PBC，推出（2）（i）由(1)得BC⊥AB，结合已知推得PA⊥平面AB（ii）由BC⊥平面PAB得BC⊥AB，取AC中点O，算OA=OB=OC=3511，PC中点M满足【详解】（1）在平面PAB内过点A作AH⊥PB，交因为平面PAB⊥平面PBC，又平面PAB∩平面则AH⊥BC，因为因为AH所以BC⊥平面PAB，因为AP⊂平面P（2）由（1）可知BC⊥平面PAB，AB⊂平面因为AM=12P又PA⊥BC,以B为原点，分别以BC,BA所在直线为x轴、y轴，过B垂直于平面ABC的直线为设P0,b,c设平面PAC的法向量AC=(2由m⋅AC令x1=b，则y1=2，设平面PBC的法向量BP=(由n⋅BP令y2=c，则z2=向量数量积m⋅设平面夹角为θ，cosθ=77，则联立方程：7c2=7c2=64−所以AP（ii）由（1）可知BC⊥平面PAB，AB⊂平面取AC的中点O.所以OA又因为M是PC的中点，所以OM则三棱锥M−ABC外接球的球心在O正下方O′底面三点A,B,C到OR2=O则R2=d3511消去h2可得35代入d=2011，得2R=R2=5518．(1)x23+(2)16(3)k1k2【分析】（1）设点P(x,y)，由题意可得(x+1)2+（2）由|AF1|2−|AF（3）设直线l:y=kx+m,B【详解】（1）设点P(由(x+1)2即曲线C2的方程为(x−53因为AF1与C2所以|A则2a得a2所以曲线C1方程为x（2）由（1）知，|A所以AF2⊥直线AF1的斜率为33，直线AF1的方程为ySΔ（3）设直线l:将直线l与椭圆x23则{所以k2又点Q(53,0)恰为圆C2所以k1k=所以k1即k1k219．(1)1(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析【分析】（1）根据fx在定义域上单调递减得到f′x≤0在0,+∞上恒成立，即a≥（2）（i）根据导数与单调性及最值的关系得到fx在0,+∞上单调递减；构造函数Fx=fx+f2−x（ii）由（i）得，fx在0,+∞上单调递减，得到fx≤0在1【详解】（1）函数fx的定义域为0,+因为fx在0,+∞上单调递减，则即lnx−ax+设gx=lnx+令g′x=0，则当0<x<1时，g′x>0，所