第2课时正方形的判定课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十一章四边形21.3特殊的平行四边形21.3.3正方形第2课时正方形的判定目录1.学习目标4.知识点1 从矩形出发判定正方形6.课堂小结3.新课导入7.当堂小练CONTENTS8.对接中考9.拓展与延伸2.知识回顾5.知识点2 从菱形出发判定正方形1.经历正方形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握正方形的判定定理.2.能应用正方形的判定解决简单的证明题和计算题.学习目标知识回顾正方形的定义是什么？有一组邻边相等,而且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.正方形有哪些性质？边：两组对边平行，四条边都相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴.正方形与菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，其中正方形也是特殊的矩形、菱形.新课导入定义法:符号语言：

在平行四边形ABCD中，

∵AB=BC，∠A=90°，∴平行四边形ABCD是正方形.正方形的定义既是正方形的性质，又是正方形的判定方法.有一组邻边相等，而且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.除了此方法，还有没有其他判定方法呢？ADCB新课讲解知识点1从矩形出发判定正方形活动1准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.正方形满足怎样条件的矩形是正方形？矩形正方形一组邻边相等对角线互相垂直猜想新课讲解证明：有一组邻边相等的矩形是正方形.已知：四边形ABCD是矩形，且AB=BC.求证：四边形ABCD是正方形.ADCB证明：∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°.又∵AB=BC，∴四边形ABCD是正方形（正方形的定义）.新课讲解证明：

对角线互相垂直的矩形是正方形.已知：如图，在矩形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC⊥DB

.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形.∴AO=CO=BO=DO，∠ADC=90°.∵AC⊥DB，∴AD=AB,∴四边形ABCD是正方形.ABCDO新课讲解从矩形出发：(1)有一组邻边相等的矩形是正方形；(2)对角线互相垂直的矩形是正方形.一组邻边相等对角线互相垂直新课讲解例1.如图，在直角三角形中，∠C=90〫，∠A，∠B的平分线交于点D，DE⊥AC，DF⊥CB.求证：四边形CEDF为正方形.证明：过点D作DG⊥AB，垂足为G.∴∠DEC=∠DFC=90〫.∵∠C=90〫，∴四边形CEDF为矩形.ABCEFDG∵DE⊥AC，DF⊥CB，∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AC，DG⊥AB，∴DE=DG.∴四边形CEDF为正方形.同理可得：DG=DF，∴ED=DF，新课讲解练一练0.5新课讲解练一练2.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.(1)求证：∠ADB=∠CDB.(2)若∠ADC=90〫，求证：四边形PMDN是正方形.CABDMNP证明：(1)∵AB=BC，对角线BD平分∠ABC，∴

∠ABD=∠CBD.∵在△ABD和△CBD中，AB=BC，∠ABD=∠CBD，BD=BD，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB.(2)∵∠ADC=90〫，PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠ADC=∠PMD=∠PND=90〫.∴四边形PMDN是矩形.∵∠ADB=∠CDB=45〫，∴∠MPD=∠NPD=45〫，∴DM=PM，DN=PN，∴四边形PMDN是正方形.新课讲解知识点2从菱形出发判定正方形把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.正方形菱形满足怎样条件的菱形是正方形？正方形一个角是直角对角线相等活动2猜想新课讲解证明：

有一个角是直角的菱形是正方形.已知：四边形ABCD是菱形，∠A=90°.求证：四边形ABCD

是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是平行四边形，AB=BC.又∵∠A=90°，∴四边形ABCD是正方形（正方形的定义）.ADCB新课讲解证明：

对角线相等的菱形是正方形.已知：如图，在菱形ABCD中，AC,DB是它的两条对角线，AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形.∴AB=BC，AC⊥DB.∵AC=DB,∴AO=BO=CO,∴△AOB,△BOC是等腰直角三角形.∴∠ABC=90°.∴四边形ABCD是正方形.ABCDO新课讲解从菱形出发：(1)有一个角是直角的菱形是正方形；(2)对角线相等的菱形是正方形.有一个角是直角对角线相等新课讲解例2.如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是正方形．ABCDHGFE

新课讲解练一练1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F

在对角线BD

上，且BE＝DF，OE＝OA．求证：四边形AECF

是正方形．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD.∵BE＝DF，∴OE＝OF.∴四边形AECF是菱形．∵OE＝OA，∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC.∴四边形AECF是正方形．新课讲解练一练解：①②组合：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，又∵AC=BD，∴菱形ABCD是正方形.(对角线相等的菱形是正方形)2.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC=BD；③∠ADC=90°.则正确的组合是___________(只需填一种组合即可).①③组合：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形.又∵∠ADC=90°，∴菱形ABCD是正方形.(有一个角是直角的菱形是正方形)①②或①③新课讲解四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转化关系新课讲解归纳

课堂小结正方形的判定从平行四边形出发从矩形出发从菱形出发一组邻边相等+一个角是直角矩形+一组邻边相等矩形+对角线互相垂直菱形+有一个角是直角菱形+对角线相等当堂小练1.满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？(1)对角线互相垂直且相等的平行四边形；(2)对角线互相垂直的矩形；(3)对角线相等的菱形；(4)对角线互相垂直平分且相等的四边形.2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，添加下列一个条件，仍不能使矩形ABCD成为正方形的是(

)A．BD⊥ACB．AC平分∠BADC．AB＝BCD．∠AOB＝60°当堂小练D当堂小练3.如图，△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，AC为高，O是AE的中点，延长CO到点D，使OD＝OC，连接AD，DE，求证：四边形ACED是正方形．当堂小练证明：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴AC⊥BD，OB＝OD.∵OE＝OF＝OB，∴OE＝OF＝OB＝OD，∴四边形BFDE是矩形．又∵BD⊥EF，∴四边形BFDE是正方形．4.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，在AC上截取OE＝OF＝OB，顺次连接B，F，D，E四点．求证：四边形BFDE是正方形．5.如图是用尺规过点P作直线l的垂线的两种方法，对图中虚线段组成的四边形，下列说法正确的是(

)A．若a＝b，则方法1中的四边形为正方形B．若a⊥b，则方法1中的四边形为矩形C．若m＝n，则方法2中的四边形为菱形D．若m⊥n，则方法2中的四边形为正方形当堂小练C当堂小练

B对接中考

B对接中考

A

拓展与延伸1.如图，在菱形ABCD中，E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)当AB⊥BC时，请判断四边形AEOF的形状．拓展与延伸2.如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一动点．

(1)如图①，过点E分别作垂线EF，EG，交BC，CD于点F，G，求证：四边形EFCG是正方形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°.∵EF⊥BC，EG⊥CD，∴四边形EFCG是矩形，易得∠FEC＝45°＝∠ACB，∴EF＝CF，∴四边形EFCG是正方形．拓展与延伸2.如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一动点．

(2)如图②，连接DE，过点E作EM⊥DE，交BC于点M，以DE，EM为邻边作矩形DEMN，连接CN．在点E移动过程中．①

求证：矩形DEMN是正方形．②

四边形D