勾股定理及其应用第1课时勾股定理及其验证+课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十章勾股定理20.1勾股定理及其应用第1课时勾股定理及其验证目录1.学习目标4.知识点1 勾股定理6.课堂小结3.新课导入7.当堂小练CONTENTS8.对接中考9.拓展与延伸2.知识回顾5.知识点2 勾股定理的证明1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.2.会用勾股定理进行简单的计算.学习目标知识回顾一般三角形1.三角形内角和为180〫.

2.两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

直角三角形1.三角形内角和为180〫.

2.两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

3.斜边中线等于斜边一半.

4.两锐角互余.新课导入思考直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余，对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？在《周髀算经》的开篇，商高（约公元前11世纪）构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积.354新课导入商高所指的面积关系可以用图形表示.如图，红色直角三角形的三边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分刚为9，16，25，且9+16=25.从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？新课讲解知识点1勾股定理问题在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C

是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图（每个小正方形的面积为单位1）：这两幅图中A，B的面积都好求，该怎样求C的面积呢？新课讲解方法1：补形法（把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：左图：右图：新课讲解方法2：分割法（把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：左图：右图：你还有其他办法求C的面积吗？新课讲解根据前面求出的C的面积直接填出右表：

A的面积B的面积C的面积左图右图413259169正方形A、B、C所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？思考可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积.新课讲解勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么

a2+b2=c2.符号语言：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，则

a2+b2=c2.

abc新课讲解例1.在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，∠C＝90°.(1)已知a＝3，b＝4，求c；(2)已知c＝19，a＝13，求b(结果保留根号)；(3)已知a∶b＝1∶2，c＝5，求b.

新课讲解例2.在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝8，求BC的长.

新课讲解1.勾股定理揭示的是直角三角形的三边间的等量关系，只有在直角三角形中才能使用勾股定理，这是应用勾股定理的条件.2.当应用勾股定理时,要分清直角边和斜边,尤其在应用a2＋b2＝c2时,斜边长只能是c.若b为斜边长,则关系式是a2＋c2＝b2;若a为斜边长,则关系式是b2＋c2＝a2.3.若没有明确所给直角三角形中边的类型(是直角边还是斜边)，要分类讨论，以免漏解.注意新课讲解练一练1.在Rt△ABC中，斜边BC＝10，则

BC2＋AB2＋AC2＝(

)A．20 B．100 C．200 D．144C24cm22.一个直角三角形两条直角边的比是3∶4，斜边长为10cm，那么这个直角三角形的面积为_______．新课讲解练一练3.若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个B4.在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，则AB边的长是____________．

新课讲解变式a2＝c2－b2，b2＝c2－a2；c＝，a＝，b＝.基本思想方法勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范.拓展设三角形的三边长分别为a，b，c(c

为最长边)，则在锐角三角形中满足a2＋b2>c2，在钝角三角形中满足a2＋b2<c2.补充新课讲解知识点2勾股定理的证明思考证明这个猜想的方法有很多，下面介绍我国古代数学家赵爽（约3世纪）的证法.如图，这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）.黄实朱实朱实朱实朱实BaAcb新课讲解abbcabca【证法1】赵爽弦图.新课讲解abc∵S大正方形＝c2，

∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，赵爽弦图b-a证明：“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.

新课讲解【证法2】毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图.bbbbaaaaccccbbbbaabaacc

新课讲解aabbcc【证法3】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2=c2.

新课讲解【证法4】刘徽“青朱出入图”

abc青出青出青入青入朱入朱出青方朱方新课讲解归纳通过拼图证明命题的思路：1.图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变；2.根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；3.利用等式性质变换验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论.新课讲解例3.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，Rt△ADE与Rt△AGE全等，Rt△BFE与Rt△BGE全等，BC=a，AC=b，AB=c，在正方形DEFC中，DE=EF=CF=CD=x.

新课讲解例4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，Rt△ADE与Rt△AGE全等，Rt△BFE与Rt△BGE全等，BC=a，AC=b，AB=c，在正方形DEFC中，DE=EF=CF=CD=x.(1)小亮也发现了一种求正方形

DEFC边长的方法：连接

CE，利用S△ABC=S△AEB+S△AEC+S△BEC可以得到x与a,b,c的关系.请根据小亮的思路完成他的求解过程.

新课讲解(2)请结合小明和小亮得到的结果验证勾股定理.

新课讲解练一练1.如图，①是用硬纸板做成的两个完全一样的直角三角形，两直角边长分别为a和b，斜边长为c.②是以c为直角边长的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.(1)解：如图即为所求.它是直角梯形.(1)画出拼成的这个图形的示意图，并写出它是什么图形；(2)利用这个图形证明勾股定理.

新课讲解练一练2.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的边长分别为12，16，9，12，求最大正方形E的面积.

与正方形A，B，C，D有何关系？

课堂小结勾股定理内容如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么

a2+b2=c2.证明赵爽弦图青朱出入图加菲尔德总统拼图利用勾股定理进行计算应用当堂小练1.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.(1)已知a=6，c=10，求b；(2)已知a=5，b=12，求c；(3)已知b=15，c=25，求a.

当堂小练3.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列说法错误的是(

)A．a2＋c2＝b2B．c2＝2a2C．a＝bD．∠C＝90°

A当堂小练4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2．以点A为圆心，以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D，连接BD，则BD的长为________．

当堂小练D对接中考B对接中考2.如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S2026的值为______．拓展与延伸1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC上，把△ABC沿直线AD折叠，使得点B的对应点B′落在AC的延长线上，则CD＝________．3解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB2＝AC2＋BC2＝62＋82＝102.∴AB＝10.由折叠得，

BD＝B′D，AB′＝AB＝10，∴B′C＝AB′－AC＝10－6＝4.设CD＝x，则B′D＝BD＝8－x.