2025-2026学年江苏省无锡市锡山高级中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省无锡市锡山高级中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.展开式的常数项为（）A.20 B.90 C.40 D.1202.甲乙两人投篮投中的概率分别为，，两人各投篮一次，只有一个人投中的概率是（）A. B. C. D.3.函数y=x+2cosx在区间[0，]上的最大值是（）A.+1 B.+ C. D.4.（x+y+z）5的展开式共（）A.15项 B.21项 C.25项 D.31项5.袋中有质地、大小均相同的3个红球，2个白球，现从中任取3个球，其中所含红球的个数为X，则E（X）=（）A.1.2 B.1.8 C.2 D.36.某校A，B，C，D，E这5名同学需要选择甲、乙、丙三个校本课程，每人限报一个课程.若这三个课程都至少有1名同学选择，其中A不能选甲课程，B只能在甲乙课程中选，那么这5名同学不同的选择方法种数共有（）A.69种 B.71种 C.73种 D.79种7.已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，f′（x）是f（x）的导函数，f（1）=0，当x＞0时，xf′（x）-2f（x）＞0，则不等式f（x）＜0的解集为（）A.（-∞，-1）∪（0，1） B.（-1，0）∪（0，1）

C.（-∞，-1）∪（1，+∞） D.（-1，0）∪（1，+∞）8.学校食堂每餐推出A、B两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了A套餐，则第2天选择A套餐的概率为；若他前1天选择了B套餐，则第2天选择了A套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择A套餐的概率为，在该同学第3天选择了A套餐的条件下，他第2天选择A套餐的概率为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列说法正确的有（）A.若随机变量X∼N（1，32），则D（X）=3

B.从10名男生，5名女生中任选4人，选出的女生个数X服从超几何分布

C.若随机变量X的方差为D（X），则D（3X+2）=3D（X）+2

D.X∼B（10，0.8），则当X=8时概率最大10.已知，则（）A.

B.

C.

D.11.函数f（x）=ex-ax有两零点x1，x2且x1＜x2，记函数的极小值点为x0，则下列说法正确的是（）A.a＞e B.x1+x2＞2 C.x1x2＞1 D.x1+x2＜2x0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（2＜X＜5）=0.3，则P（X＞-1）=

.13.设A，B是一个实验的两个事件，，则P（AB）=

.14.若对任意的x∈（0，+∞），都有（ax）2e-x-ex≤axlnax-ax2恒成立，则a的取值范围为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

4名男生和3名女生站成一排.

（1）甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？

（2）甲、乙相邻且与丙不相邻的站法有几种？

（3）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？16.(本小题15分)

某工厂生产某种电子产品，需要经过二道检验程序，只有二道检验都合格，才能对外售卖，否则该产品只能报废处理.已知第一道检验程序结果为不合格的概率为，第二道检验程序结果为不合格的概率为，每道检验程序的结果只有合格与不合格，且检验结果相互独立.

（1）求每个电子产品不能对外售卖的概率；

（2）每个电子产品的生产成本为200元，售价为600元，现生产了3个这样的电子产品，求这3个电子产品总收益的均值.17.(本小题15分)

已知函数f（x）=aex+（a-1）x+e-x（a∈R，e=2.71828⋯为自然对数的底数）.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）有最小值g（a），证明：.18.(本小题17分)

现有一种不断分裂的M细胞，在每个分裂周期中，一个M细胞以的概率分裂成一个新的M细胞，以的概率分裂成两个新的M细胞，分裂后原来的M细胞消失，新的M细胞在下一个分裂周期里会继续分裂.设初始状态下有1个M细胞，n个分裂周期后，M细胞的数目为Xn.

（1）求X2的分布列和数学期望；

（2）求概率P（X3=2）；

（3）求概率P（Xn=2）.19.(本小题17分)

函数f（x）的定义域为D，若对任意正实数t,在定义域内存在实数x1，xn（x1≠x2），使得成立，则称f（x）具有“性质T”.已知函数g（x）=-xlnx+（lna+1）x.

（1）当a=e,

①求曲线y=g（x）在x=1处的切线方程；

②判断函数g（x）是否具有“性质T”，并说明原因；

（2）当时，设∀x1，x2∈（0，+∞），且满足g（x1）-g（x2）=1，求证：.

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】BD

10.【答案】ACD

11.【答案】ABD

12.【答案】0.8

13.【答案】

14.【答案】（0，e]

15.【答案】解：（1）（种），

甲、乙两人必须站在两端的站法有240种．

（2）（种），

甲、乙相邻且与丙不相邻的站法有960种．

（3）（种）．

甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有840种．

16.【答案】

750元

17.【答案】当a≤0时，f（x）在R上单调递减；当a＞0时，f（x）在（-∞，-lna）上单调递减，在（-lna，+∞）上单调递增

证明：由（1）可知，当a≤0时，f（x）在R上单调递减，无最小值，

当a＞0时，f（x）在x=-lna处取得最小值，所以2g（a）=f（-lna）=ae-lna+（a-1）（-lna）+elnα=1-（a-1）lna+a，

对g（a）=1-（a-1）lna+a求导，可得：g（a）=，

对，求导可得，

所以g'（a）在（0，+∞）上单调递减，又因为g（1）=-ln1+1=1＞0，g′（2）=-，

所以存在a0∈（1，2），使得g'（a0）=0，即-lna0+，也就是，

当0＜a＜a0时，g′（a）＞0，g（a）单调递增；当a＞a0时，g′（a）＜0，g（a）单调递减，

所以g（a）在a=a0处取得最大值，g（a0）=1-（，

因为a0∈（1，2），根据对勾函数在（1，2）上单调递增，

所以，即g（，

综上，得证

18.【答案】X21234P

19.【答案】①x-y+1=0；②函数g（x）具有“性质T”．理由如下：

假设函数具有“性质T”，

则对任意正实数t，在定义域内存在实数x1，x2（x1≠x2），使得成立，

由g′（x）=-lnx+1，则g′（t）=-lnt+1，

所以，

即，

化简得-x1lnx1+（1+lnt）x1=-x2lnx2+（1+lnt）x2，

令F（x）=-xlnx+（1+lnt）x，

则F′（x）=-lnx-1+1+lnt=-lnx+lnt，

由F′（x）＞0，得0＜x＜t；F′（x）＜0，得x＞t；所以F（x）在（0，t）上单调递增，在（t，+∞）上单调递减，

所以当x=t时F（x）取得极大值，也是最大值，

即F（x）max=F（t）=t＞0，

当x→0时，F（x）→0；当x→+∞时，F（x）→-∞，

所以存在x1，x2（x1≠x2），使得F（x1）=F（x2），

所以函数g（x）具有“性质T”

证明：由g（x）=-xlnx+（lna+1）x，则g′（x）=-lnx+lna，

当x∈（0，a）时，g′（x）＞0，即g（x）在（0，a）为单调递增函数；当x∈（a，+∞）时，g'（x）＜0，即g（x）在（a，+∞）为单调递减函数．

可知g（x）max=g（a）=a≤1，

若x2∈（0，a），则g（x2）=x2（lna+1-lnx2）＞x2＞0，

g（x1）-g（x2）＜g（x1）≤g（a）=-alna+alna+a≤1，不符合题意；所以x2≥a；若0＜x1＜a，则x1＜x2；若x1≥a，x2≥a，

又因为g（x）在（a，+∞）为单调递减函数，

所以g（x1）=g（x2）+1＞g（x2），

所以x1＜x2；综上所述，x1＜x2，

又因为g（x1）-g（x2）=1，

由，

所以，

即，

即g，

设m（x）=g（x）+aex，

则m'（x）=g'（x）+aex=aex-lnx+lna，

方法一：设h（x）=aex-lnx+lna，

则，

因为h'（x）在（0，+∞）为单调递增函数，

当x→0时，h'（x）→-∞，x→+∞，h'（x）→+∞，

所以存在t∈（0，+∞），使得h'（t）=0，

即，

又因为x∈（0，t），h'（x）＜0，

即h（x）在（0，t）为单调递减函数；又因为x∈（t，+∞），h'（x）＞0，

即h（x）在（t，+∞）为单调递增函数；所以h，

又因为，

则有lna+t=-lnt，

又因为，

所以h（x）≥0，

即m（x）在（0，+∞）为单调递增