北京汇文中学教育集团2025-2026学年第二学期期中考试高二年级数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京汇文中学教育集团2025-2026学年第二学期期中考试高二数学一、选择题：本大题共10小题，共50分。1.若全集U=1,2,3,4,5,A=1,2,3,B=1,5，则A.4 B.4,5 C.1,4,5 D.2,3,42.已知函数f(x)=sinxcosx,则A.0 B.1 C.−1 D.π3.将分别写有2，0，2，4的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数(首位不为0)，则组成的不同四位数的个数为(

)A.9 B.12 C.18 D.244.在3x2−1A.94 B.−94 C.95.两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如limx→0ex−1xA.13 B.23 C.1 6.小明投篮3次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为X，则(

)A.EX=2.4 B.EX=4.8 C.7.一次演出，原计划要排4个节目，因临时有变化，拟再添加2个小品节目，若保持原有4个节目的相对顺序不变，则这6个节目不同的排列方法有(

)A.20种 B.25种 C.30种 D.32种8.已知x，y∈R，则“x>y>1”是“x−lnx>y−lnyA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究.现给出一个同余问题：如果a和b被m除得的余数相同，那么称a和b对模m同余，记为a≡bmodm.若a=C20240A.2023 B.2024 C.2025 D.202610.已知集合M=x∈N∗1≤x≤15，集合A1，①每个集合都恰有5个元素；②A集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xii=1,2,3，则A.39 B.48 C.57 D.59二、填空题：本大题共5小题，共25分。11.已知An2=56，那么n=

．12.已知二项式2x+1n=anxn+an−1xn−1+...+a13.甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为0.5,0.4，且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为

.若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为0.2；若恰好被两人击中，则被击落的概率为0.6，那么无人机被击落的概率为

14.若函数fx=x+ax2在区间1,2上是单调函数，则实数a15.已知有限集A=a1,a2,a3,⋯a①集合−1−52,−1+52是“复活集”；③若a1,a2∈N∗，则{a1其中正确的结论是

.(填上你认为所有正确的结论序号)三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.设函数fx=aex+x，其中a∈R.曲线y=f(x)在点(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．17.在▵ABC中，acosB−(1)求A的大小；(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使▵ABC存在，并求出AC边上的高线的长度．条件①：b=3；条件②：asin条件③：sin18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1(1)求证：AB1//(2)若AB=BC=5,AC=2,AA1=319.为了解不同人群夏天户外运动的情况，分别从甲、乙两个单位随机选出几名职工，统计了他们的夏天户外运动时长，得到以下数据(单位：小时)：甲单位：25，26，32，33，34，36，46，47，50，55；乙单位：15，16，22，23，24，26，36，37，40．假设用频率估计概率，用样本估计总体，且每名职工的户外运动情况相互独立．(1)现要对乙单位中夏天户外运动时长不足20小时的职工进行体检，已知乙单位共有1800名职工，试估计乙单位此次参加体检的职工人数．(2)从甲单位职工中随机抽取2人、乙单位职工中随机抽取1人，记X为这3人中夏天户外运动时长不少于35小时的人数，求X的分布列和数学期望；(3)设样本中甲单位职工户外运动时长的方差为s12、乙单位职工户外运动时长的方差为s22，写出s1220.已知fx=x+a(1)当a=−3，b=−1时，求曲线y=fx在点1,f(2)已知fx有两个极值点x1，x2，且满足f(3)在(2)的条件下，若fx≥−x+1在1,+∞上恒成立，求a21.对任意的非空数集A，定义：ΩA=πXX⊆A,X≠⌀，其中πX表示非空数集X(1)若A1=1,2,4，A2=(2)若A=a1,a2(3)若A=a1,a2,a参考答案1.A

2.B

3.A

4.A

5.B

6.B

7.C

8.A

9.D

10.D

11.8

12.5

；

；

；；40

13.0.7

；

；0.22

14.−∞,115.①③④

16.解：(1)依题意，f(0)=a=b，又f′x=aex+1所以a=b=−2．(2)由(1)知，fx=−2ex+x当x<−ln2时，f′(x)>0，函数f(x)在当x>−ln2时，f′(x)<0，函数f(x)在所以函数f(x)的递增区间为(−∞,−ln2)，递减区间为

17.解：(1)在▵ABC中，acosB−1因为A+B+C=π，所以sinC=故sinA所以−1因为B∈0,π，sinB≠0，所以因为A∈0,π，所以A=(2)条件②：asin又a=7，故sinB=4因为sinB=4此时A+B>π，不合题意，此时▵ABC不存在；故不能选②；选条件①：b=3，由余弦定理a2=b即c2+3c−40=0，解得：则AC边上的高线h=csin选择③：sinB=因为sinB=3314sin=则AC边上的高线h=asin

18.【详解】(1)连接B1C，设B1C与BC∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点∵D为AC的中点，∴OD为▵AB∴OD//AB∵OD⊂平面BDC1，AB∴AB1//(2)依题意知，AB=BC=5，所以因为AA1⊥平面ABC，BD⊂所以AA1⊥BD，又AC∩AA1所以BD⊥平面ACC1A1，设A1C1因为AA1⊥平面ABC，所以DE⊥以点D为坐标原点，分别以DA，DE，DB所在直线为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系D−xyz．在Rt▵ABD,AB=5,AD=1则D0,0,0，B0,0,2，A1,0,0∴DC1设平面BDC1的法向量为由n⋅DB=0及令x=3，得y=1，z=0.故平面BDC1的一个法向量为又AB=设直线AB与平面BDC1所成角为则sinθ=∴直线AB与平面BDC1所成角的正弦值为

19.解：(1)乙单位样本中夏天户外运动时长不足20小时的职工有2人，所以运动时长不足20小时的频率为29所以乙单位1800名职工，估计参加体检的职工数为1800×2(2)甲单位职工户外运动时长不少于35小时概率为12，乙单位职工户外运动时长不少于35小时的概率为1由题意可知，X=0,1,2,3，PX=0=1PX=2=1分布列如下：X0123P1511EX(3)s

20.解：(1)当a=−3，b=−1时，fx将x=1代入fx可得：f对fx求导：f′将x=1代入f′x可得：f′所以切线方程(点斜式)为：y−0=−1×x−1，即x+y−1=0因此，曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为(2)因为fx=x+aln则f′x因为fx有两个极值点x1，x2，所以x1，根据二次方程根的分布，则需同时满足：Δ=a2+4b>0(两根之和x1+x2=−a>0，即a<0根据韦达定理可得：x1+x所以f=x将x1+xfx1而故a<0，因此：ln−b=0，即−b=1，解得此时b=−1<0，满足两根为正的条件，且Δ=a所以b的值为−1．(3)由(2)知b=−1，则fx=x+alnx−1即x+alnx−1移项可得2x+alnx−1令gx=2x−1x+aln则g′x令hx=2x2+ax+1，因为x∈1,+∞

时x2若h1<0，即2+a+1<0，解得此时hx

开口向上，对称轴x=−a4>34当x∈1,x0

时，hx<0，则g′x因此gx0<g1=0，与g若h1≥0，即2+a+1≥0，解得此时hx

的对称轴x=−a4≤34<1故hx≥h1≥0，即g′x因此gx

在1,+∞

上单调递增，故g由(2)中fx

有两个极值点，方程x2则Δ=a2−4>0−a>0

，解得a<−2，故a综上，a的取值范围为：−3≤a<−2．

21.(1)ΩA1=(2)最大值即：集合A的非空子集为25−1=31个，所以ΩA可能构造如下：A=2,3,5,7,11则集合A中任意两个非空子集中得元素乘积不同，从而集合A中的数字由大于1的因子组成；最小值：不妨设a1<a则a1则ΩA至少有11可能的构造如下：A=1,2,4,8,16(3)ΩA中至少有13个元素，可能得构造如下：A=所以ΩA证明如下：考虑对集合A进行分类：A1=aa∈A,a<1，设A1=x，