《集合的基本运算》课件

第一章

集合与常用

逻辑用语1.3

集合的基本运算丨必备知识解读知识点1

并集

D

C

图1.3-5知识点2

交集

C

B

图1.3-6

知识点3

全集与补集

C

C

图1.3-7知识点4

德·摩根定律与容斥原理

D

例4-8

为了解某市市民在阅读报纸方面的情况，某单位调查了500位市民，调查结果显示：订阅日报的有334人，订阅晚报的有297人，其中两种都订的有150人（假定只有这两种报纸）.则至少订一种报纸的有_____人，有____人不订报纸.48119

图1.3-8

方法帮丨关键能力构建题型1

集合间的运算

D

A

图1.3-9

图1.3-10

【学会了吗|变式题】

C

图D

1.3-1

D

图D

1.3-2题型2

集合运算的参数问题

C

图1.3-11

图1.3-12

【学会了吗|变式题】

题型3

补集思想的应用——正难则反

【学会了吗|变式题】

图D

1.3-3

题型4

集合运算中的创新型问题图1.3-13

C

例18

(河南省开封市月考)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有___人．8【学会了吗|变式题】5.［教材改编P35

T11］(安徽省合肥一中期末)学校举办运动会时，高一（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，则只参加趣味比赛一项的有___人．6【解析】因为同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，其中同时参加三项比赛的有2人，所以有3人只参加田径与球类两项比赛，同理有2人只参加田径与趣味两项比赛．图D

1.3-4

高考帮丨核心素养聚焦考向1

集合间的基本运算

A

A

B

A

考向2

由运算结果逆向求参

B

考向3

集合运算的实际应用

C

高考新题型专练

CD

BDA.8

B.128

C.37

D.23

练习帮·习题课A

基础练

知识测评

C

图D

1.3-5

C

图1.3-1

CA.3

B.4

C.5

D.6

C

5.(江苏省徐州市期中)某校计划面向高一学生开设“科技与创新”“人文与阅读”两类选修课.为了解学生对这两类选修课的兴趣，对高一某班共46名学生进行调查，发现喜欢“科技与创新”类的学生有34名，喜欢“人文与阅读”类的学生有18名，两类均不喜欢的有6名，则只喜欢“科技与创新”类选修课的学生人数为(

)

BA.34

B.22

C.12

D.6图D

1.3-6

CD

B

综合练

高考模拟建议时间：20分钟图1.3-2

D

D

AB

图D

1.3-7

8

C

培优练

能力提升

ABC

图D

1.3-8

探究一集合的并集与交集运算例1(1)已知集合A={x|x2-4x+3=0},集合B={x|(x-3)(x+1)=0},求A∩B,A∪B.解

(1)∵集合A={x|x2-4x+3=0},∴A={1,3}.∵集合B={x|(x-3)(x+1)=0},∴B={-1,3}.∴A∩B={3},A∪B={-1,1,3}.反思感悟

求两个集合交集、并集的方法若是用列举法表示的数集,可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果,要注意若集合不是最简形式,需要先化简集合,求并集时,不是单纯的合并元素,相同的元素只能写一次;若是用描述法表示的数集,可借助数轴分析写出结果,利用数轴时,要注意端点的取舍及表示.变式训练1(1)(江西南昌高一期末)设集合M={m∈Z|-3<m<2},N={n∈Z|-1≤n≤3},则M∩N=(

)A.{0,1} B.{-1,0,1}C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2}(2)(陕西西安高一期末)已知集合P={x|-1<x<3},Q={x|0<x<1},则P∪Q=(

)A.{x|0<x<1} B.{x|-1<x<3}C.{x|-1<x<0,或1<x<3} D.⌀答案

(1)B

(2)B解析

(1)由题得,M={m∈Z|-3<m<2}={-2,-1,0,1},N={n∈Z|-1≤n≤3}={-1,0,1,2,3},所以M∩N={-1,0,1},故选B.(2)∵P={x|-1<x<3},Q={x|0<x<1},∴P∪Q={x|-1<x<3}.故选B.探究二已知集合的交集、并集求参数的值或取值范围例2已知a∈R,集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},若9∈A∩B,则实数a的值为

.

分析9∈A∩B说明9∈A,通过分类讨论建立关于a的方程求解,注意求出a的值后要代入集合A,B中,看是否满足集合中元素的互异性.答案

5或-3解析

∵9∈A∩B,∴9∈A且9∈B,∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},符合题意;当a=3时,A={-4,5,9},B不满足集合中元素的互异性,故a≠3;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},符合题意.综上可得a的值为5或-3.反思感悟

已知两个有限集运算结果求参数值的方法对于这类已知两个有限集的运算结果求参数值的问题,一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程求解.另外,在处理有关含参数的集合问题时,要注意对求解结果进行检验,以避免违背集合中元素的有关特性,尤其是互异性.延伸探究

例2中,将“9∈A∩B”改为“A∩B={9}”,其余条件不变,求实数a的值及A∪B.解

∵A∩B={9},∴9∈A.∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},由于A∩B={-4,9},不符合题意,故a≠5;当a=3时,A={-4,5,9},B不满足集合中元素的互异性,故a≠3;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},且A∩B={9},符合题意.综上可得a=-3.此时A∪B={-8,-4,-7,4,9}.例3集合A={x|-1<x<1},B={x|x<a}.(1)若A∩B=⌀,求a的取值范围;(2)若A∪B={x|x<1},求a的取值范围.解

(1)A={x|-1<x<1},B={x|x<a},且A∩B=⌀,如图1所示.∴数轴上点x=a在点x=-1左侧,且包含点x=-1,∴{a|a≤-1}.(2)A={x|-1<x<1},B={x|x<a},且A∪B={x|x<1},如图2所示,∴数轴上点x=a在点x=-1和点x=1之间,不包含点x=-1,但包含点x=1.∴{a|-1<a≤1}.图1图2反思感悟

已知集合运算求参数的取值范围的思路此类问题常借助数轴解决,首先根据集合间的关系画出数轴,然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)求解,特别要注意端点值的取舍.当集合的元素离散时,常借助集合的关系列关于参数的方程(组)求解,但求解后要代入检验是否符合题意.延伸探究

例3(1)中,把“A∩B=⌀”改为“A∩B≠⌀”,求a的取值范围.解

利用数轴(略)表示出两个集合,数形结合知,要使A∩B≠⌀,需数轴上点x=a在点x=-1右侧且不包含点x=-1,所以{a|a>-1}.探究三集合的交集、并集性质的应用例4设集合M={x|-2<x<5},N={x|2-t<x<2t+1,t∈R},若M∪N=M,则实数t的取值范围为

.

答案

{t|t≤2}要点笔记

求解与集合的交集或并集有关的性质问题,首先应该根据性质特征将性质转化为集合之间的关系.常见的等价性质有A∩B=A⇔A⊆B;A∪B=A⇔B⊆A.延伸探究

将例4条件中“M∪N=M”改为“M∩N=M”,其余不变,求实数t的取值范围.解

由M∩N=M,得M⊆N,故N≠⌀.用数轴(略)表示两个集合,要满足条件,需所以t的取值范围为{t|t≥4}.例5设A={x|x2-2x=0},B={x|x2-2ax+a2-a=0}.(1)若A∩B=B,求a的取值范围;(2)若A∪B=B,求a的值.解

由x2-2x=0,得x=0或x=2.∴A={0,2}.(1)∵A∩B=B,∴B⊆A,B=⌀,{0},{2},{0,2}.当B=⌀时,Δ=4a2-4(a2-a)=4a<0,∴a<0;综上所述,得a的取值范围是{a|a=1,或a≤0}.(2)∵A∪B=B,∴A⊆B.∵A={0,2},而B中方程至多有两个根,∴A=B,由(1)知a=1.反思感悟

利用交集、并集运算求参数的思路(1)涉及A∩B=B或A∪B=A的问题,可利用集合的运算性质,转化为相关集合之间的关系求解,要注意空集的特殊性.(2)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系,要注意集合中元素的互异性;与不等式有关的集合,则可利用数轴得到不同集合之间的关系.变式训练2已知集合M={x|2x-4=0},集合N={x|x2-3x+m=0},(1)当m=2时,求M∩N,M∪N;(2)当M∩N=M时,求实数m的值.解

(1)由题意得M={2}.当m=2时,N={x|x2-3x+2=0}={1,2},∴M∩N={2},M∪N={1,2}.(2)∵M∩N=M,∴M⊆N.∵M={2},∴2∈N,∴2是关于x的方程x2-3x+m=0的解,即4-6+m=0,解得m=2.

素养形成分类讨论思想在集合运算中的应用分类讨论就是分别归类再进行讨论的意思,数学中的分类过程就是对事件共性的抽象过程.解题时要明确为什么分类,如何分类,如何确定分类的标准.应用时,首先要审清题意,认真分析可能产生的不同因素.进行讨论时要确定分类的标准,每一次分类只能按照一个标准来分,不能重复也不能遗漏.典例

设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-5=0}.(1)若A∩B={2},求实数a的值;(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.【规范答题】解

(1)集合A={x|x2-3x+2=0}={1,2},若A∩B={2},则