《幂函数》教学课件

第三章

函数的概念与性质3.3

幂函数教材帮丨必备知识解读知识点1

幂函数的概念

BA.0

B.1

C.2

D.3

知识点2

幂函数的图象与性质

C

AD

知识点3

一般幂函数的图象和性质图3.3-5

D

例3-5

关于幂函数的图象，下列选项描述正确的是(

)

C

知识点4

函数图象的凹凸性

BD

方法帮丨关键能力构建题型1

幂函数的定义域和值域

【学会了吗|变式题】

B

题型2

幂函数的图象及应用

DA.

B.

C.

D.

在同一平面直角坐标系中作出这两个函数的图象，如图3.3-6所示．图3.3-6观察图象可得：【学会了吗|变式题】

BA.

B.

C.

D.

题型3

幂函数的性质及应用

A

例11

比较下列各题中两个数的大小：

2

【学会了吗|变式题】

C

题型4

幂函数的奇偶性

【学会了吗|变式题】

练习帮·习题课A

基础练

知识测评

C

D

A

D图3.3-1

CD

9

B

综合练

高考模拟

C图3.3-2

BC

②

探究一幂函数的概念例1函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,试确定m的值.解

根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.当m=3时,f(x)=x2在区间(0,+∞)上单调递增;当m=-2时,f(x)=x-3在区间(0,+∞)上单调递减,不符合要求.故m=3.要点笔记

幂函数的判断方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.变式训练1如果幂函数

的图象不过原点,求实数m的取值.解

由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件.综上所述,m=1或m=2.探究二幂函数的图象例2已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为(

)A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b答案

A解析

由幂函数的图象特征,知c<0,a>1,0<b<1.故c<b<a.反思感悟

函数y=xα(α为常数)的图象特点(1)恒过点(1,1),且不过第四象限.(2)当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当x∈(1,+∞)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).(3)由幂函数的图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=,y=x3)来判断.(4)当α>0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都单调递增;当α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都单调递减.变式训练2如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是(

)A.n<m<0B.m<n<0C.n>m>0D.m>n>0答案

A解析

画出直线y=x0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,n<m<0.故选A.探究三利用幂函数的单调性比较大小例3比较下列各组中两个数的大小:反思感悟

1.比较幂大小的三种常用方法

2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.探究四幂函数性质的综合应用例4(黑龙江哈尔滨高一期末)函数

是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减,则实数m为(

)A.1 B.-1 C.2 D.-1或2答案

B解析

∵函数

是幂函数,∴可得m2-m-1=1,解得m=-1或2.当m=-1时,函数为y=x-1在区间(0,+∞)上单调递减,满足题意,当m=2时,函数为y=x5在(0,+∞)上单调递增,不满足条件.故选B.要点笔记

幂函数y=xα在(0,+∞)上的单调性与α的关系:当α>0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递增;当α<0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递减.变式训练3幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上单调递减,且f(-x)=f(x),则m=

.

答案

1解析

∵幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上