《函数的极值》示范公开课教案【高中数学北师大】

《函数的极值》示范公开课教案【高中数学北师大】一、基本信息课题：函数的极值（北师大版高中数学选择性必修第二册）授课年级：高二授课时长：45分钟授课类型：示范公开课、新授课学情分析：本节课的授课对象为高二学生，他们已熟练掌握函数的单调性、导数的概念及几何意义、导数的基本运算，具备一定的数形结合思想和逻辑推理能力，能够通过观察图像、分析数据总结规律。但学生对“极值”的局部性理解容易存在偏差，易混淆极值与最值，对导数符号变化与极值的内在关联掌握不够深入，这是本节课需要重点突破的认知难点。同时，学生对抽象概念的理解依赖直观体验，适合通过情境探究、小组互动的方式开展教学，契合新课标对核心素养培养的要求。教材分析：本节课选自北师大版高中数学选择性必修第二册，是“导数及其应用”单元的核心内容之一。它承接上一节“导数与函数的单调性”，既是对导数应用的进一步拓展，也是后续学习函数最值、解决实际优化问题的重要基础，在整个导数知识体系中起到承上启下的关键作用。教材遵循“直观感知—抽象定义—探究规律—应用实践”的编写思路，注重引导学生通过图像观察、实例分析，自主构建极值概念，渗透数形结合、特殊到一般、转化与化归的数学思想，落实数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象四大核心素养。二、教学目标（一）知识与技能目标借助函数图像，直观理解函数极值、极大值、极小值及极值点的概念，明确极值的局部性特征。掌握利用导数判断函数极值点、求函数极值的基本步骤，能准确求解简单函数的极值。理解“导数为0是函数在该点取得极值的必要不充分条件”，能辨析极值点与导数为0点的关系。（二）过程与方法目标通过情境探究、图像分析、小组讨论，培养学生观察、分析、归纳、总结的能力，提升逻辑推理素养。通过动手计算、规范解题，掌握求函数极值的方法，强化数学运算素养，体会数形结合思想的应用。引导学生经历“从具体到抽象、从特殊到一般”的探究过程，培养科学的思维方法和探究能力。（三）情感态度与价值观目标通过生活实例引入课题，让学生感受数学与生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。在探究过程中，培养学生主动思考、合作交流的意识，体验数学探究的乐趣和成功的喜悦，增强学好数学的信心。通过规范解题训练，培养学生严谨求实的数学态度和规范表达的习惯，落实数学核心素养的育人要求。三、教学重难点教学重点：函数极值的概念理解；利用导数求函数极值的基本步骤和方法。教学难点：理解函数极值的局部性（与最值的区别）；辨析“导数为0”与“函数取得极值”的逻辑关系；准确判断导数符号在极值点两侧的变化规律。四、教学准备多媒体课件（包含生活实例、函数图像、例题解析、练习题、思维导图）；学案（提前发放，包含预习问题、探究任务、练习题）；黑板板书框架（提前设计，突出重点、条理清晰）；小组探究任务单（明确探究方向和分工）。五、教学过程（一）情境导入，激发兴趣（5分钟）情境展示：多媒体呈现两个生活实例——①跳水运动员跳水过程中，重心高度h随时间t的变化图像，引导学生观察：运动员上升到最高点时，重心高度有什么特点？②山坡的起伏图像，引导学生观察：山坡的“顶峰”和“谷底”在高度上与周围点有什么不同？问题引导：

结合图像，思考：这些“最高点”“最低点”与函数单调性有什么关系？如果用函数y=f(x)表示上述变化过程，这些特殊点的函数值有什么独特性质？我们能否用导数来刻画这些特殊点的特征？导入课题：通过生活中的直观实例，引出本节课的核心内容——《函数的极值》，明确本节课将围绕“什么是函数的极值”“如何用导数求函数的极值”展开探究，激发学生的探究欲望。（二）探究新知，构建概念（15分钟）1.直观感知，初步认知多媒体呈现三个函数图像：①f(x)=x³-3x²-9x+5；②f(x)=x²；③f(x)=x³，引导学生分组观察，完成探究任务（小组讨论3分钟，派代表发言）：观察图像①，找出图像中“局部最高点”和“局部最低点”，说说这些点的函数值与周围点的函数值有什么关系？观察图像②，点x=0处的函数值有什么特点？导数f’(0)的值是多少？观察图像③，点x=0处的导数f’(0)的值是多少？该点是“局部最高点”或“局部最低点”吗？教师引导总结：图像①中，x=-1处的函数值比它附近所有点的函数值都大，x=3处的函数值比它附近所有点的函数值都小；图像②中，x=0处的函数值是附近最小的，且f’(0)=0；图像③中，x=0处f’(0)=0，但该点不是局部最高点或最低点。2.抽象定义，精准把握结合学生的观察结果，给出函数极值的严格定义（板书核心内容）：极大值与极大值点：若函数y=f(x)在点x₀及其附近有定义，且在x₀附近的左侧f’(x)>0，右侧f’(x)<0，则称f(x₀)为函数y=f(x)的极大值，点x₀称为函数的极大值点。极小值与极小值点：若函数y=f(x)在点x₀及其附近有定义，且在x₀附近的左侧f’(x)<0，右侧f’(x)>0，则称f(x₀)为函数y=f(x)的极小值，点x₀称为函数的极小值点。极值与极值点：极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值。强调易错点（结合实例讲解）：极值是“局部性质”，不是“全局性质”：极大值不一定比极小值大（如图像①中，极大值f(-1)=10，极小值f(3)=-22，但若存在另一个极小值f(x)=5，可能大于某个极大值）；导数为0的点不一定是极值点（如f(x)=x³，x=0处f’(x)=0，但不是极值点）；极值点一定是导数为0的点吗？（引导学生思考：若函数在极值点处不可导，如f(x)=|x|，x=0处是极小值点，但不可导，说明可导函数的极值点一定是导数为0的点，反之不成立）。3.探究规律，提炼方法结合定义和图像，引导学生归纳“利用导数求函数极值的步骤”（小组讨论2分钟，完善补充）：确定函数f(x)的定义域；求导数f’(x)；令f’(x)=0，求解方程的根（即导数为0的点）；判断每个根附近导数f’(x)的符号变化：

若左侧f’(x)>0，右侧f’(x)<0，则该点为极大值点，对应函数值为极大值；若左侧f’(x)<0，右侧f’(x)>0，则该点为极小值点，对应函数值为极小值；若左侧和右侧f’(x)符号不变，则该点不是极值点。写出函数的极值。教师强调：步骤4是关键，判断导数符号变化是确定极值点的核心，可通过列表法清晰呈现x的取值范围、f’(x)的符号、f(x)的单调性及极值情况。（三）例题讲解，规范示范（10分钟）例1（基础示范题）：求函数f(x)=x³-3x²-9x+5的极值（板书规范解题过程，突出列表法的应用）。解：①函数f(x)的定义域为R；②求导数：f’(x)=3x²-6x-9=3(x²-2x-3)=3(x+1)(x-3)；③令f’(x)=0，解得x₁=-1，x₂=3；④列表判断导数符号变化及函数单调性：x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)f’(x)+0-0+f(x)单调递增极大值f(-1)=10单调递减极小值f(3)=-22单调递增⑤结论：函数f(x)的极大值为10，极大值点为x=-1；极小值为-22，极小值点为x=3。例题小结：通过本题，强调列表法的优势的是直观清晰，能快速判断导数符号变化与函数单调性的关系；解题时要注意导数的化简（因式分解），便于求解方程f’(x)=0的根；计算函数极值时，代入要准确，步骤要规范。例2（易错辨析题）：判断函数f(x)=x³的极值情况（强化易错点）。解：①定义域为R；②f’(x)=3x²；③令f’(x)=0，解得x=0；④当x<0时，f’(x)>0，函数单调递增；当x>0时，f’(x)>0，函数单调递增；x=0两侧导数符号不变，故x=0不是极值点；⑤结论：函数f(x)=x³没有极值。教师点拨：本题进一步验证“导数为0的点不一定是极值点”，核心是判断导数在该点两侧的符号是否发生变化，这是判断极值点的关键。（四）巩固练习，深化理解（10分钟）1.基础题（全员必做）：求函数f(x)=2x³-3x²-12x+1的极值（学案习题），请2名学生上台板演，教师巡视指导，重点关注解题步骤的规范性和导数符号判断的准确性，板演结束后进行点评纠错。2.提升题（小组讨论）：已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c在x=-1处取得极大值7，在x=3处取得极小值，求a、b、c的值（引导学生思考：极值点与导数的关系，如何建立方程组求解参数）。3.易错辨析题（全员思考）：判断下列说法是否正确，若不正确，请说明理由：函数的极大值一定比极小值大；导数为0的点一定是极值点；函数的极值点一定在定义域内部。练习小结：通过不同层次的练习，巩固求函数极值的方法，辨析易错点，提升学生的解题能力和逻辑思维能力，落实数学运算和逻辑推理核心素养。（五）课堂小结，梳理知识（3分钟）1.学生自主总结：请1-2名学生回顾本节课的核心知识点，说说自己的收获和易错点。2.教师完善梳理（结合思维导图）：一个概念：函数极值（极大值、极小值、极值点），核心是“局部性”；一个关系：导数为0是函数取得极值的必要不充分条件；一个方法：利用导数求函数极值的五步步骤（定定义域→求导数→求根→判符号→写极值）；一种思想：数形结合思想（通过图像直观理解极值，通过导数定量判断极值）。（六）布置作业，分层落实（2分钟）1.基础作业：教材课后习题对应题目，规范书写解题步骤，巩固求函数极值的方法；2.提升作业：探究函数f(x)=lnx-x的极值，并结合图像分析极值与最值的区别；3.拓展作业：收集生活中与函数极值相关的实例，尝试用本节课所学知识进行分析（培养数学建模素养）。六、板书设计（示范公开课版）函数的极值一、概念1.极大值点：左正右负→f(x₀)为极大值2.极小值点：左负右正→f(x₀)为极小值3.易错点：①局部性②导数为0≠极值点二、求极值步骤定定义域求导数f’(x)求f’(x)=0的根判符号（列表）写极值三、例题解析（例1）f(x)=x³-3x²-9x+51.定义域：R2.f’(x)=3(x+1)(x-3)3.根：x=-1，x=34.列表（简化版）：x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)f’(x)+0-0+f(x)增极大值10减极小值-22增5.结论：极大值10（x=-1），极小值-22（x=3）四、核心思想：数形结合七、教学反思（示范公开课专用）1.本节课亮点：以生活实例导入，贴合学生认知，激发探究兴趣；通过小组讨论、图像分析，引导学生自主构建概念，落实核心素养；例题选择兼顾基础与易错点，板书规范，便于学生模仿学习；分层练习和作业，兼顾不同层次学