2026届新高考数学考前热点冲刺复习指数、对数的概念与运算

1第1页，共59页2026届新高考数学考前热点冲刺复习指数、对数的概念与运算1．要灵活运用指数式和对数式的互化，简化运算．2．指数与对数运算时，要仔细观察分析“底数、指数及真数”特点，首先对它们进行适当变形(或转换)，然后应用性质和法则进行换算，最后进行化简求值．1．指数(1)指数的定义正整数指数幂：an＝__________(n∈N*)；负指数幂：a－p＝_____(p∈N*)；零指数幂：a0＝______，条件______；分数指数幂(根式)：

＝_______.1a≠0(2)指数的运算法则am·an＝________，

＝________，(am)n＝________，(ab)m＝________，

＝_____________，

＝________，

＝________，

＝________.am＋nam－namnambm|a|aa【基础练习1：指幂互化及运算】1.

将下列各式进行分数指数幂与根式互化：(1)＝________； (2)＝________；(3)＝________； (4)＝________.2.化简并计算：(1)； (2)；(1)(2)＝2－2＝0.3．化简：

等于(

)

A．

B．

C．

D．C【提示】原式＝

4.设5x＝a，5y－1＝b，则5x＋2y＝________.(用含a和b的式子表示)【提示】∵5x＝a，5y＝5b，∴5x＋2y＝5x·(5y)2＝25ab2.25ab2【基础练习1：指幂互化及运算】2．对数(1)对数的定义ab＝N

_________，对数的真数一定要________.(2)对数的运算性质(注意条件：a>0且a≠1，M>0，N>0)loga(MN)＝_____________，loga

＝______________，logaMn＝________，.logaN＝b大于0logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM(3)对数的恒等式

＝________，logaa＝________，loga1＝________.(4)常用对数、自然对数log10N＝lgN，logeN＝lnN(自然常数e＝2.71828···).N102．下列指数式与对数式互化错误的一组是(

)

A．e0＝1与ln1＝0

B．

与

C．log39＝2与

＝3

D．log77＝1与71＝7C【提示】选项C中，log39＝2等价于32＝9，故选C.1．完成下列指数式与对数式互化．210＝1024⇔______________；3a＝8⇔__________；log216＝4⇔________；log68＝m⇔________.log21024＝10log38＝a24＝166m＝8【基础练习2：指对互化】1．求值：

＝__________，

＝________，

＝________，lg1000＝________，lne2＝________.π－3－932【基础练习3：简单的指对运算】2．求值：

＋log31＋20270＝________.原式＝2＋0＋1＝3.33.已知lg2＝a，lg3＝b，用a，b表示lg5和lg12.【解】∵lg5＋lg2＝1，∴lg5＝1－lg2＝1－a.lg12＝lg(3×4)＝lg3＋lg4＝lg3＋2lg2＝b＋2a.【例1】

计算．(1);

(2)；(1)原式＝(2)原式＝1＋

＋4＝1＋3＋4＝8.【练习1】

计算．(1);

(2).(1)原式＝

(2)原式＝

＋(2－1)－2＋log773－10＝52＋22＋3－10＝22.【例2】计算．(1)已知a＝lg2，b＝lg7，试用a和b表示lg14，lg8，lg；(2)已知3x－1＝a，log3b＝y＋2，试用a和b表示3x＋y.【解】(1)由a＝lg2，b＝lg7，得lg14＝lg2＋lg7＝a＋b，lg8＝lg23＝3lg2＝3a，lg＝lg8－lg7＝3lg2－lg7＝3a－b.(2)由log3b＝y＋2得3y＋2＝b，∴3y＝

，∴3x＋y＝3x·3y＝.【练习2】设log54＝a，log53＝b，则log512＝________，

＝__________；(用含a和b的式子表示)a＋b2a－3b【提示】

＝log5(42÷33)＝2log54－3log53＝2a－3b.3．指数方程、对数方程(1)当a>0且a≠1时，af(x)＝ag(x)⇔____________________.(2)当a>0且a≠1时，logaf(x)＝logag(x)⇔_________________.f(x)＝g(x)f(x)＝g(x)>0

－1或1(3)若log2(x－2)＝2，则实数x＝________；(4)若logx16＋log28＝5，则实数x＝________.46

【例3】求值．(1)已知(lgx)2－lgx－6＝0，求x的值；(2)已知log2[log3(log4x)]＝0，求x的值；(3)已知(y－2)2＋|x－3y|＝0，求log2yx的值．解：（1）令lgx＝t，则原方程化为t2－t－6＝0⇒(t－3)(t＋2)＝0，解得t＝3或t＝－2，即lgx＝3或lgx＝－2，∴x＝1000或x＝

换元法(2)由log2[log3(log4x)]＝0得log3(log4x)＝1，∴log4x＝3，∴x＝43＝64.(3)由题意得

解得∴log2yx＝log226＝6.【练习3】

(1)求值：log2[log4(log216)]＝________；【提示】原式＝log2(log44)＝log21＝0.0(2)已知log2(x＋1)＋log2(x＋2)＝1，则x=________；【提示】原式＝log2(x＋1)＋log2(x＋2)＝log2(x＋1)(x＋2)＝log22.即(x＋1)(x＋2)＝2，解得x1＝0，x2＝－3（舍去）0

(3)已知|2－x|＋

＝0，则logxy＝________.2【提示】由题意得

解得

∴logxy=log24=2.【变式训练】

解下列方程．(1)23x－x2＝

；

(2)2lgx＝lg(x＋12).【解】(1)原方程可化为23x－x2＝2－4，∴3x－x2＝－4，即x2－3x－4＝0，解得x＝－1或x＝4(2)原方程可化为lgx2＝lg(x＋12)，∴x2＝x＋12，即x2－x－12＝0，解得x＝4或x＝－3(舍去)，∴原方程的解为x＝4.1．

的值是(

)

A．

B．

C．8

D．5D【提示】8log85＝5.【当堂自评】2．求值：

等于(

)

A．0

B．3

C．

D．B【提示】原式＝1.5＋0.5＋1＝3.【当堂自评】3．给出下列各式：①＝2；②；③(a－1)0＝1；④.其中正确的个数是(

)

A．0

B．1

C．2

D．3A【提示】∵①；②；③(a－1)0＝1(a≠1)；④，∴四个式子都是错误的．4．若22x＋1－7·2x－4＝0，则x＝________.2【提示】由方程22x＋1－7·2x－4＝0，得2×22x－7·2x－4＝0.设