导数的几何意义高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

5.1.2课时2导数的几何意义导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达.

平均变化率的几何意义

这里的切线定义与初中所学的圆的切线定义有什么不同？初中学过的圆的切线是从直线和圆的公共点个数的角度定义的.此处的切线定义是以逼近的方式对切线作出的定义；想一想：通过逼近方式对切线作出的定义，是否适用于圆的切线呢？P0P圆的切线的定义：与圆有且只有一个公共点的直线，该公共点称为切点.切线过某点，这点不一定是切点.

导数的几何意义

以直代曲P0TP0TP0T函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的

.也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是

.相应地，切线方程为

.切线的斜率f′(x0)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)要点归纳PxyOT(x0,f

(x0))

例1求曲线f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程．解决切线问题的关键:利用导数的几何意义求出切线的斜率k0=f′(x0).求曲线在某点处的切线方程的步骤方法归纳2.曲线y=-2x2+1在点P(1,-1)处的切线方程为

．t1ht0O••t2•t例2

如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象.根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t=t0,t1,t2附近的变化情况.l2l1l0解:(1)当t=t0时,曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴,h'(t0)=0.这时,在t=t0附近曲线比较平坦,几乎没有升降.(2)当t=t1时,曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率h'(1)<0.这时,在t=t1附近曲线下降,即函数h(t)在t=t1附近单调递减.(3)当t=t2时,曲线h(t)在t=t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0.这时,在t=t2附近曲线下降,即函数h(t)在t=t2附近也单调递减.问题3函数的单调性和导数有什么关系？t1ht0O••t2•t例2

如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象.根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t=t0,t1,t2附近的变化情况.l2l1l0从图中可以看出,直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度,这说明曲线h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢.

在t0,t1,t2附近的曲线在t=t0,t1,t2处的切线近似代替斜率刻画斜率的正负：增减趋势斜率的大小：增减快慢以直代曲【思想方法】（1）若f′(x0)＝0，则函数在x＝x0处切线斜率k＝

；（2）若f′(x0)>0，则函数在x＝x0处切线斜率k

0，且函数在x＝x0附近

，且f′(x0)越大，说明函数图象变化的越快；（3）若f′(x0)<0，则函数在x＝x0处切线斜率k

0，且函数在x＝x0附近

，且|f′(x0)|越大，说明函数图象变化的越快.0单调递增<

单调递减>要点归纳函数的单调性和导数的关系：xy12O•••32.函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是()

(A)f'(1)>f'(2)>f'(3)>0

(B)

f'(1)<f'(2)<f'(3)<0

(C)0<f'(1)<f'(2)<f'(3)(D)

f'(1)>f'(2)>0>f'(3)A例3

下图中是人体血管中药物浓度c=f(t)(单位:mg/mL)随时间t(单位:min)变化的函数图象.根据图象，估计t=0.2,0.4,0.6,0.8min时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).血管中药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度.函数f(t)在此时刻的导数,从图象上看,它表示曲线在该点处的切线的斜率.数形结合以直代曲

t

0.2

0.4

0.60.8药物浓度的瞬时变化率

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值，

从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f′(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).

y=f(x)的导函数有时也记作y′，即3.利用导数的几何意义解释实际生活问题,体会“数形结合”,“以直代曲”的数学思想方法.本节课你学到了哪些知识？A2.已知函数f(x)