温州市普通高中2023届高三第一次适应性考试数学试题卷（答案及详解）

温州市普通高中2023届高三第一次适应性考试数学试题卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.己知全集U=R，集合A=xx2-2x-3>0，B=xx=2k,k∈Z，则A.2B.0,2C.0,2,4D.-1,0,1,2,3【解析】∵A=xx2且B=xx=2k,k∈Z，∴CU2.若复数z满足3+4iz=1-2i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（DA.-103B.-103【解析】∵3+4iz=1-2i，，∴z3.浙江大学2022年部分专业普通类平行志愿（浙江）录取分数线下表所示，则这组数据的第85百分位数是（C）专业名称分数线专业名称分数线人文科学试验班663工科试验班（材料）656新闻传播学类664工科试验班（信息）674外国语言文学类665工科试验班（海洋）651社会科学试验班668海洋科学653理科试验班类671应用生物科学（农学）652工科试验班664应用生物科学（生工食品）656A.652B.668C.671D.674【解析】依题意知这些分数排列为651，652，653，656，656，663，664，664，665，668，671，674共12位，则其85%×12=10.2，共为671.故选C.4.若x-13x-2=a0+a1A.5B.-5C.3D.-3【解析】∵x-13x-2=(x5.一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中有3个白球，2个红球，小明从中无放回地取出3个小球，摸到一个白球记1分，摸到一个红球记2分，则小明总得ξ分的数学期望等于（C）A.3.8分B.4分C.4.2分D.4.4分【解析】设取出白球的个数为X，红球的个数为Y，则ξ=X+2Y，当X=3，Y=0时，即ξ=3，Pξ=3当X=2，Y=1时，即ξ=4，Pξ=4当X=1，Y=2时，即ξ=5，Pξ=5∴Eξ=3×1106.某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系为：M=M0e-kt（其M0，k是正常数）.己知经过1h，设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（A.3hB.4hC.5h【解析】依题意当t=0时，M=M0；当t=1时，M=M0而当e-kt=0.5，则0.8t=0.57.己知P为直线y=-x-1上一动点，过点P作抛物线C：x2=2y的两条切线，切点记为A，B，则原点到直线AB距离的最大值为（BA.1B.2C.3D.2【解析】依题意可设P(t,-t-1)，则切点AB直线方程为tx=y-t-1，即显然此直线恒过(-1,1)，故原点到直线AB距离的最大值为2.故选B.8.在三棱锥A-BCD中，AD⊥平面BCD，∠ABD+∠CBD=π2，BD=BC=2，则三棱锥A-BCD外接球表面积的最小值为A.(25-2)πB.(25-1)πC.【解析】依题意设∠CBD=2θ，则CD=4sinθ，此时∆BCD同时AD=2tan2θ，∴三棱锥A-BCD外接球的半径其中sec2∴三棱锥A-BCD外接球表面积S=4πR2≥4π×5二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.组样本数据x1，x2，⋯，xn的平均数为x（x≠0），标准差为s；另一组样本数据xn+1，xn+2，⋯，x2n的平均数为3x，标准差为s.两组数据合成一组新数据x1，x2，⋯，xn，xn+1，xn+2，⋯，xA.y>2xB.y=2xC.【解析】依题意知nxns同时有3nxns∴2ny=x1+⋯+xn+x∴2ns=2ns2+2nx2，∴s'2=s2+此题可以直接举例说明之：如x1=1，x2=2，其x=1.5另一组：x3=4，x4=5.其3x所以1，2，4,5，其y=3=2x，s'2=110.己知向量OA=(1,3)，OB=(-2,4)，OC=λOA+(1-λ)OB，其中λ∈R，则下列命题正确的是A.OA在OB上的投影向量为(-1,2)B.OC的最小值是10C.若OB∙OC>0，则λ1-λ>0D.【解析】依题意知OA∙OBOB∙OB∵OC=λOA+(1-λ)OB，即A，B，C三点共线，∴OC≥1010对于C：OC=λ∴OB∙OC=-23λ-2+44-λ显然不成立，故C错误；对于D：OB∙OC=20-10λ<0，∴λ>2，从而λ1-λ<0，故11.己知实数a，b满足：a>0且ab-a2≥1，则（ACDA.b+sina>a+sinbB.bsina>asinbC.log2b>logba【解析】依题意知a>0且ab-a2≥1，对于A：b+sina>a+sinb⟺b-sinb>a-sina，显然有f且f0=0，同时b>a>0，∴f对于B：bsina>asinb⟺sinaa如取a=π，b=52π，对于C：log2显然当a≤1时成立；当a>1时，lnb>lna>0，且lnb>ln2，∴ln2对于D：(a+1)b>(b+1)a⟺ln不妨设φx=xx+1-ln⁡(x+1)，∴φx<0，即h'x<0，hx在(0,+∞)单调递减，∴h12.己知函数y=f(x)的图象上存在两个不同的点P，Q，使得f(x)在这两点处的切线重合，则称函数y=f(x)为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是（ABC）A.y=sinx+cosxB.y=sin⁡(cosx)C.y=x+sinxD.y=x【解析】依题意知所谓的切线重合即为函数存在的公切线，可以是内公切线，也可以是外公切线.对于A：y=sinx+cosx=2sin⁡(x+π4)对于B：y=sin⁡(cosx)是周期为T=2π，且是偶函数，同选项A一样，存在两条外公切线y=±sin1，故B正确；对于C：y'=1+cosx≥0，y''=-sinx=0对于D：y'=2x+cosx≥0，y''=2-sinx>0，可画出大致图象如上此题除了画出其图象之外，还可以直接利用定义：不妨设x1<x且y=f'x2x-即f'对于C：f'即cosx1=cosx2=对于D：f'x=2x+cosx，f''x=2-sinx>0，若x1<x2三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.在函数fx=sin⁡(2x-φ)（φ>0）图象与x轴的所有交点中，点(φ2,0)离原点最近，则φ可以等于【解析】依题意知fx=0，得2x-φ=kπ，即x=φ2+kπ2，故∴φ≤-kπ2，取φ=π614.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是线段A1B1的中点，F【解析】取CD的中点为P，显然有平面AGC1E//平面FB1C，且直线FB1C其中在∆B1CF中，B1C=从而h=14S∆15.己知F1，F2是椭圆C的两个焦点，点M在C上，且MF1∙MF【解析】∵MF1∙∴MF1∙MF2∈b2,a16.定义在R上的函数f(x)满足fx+1+fx-1=f(2022)，f-2x+1=f(2x+5)，若f12=12【解析】∵fx+1+fx-1∴fx+3=fx-1，即T=4.∴f2022=f2.而f-2x+1=f(2x+5)，∴fx=f6-x另外：f12=12，f3f72+f从而1×f5×1=-2+-2+⋯+-2=-2×25=-50四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.己知数列an是等差数列，a1=1，且a1，a2，a5-1成等比数列.（1）求b1，b2（2）求最小自然数n的值，使得b1【解析】（1）设an的公差为d，由a1，a2，a∴4d=(1+d)2，即(d-1)2k=1时，b1=nk=2时，b2=（2）bk=n∴bn=10时，左边=2001<202；n=11时，左边=4039>2022，故最小自然数n=11.18.记锐角∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，己知sinA-B（1）求证：B=C；（2）若asinC=1，求1a2【解析】（1）∵sinA-BcosB=sin⁡(A-C)右边=sin⁡(A-C)cosC=sin∵∆ABC为锐角∆ABC，∴cosA>0，从而tanB=tanC，（2）由（1）知B=C，∴asinC=1即asinB=1，同时asinA=bsin∴1=-4sin2B-58当sin2B-58=0，即sinB=另一方法：由（1）知B=C，即∆ABC为等腰∆ABC，且asinC=1.∵S∆ABC=12absinC=12b进而有hA2=b2a故1a2+1b2=5a219.如图，线段AA1是圆柱OO1的母线，∆ABC是圆柱下底面（1）劣弧BC上是否存在点D，使得O1D//平面A1AB（2）求平面CBO1与平面BA【解析】（1）依题意知即过点O1作平面O1DE//平面A1从而得DE//AB.且直线DE过底面⨀O的圆心，则∠AOB=2π3，∠DOB=π6，即劣弧且其圆的半径为3，故劣弧BD长度为3π另一种解法：底面圆的半径为32sin则A(0,3,0)，B(32,-32A1A=(0,0,-3)设平面A1AB的一个法向量n1=(x,y,z)，∴设D(3cosθ,3sinθ,0)，θ∴O1D∙n此时D(32,-32,0)，此时劣弧BD的圆心角为π6（2）同时CB=(3,0,0)，O1∴3x0=0∴平面CBO1与平面BAA1所成角20.2021年11月10日，在英国举办的《联合国气候变化框架公约》第26次缔约方大会上，100多个国家政府、城市、州和主要企业签署了《关于零排放汽车和面包车的格拉斯哥宣言》，以在2035年前实现在主要市场、2040年前在全球范围内结束内燃机销售，电动汽车将成为汽车发展的大趋势，电动汽车生产过程主要包括动力总成系统和整车制造及总装、某企业计划为某品牌电动汽车专门制造动力总成系统.（1）动力总系统包括电动机系统、电池系统以及电控系统，而且这三个系统的制造互不影响.己知在生产过程中，电动机系统、电池系统以及电控系统产生次品的概率分别为3100，297，（=1\*romani）求：在生产过程中，动力总成系统产生次品的概率；（=2\*romanii）动力总成系统制造完成之后还要经过检测评估，此检测程序需先经过智能自动化检测，然后再进行人工检测，经过两轮检测恰能检测出所有次品.己知智能自动化检测的合格率为95%，求：在智能自动化检测为合格品的情况下，人工检测一件产品为合格品的概率.（2）随着电动汽车市场不断扩大，该企业通过技术革新提升了动力总系统的制造水平.现针对汽车续航能力的满意度进行用户回访.统计了100名用户的数据，如下表：对汽车续航能力是否满意产品批次合计技术革新之前技术革新之后满意285785不满意12315合计4060100试问是否有99.9%的把握可以认为用户对续航能力的满意度与该新款电动汽车动力总成系统的制造水平有关联？参考公式：χ2=P0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828【解析】（1）（=1\*romani）动力总成系统产生次品的概率P=1-97100×95（=2\*romanii）记自动化检测合格为事件A，人工检测为合格品为事件B，PB=4750∴P（2）χ2∴有99.9%的把握可以认为用户对续航能力的满意度与该新款电动汽车动力总成系统的制造水平有关联.21.己知双曲线Γ：x25-y24=1的左右焦点分别为F1，F2，P是直线l：y=-89x上不同于原点O的一个动点，斜率为k1的直线PF1与双曲线Γ交于（1）求1k1（2）若直线OA，OB，OC，OD的斜率分别为kOA，kOB，kOC，kOD，问是否存在点P，满足kOA【解析】（1）F1(-3,0)，F2(3,0)，∴k1=8λ-3-9（2）设P(9x0,-8x0∴直线AB方程为：y=-8x03+9联立方程y=-8x03+9x即x0∴k=-16同理可求得kOC+kOD即3x0-125即150x03-6x∴存在P(95,-822.己知a>0，函数Fx=fx-g(x