初中数学九年级下册《相似三角形的判定》教案

初中数学九年级下册《相似三角形的判定》教案

一、教材分析与核心素养定位

1.教材内容的地位与作用

本节课选自人教版九年级下册第二十七章《相似》的第二单元。相似形是初中几何的核心内容之一，是全等三角形的自然推广，也是学生从静态的、全等的几何世界迈向动态的、成比例的几何世界的关键转折点。相似三角形的判定定理，不仅是后续学习锐角三角函数、圆的性质、位似变换以及高中平面向量、立体几何等知识的重要理论基础，更是解决现实世界中测量、绘图、光学、工程制图等实际问题的强有力工具。

从知识结构上看，本节内容承上启下。上承全等三角形的判定（SSS,SAS,ASA,AAS），学生将从“形状相同且大小相等”的认知，过渡到“形状相同但大小可成比例”的更高层次理解。下启相似三角形的性质、位似变换乃至整个比例线段理论体系的学习。本节课所蕴含的“从特殊到一般”、“类比猜想”、“实验探究到逻辑证明”的数学思想方法，是培养学生数学核心素养的绝佳载体。

2.学科核心素养融合设计

本节课的教学设计旨在深度融合以下数学核心素养：

1.数学抽象与直观想象：通过观察大量生活与几何图形中的相似现象，抽象出“对应角相等，对应边成比例”这一本质属性。利用动态几何软件（如GeoGebra）进行直观演示，帮助学生构建相似三角形的心理表象，发展空间观念。

2.逻辑推理：这是本节课的核心素养落脚点。引导学生类比全等三角形的判定，提出关于相似三角形判定的合理猜想，并经历严谨的演绎证明过程（特别是“两角分别相等”和“三边成比例”的证明），体会数学的公理化思想与逻辑力量。

3.数学建模：将实际问题（如测量金字塔高度、计算河宽）抽象为几何模型，通过构造相似三角形，利用判定定理解决问题，体会数学的应用价值。

4.数学运算：在应用“两边成比例且夹角相等”及“三边成比例”的判定定理时，涉及比例的计算与判断，锻炼学生的运算能力。

5.跨学科视野：有意识地融入物理（小孔成像、反射定律）、艺术（透视绘画）、地理（地图比例尺）等领域的实例，展现数学作为基础学科的工具性与普适性。

3.学情分析

认知基础：九年级学生已经系统掌握了全等三角形的定义、性质和四大判定方法，具备一定的几何直观、逻辑推理和规范书写证明过程的能力。同时，他们已经学习了比例的基本性质、平行线分线段成比例定理等预备知识。

心理与思维特征：该年龄段学生的抽象逻辑思维从经验型逐步向理论型转化，具备一定的自主探究和合作学习能力。但相似概念比全等更为抽象，从“相等”到“成比例”的思维跨度较大，部分学生可能产生理解困难。此外，在证明过程中，需要添加辅助线（平行线）来构造比例关系，这对学生来说是新的挑战。

潜在困难与对策：

*困难1：对“对应”关系的把握，尤其在复杂图形中寻找对应边和对应角。

*对策：强化图形标注训练，使用颜色、符号进行区分，通过变式图形进行辨析。

*困难2：对判定定理中“夹角相等”和“三边成比例”条件的必要性理解不深。

*对策：设计反例教学，通过动态几何软件展示条件缺失时图形的不确定性，加深理解。

*困难3：证明思路的生成，如何自然想到“在已知三角形内部或外部构造平行线”。

*对策：引导回顾平行线分线段成比例定理的推论，建立知识连接，揭示方法背后的逻辑必然性。

二、教学目标与重难点

1.教学目标

基于以上分析，确立以下三维教学目标：

知识与技能：

1.理解相似三角形判定的预备定理（平行于三角形一边的直线所截得的三角形与原三角形相似）。

2.探索并证明相似三角形的三个判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。

3.能够灵活运用这三个判定定理，解决简单的几何证明和计算问题，并初步应用于实际情境。

过程与方法：

1.经历“观察实例—提出猜想—实验验证—逻辑证明—应用拓展”的完整数学探究过程。

2.体会类比、转化、从特殊到一般的数学思想方法。

3.通过小组合作探究，发展交流、协作与批判性思维能力。

情感、态度与价值观：

1.在探究活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学好数学的自信心。

2.感受几何逻辑体系的严谨与和谐之美。

3.认识数学与人类生活的密切联系，以及其对科技发展和文化传承的价值，增强应用意识。

2.教学重点与难点

教学重点：相似三角形的三个判定定理的探索、证明及其初步应用。

教学难点：

1.判定定理的证明，特别是如何通过构造辅助平行线，将比例关系转化为已知定理的应用。

2.在复杂图形中准确、灵活地识别和应用判定定理。

突破策略：采用“化归”思想，将新问题（证明相似）转化为已解决的问题（利用平行线证相似或证角相等、边成比例）。通过搭建问题串、提供思维脚手架（如提示关键辅助线）、进行典例剖析和变式训练来化解难点。

三、教学准备与资源

1.教师准备：精心设计的多媒体课件（内含生活图片、动画演示、定理证明步骤图、例题与练习题）；GeoGebra动态几何课件（用于演示图形变化，验证猜想）；实物投影仪；三角板。

2.学生准备：复习平行线分线段成比例定理及推论；直尺、圆规、量角器；预习教材相关内容。

3.环境准备：学生按异质分组（4-6人一组），便于开展合作探究。

四、教学过程实施（详细展开）

第一课时：从全等到相似——判定定理的探索与证明（一）

环节一：创设情境，温故孕新（预计用时：10分钟）

1.情境导入：

1.2.展示一组图片：不同尺寸的国旗、同一建筑的不同角度照片、地图上的不同比例尺、显微镜下的细胞分裂图像。

2.3.问题驱动：这些图片中的图形有什么共同特征？（形状相同）我们如何用数学语言精确描述这种“形状相同”？（引出“相似图形”及“相似多边形”的定义，重点回顾相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。）

3.4.思维链接：要证明两个三角形相似，根据定义，我们需要验证几组条件？（六个：三对角相等，三对边成比例。）这显然非常繁琐。回想一下，我们是如何简化全等三角形的判定条件的？（从定义的六个条件减少到三个甚至两个特定条件。）那么，对于相似三角形，我们是否也能找到更简化的判定方法呢？

4.5.揭示课题：这就是我们今天要研究的核心问题——相似三角形的判定。

6.温故知新——回顾预备定理：

1.7.提问：我们已经知道一个特殊的相似情形是什么？（引导学生回忆：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的三角形与原三角形相似。）

2.8.动态演示：利用GeoGebra，拖动截线，直观展示无论截线位置如何，只要平行于底边，所截得的三角形始终与原三角形相似。强调这是后续所有判定定理推导的基石。

环节二：类比猜想，合作探究（预计用时：20分钟）

1.提出核心任务：类比全等三角形的判定（SSS,SAS,ASA,AAS），请同学们分组讨论，猜想判定两个三角形相似可能需要哪些更少的条件？

1.2.小组活动：发放探究单。给出几组三角形（如一组两个角分别为50°和60°的三角形；一组两边比例为2:3且夹角为40°的三角形；一组三边比例均为2:3:4的三角形）。

2.3.学生利用量角器、直尺进行测量、计算、比较，初步验证猜想的可能性。

3.4.猜想汇总：（教师引导板书）

1.4.5.猜想1：如果两个三角形有两角分别相等，它们相似吗？（类比ASA/AAS）

2.5.6.猜想2：如果两个三角形有两边成比例，且夹角相等，它们相似吗？（类比SAS）

3.6.7.猜想3：如果两个三角形的三边都成比例，它们相似吗？（类比SSS）

4.7.8.（学生可能提出其他猜想，如“两边成比例且有一对角相等”，教师可留作课后思考或通过反例辨析。）

9.初步验证与聚焦：

1.10.利用GeoGebra对以上猜想进行动态验证。固定一个三角形，通过改变另一个三角形的形状和大小，但保持猜想中的条件不变，观察两个三角形是否始终相似。

2.11.发现：猜想1和2在动态演示下似乎总是成立。猜想3也成立。但“两边成比例且有一对角相等（非夹角）”不一定成立，可通过构造反例说明。

3.12.明确本课时核心：今天我们先重点研究最简洁、最强大的判定方法——两角分别相等的两个三角形相似。

环节三：逻辑建构，证明定理（预计用时：12分钟）

1.定理表述：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角分别相等，两三角形相似。

2.分析证明思路（这是突破难点的关键）：

1.3.已知：在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'。

2.4.求证：△ABC∽△A'B'C'。

3.5.师生共同分析：根据定义，我们需要证明两点：①对应角相等（已知已有两对角相等，由三角形内角和定理，第三对角自然相等，所以条件①已满足）。②对应边成比例，即AB/A‘B’=BC/B‘C’=CA/C‘A’。

4.6.关键启发：如何证明边成比例？我们已知的与比例有关的定理是什么？（平行线分线段成比例定理及其推论。）能否在图形中构造出平行线，使得待证的比例线段成为平行线截得的线段？

5.7.思路形成：可以在较大的三角形（如△ABC）上，截出一个与较小三角形（△A‘B’C‘）全等（进而相似）的三角形。如何截？确保截得的三角形有两个角与△A‘B’C‘的角相等。

6.8.证明过程（教师板书示范，强调严谨）：

1.7.9.在AB（或其延长线）上截取AD=A‘B’，过点D作DE∥BC，交AC于点E。

2.8.10.∵DE∥BC∴∠ADE=∠B（同位角）

3.9.11.又∵∠B=∠B‘∴∠ADE=∠B’

4.10.12.在△ADE和△A‘B’C‘中，

∠A=∠A’（已知）

AD=A‘B’（作图）

∠ADE=∠B‘（已证）

5.11.13.∴△ADE≌△A‘B’C‘(ASA)

6.12.14.∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC（预备定理）

7.13.15.又∵△ADE≌△A‘B’C‘∴△A’B‘C’∽△ABC。

14.16.提炼思想：通过“构造平行线”，将证明任意两个三角形相似的问题，转化为证明一个三角形与由平行线截得的三角形相似的问题，实现了知识的转化与迁移。

环节四：初步应用，深化理解（预计用时：8分钟）

1.基础辨识：

1.2.出示多个图形对，判断是否满足“两角相等”的条件，并说明是哪两对角。强调公共角、对顶角、直角等常见相等角。

2.3.例1：如图，∠1=∠2，请指出图中的相似三角形，并说明理由。

（设计：包含“A字型”和“X字型”基本图，巩固预备定理和判定定理1。）

4.简单应用：

1.5.例2：已知：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高。求证：(1)△ACD∽△ABC；(2)△CBD∽△ABC。

1.2.6.学生尝试口述证明。教师强调“直角”是相等的角，以及“同角的余角相等”这一重要结论。由此引出“母子型”相似基本图形，为后续射影定理埋下伏笔。

7.课堂小结与布置作业：

1.8.引导学生回顾本课探索历程：从生活实例出发，类比猜想，实验验证，最终完成严谨的逻辑证明。

2.9.强调“两角相等”判定定理的简洁性与广泛适用性。

3.10.作业：①熟记定理及证明思路；②教材课后基础练习题；③预习下节课内容（SAS型判定），并尝试模仿今天的思路，思考如何证明。

第二课时：判定定理的证明（二）与综合应用

环节一：复习迁移，再探新知（预计用时：15分钟）

1.复习导入：

1.2.提问回顾：“两角相等”判定定理的内容及证明关键（构造平行线）。

2.3.快速练习：在复杂网状图形中，找出所有相似的三角形对。

4.探究证明“两边成比例且夹角相等”定理：

1.5.已知：在△ABC和△A'B'C'中，AB/A‘B’=AC/A‘C’，且∠A=∠A‘。

2.6.求证：△ABC∽△A'B'C'。

3.7.小组合作探究：仿照上节课的证明思路，尝试自主或合作完成证明。

4.8.思路点拨：关键仍是在大三角形上构造一个与小三角形全等的三角形。如何利用“两边成比例”的条件来截取线段？可以在AB上截取AD=A‘B’，然后呢？（引导学生思考：要确保AE=A‘C’，需要过D作DE∥BC吗？这时AC/A‘C’=AB/A‘B’=AB/AD，由平行线分线段成比例，AE/AC=AD/AB，从而可推出AE=A‘C’。）

5.9.教师规范证明过程，并与“两角相等”定理的证明进行对比，总结共同点：都是通过“截取—作平行—证全等—得相似”的模式，将未知转化为已知。

6.10.辨析强调：“夹角相等”这一条件的必要性。展示反例：两条边对应成比例，但相等的角不是夹角，两个三角形不一定相似。

环节二：自主类比，完成体系（预计用时：10分钟）

1.探究证明“三边成比例”定理：

1.2.此定理的证明思路与“SAS型”高度相似。可作为能力提升任务，由学有余力的学生主导分析，教师辅助。

2.3.证明概要：同样在AB上截取AD=A‘B’，在AC上截取AE=A‘C’。由三边成比例可推导出DE/BC=AD/AB=A‘B’/AB，结合AD=A‘B’，可得DE/BC=1，即DE=BC。进而通过“SSS”证明△ADE≌△A‘B’C‘，再根据预备定理证得相似。

3.4.教师总结：三大判定定理证明完毕，它们与全等三角形判定定理有着完美的类比关系，但条件更“宽松”（从“相等”变为“成比例”）。

环节三：综合应用，思维进阶（预计用时：20分钟）

1.判定方法的选择与优化：

1.2.出示例题组，引导学生根据已知条件，快速选择最简捷的判定方法。

1.2.3.例3：已知一组对角均为35°，且夹这角的两边比例是2:3。

2.3.4.例4：已知三边长度分别为4,6,7和8,12,14。

3.4.5.例5：已知两对角分别为70°和45°。

5.6.总结选择策略：有角等优先用“两角相等”；有比例线段和夹角用“SAS型”；只有边的关系用“SSS型”。

7.复杂图形中的综合识别与证明：

1.8.例6（经典“双垂直”模型拓展）：在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，两高相交于H。求证：(1)△AEH∽△CEB；(2)△AEH∽△ADC；(3)由此能得出哪些新的比例式？

1.2.9.引导学生多角度观察图形，找出多个“两角相等”的三角形组（利用等角的余角相等，对顶角相等）。体会复杂图形是由基本图形（A字型、X字型、母子型）复合而成。

10.实际应用建模：

1.11.例7（古代测量问题——泰勒斯测金字塔）：如何利用一根木杆和太阳光，测量金字塔的高度？你能画出几何示意图，并解释其中的原理吗？

2.12.例8（物理光学问题）：如图，反射面AB，入射光线CD与法线夹角等于反射光线DE与法线夹角。已知测量者身高、与河岸距离、视线角度等数据，如何利用相似三角形原理估算河宽？

1.3.13.小组讨论，建立数学模型（抽象出相似三角形），列出比例式求解。突出数学的实用性。

环节四：课堂总结，结构升华（预计用时：5分钟）

1.引导学生用思维导图总结本章节知识结构：从相似定义（6条件）到预备定理（平行），再到三大判定定理（2-3条件），体现知识的简化与深化过程。

2.强调数学思想方法：类比、转化（化归）、从特殊到一般、数形结合。

3.布置分层作业：

1.4.基础巩固：完成教材所有相关练习，熟练应用三个判定定理。

2.5.能力提升：探究“两边成比例且其中一边的对角相等”能否判定相似？收集并尝试用相似三角形解决一个生活中的实际问题。

3.6.拓展延伸：预习相似三角形的性质，思考判定与性质之间的互逆关系。

五、板书设计（持续构建）

主板书（左侧）：

第二十七章相似

§27.2.1相似三角形的判定

一、定义：∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C'

AB/A'B'=BC/B'C'=CA/C'A'

二、预备定理：DE∥BC→△ADE∽△ABC

三、判定定理：

1.两角相等（AA）：∠A=∠A',∠B=∠B'→△ABC∽△A'B'C'

（证明思路：截AD=A'B'，作DE∥BC，证△ADE≌△A'B'C'）

2.两边成比例且夹角相等（SAS）：

AB/A'