初中数学八年级下册“二次根式的运算”大单元教学设计与实施

初中数学八年级下册“二次根式的运算”大单元教学设计与实施

一、设计依据

  本教学设计严格依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对“数与代数”领域中学业质量的要求，聚焦学生数学核心素养——运算能力、抽象能力、推理能力、应用意识的培养。针对浙教版数学八年级下册第一章“二次根式”的单元知识结构，本设计将“二次根式的运算”作为核心内容进行大单元整合重构。教材原有的编排遵循了从概念到性质再到运算的逻辑顺序，本设计在此基础上，强化了运算的整体性、算理的一致性与应用的现实性，旨在帮助学生构建完整的二次根式运算知识体系，实现从算术平方根到二次根式，从数到式的运算的自然过渡与意义升华。

  （一）课程标准与核心素养分析

  课程标准在第三学段（7-9年级）明确要求：“了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算。”这为本单元划定了知识与技能的基础边界。然而，作为最高水平的教学设计，我们追求超越“简单运算”，致力于在运算教学中渗透核心素养。

  1.运算能力：不仅要求学生能正确、熟练地进行二次根式的加、减、乘、除及混合运算，更强调对运算原理（如乘法公式在根式中的延伸、合并同类二次根式的本质是分配律的应用）的理解，以及对运算方法与策略的合理选择（如先化简再运算、有理化分母的策略选择），从而形成程序化思考的思维品质。

  2.抽象能力：引导学生从具体数字的算术平方根运算，抽象出一般二次根式的符号表示与运算律，理解二次根式运算与整式、分式运算在算理上的内在一致性（如同底数幂的运算律、分配律等），完成从具体到抽象的数学化过程。

  3.推理能力：在探究运算法则（如\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0，b≥0)）的过程中，引导学生依据算术平方根的定义进行逻辑推导；在解决复杂运算问题时，鼓励学生运用类比、归纳等推理方法，验证运算结果的合理性。

  4.应用意识：设计真实或接近真实的跨学科问题情境（如几何中的线段长度计算、物理中的复合运动问题、生活中的优化设计问题），让学生感悟二次根式运算在解决实际问题中的价值，主动运用数学知识解释现实世界。

  （二）教材内容与结构分析

  浙教版教材将“二次根式的运算”置于“二次根式的性质”之后，逻辑脉络清晰。乘除运算直接依托性质\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}和\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0，b>0)，加减运算则建立在“最简二次根式”和“同类二次根式”两个核心概念之上。本设计的优化在于：

  1.大单元视角：将运算教学视为一个整体，打破课时壁垒。首先从“数系扩张”的宏观视角引入，明确二次根式运算是对实数运算体系的完善。然后，以“运算对象-运算律-运算应用”为主线组织内容。

  2.结构化整合：强调乘除运算与加减运算的内在联系。乘除运算是基础，其结果常需化为最简形式，这直接为识别“同类二次根式”做准备。加减运算本质上是分配律的应用，其前提是识别同类项，这与整式加减一脉相承。

  3.螺旋式深化：在掌握基本运算法则后，引入分母有理化、复合二次根式化简等拓展内容，满足学有余力学生的需求，体现教学的层次性与挑战性。

  （三）学情诊断与分析

  教学对象为八年级下学期学生，其认知和心理特征如下：

  1.已有知识基础：学生已经熟练掌握了有理数的四则运算、整式的运算（包括乘法公式）、分式的运算，以及平方根、算术平方根的概念和二次根式的基本性质。这为学习二次根式的运算提供了坚实的知识储备和丰富的运算经验。

  2.潜在认知冲突与难点：

  *概念抽象性：从具体的数到抽象的字母表示二次根式，部分学生可能难以透彻理解字母取值范围（被开方数非负）对运算成立的关键性。

  *运算复杂性：二次根式的运算步骤多（常需先化简）、限制条件多（如加减运算需先化为最简再判断同类），学生易出现化简不彻底、合并错误、忽视取值范围导致错误等问题。

  *算理理解深度不足：学生可能机械记忆运算法则，而对“为什么可以这样算”理解不深，例如对分母有理化的目的（将分母转化为有理数，便于近似计算和形式统一）认识模糊。

  *应用意识薄弱：学生习惯于处理纯数学题，将二次根式运算与实际问题建立联系的能力有待加强。

  3.学习心理与能力倾向：八年级学生具备一定的自主探究和合作学习能力，对富有挑战性和现实意义的问题兴趣浓厚。但同时也存在注意力易分散、思维严谨性有待提高的特点。

  （四）教学理论支撑

  本设计以建构主义学习理论为指导，强调学生在已有知识经验基础上的主动建构。通过创设认知冲突（如：\sqrt{2}+\sqrt{8}能否像整式一样合并？），引导学生探究、发现法则。同时，运用APOS理论（操作-过程-对象-图式）来设计学习路径：从具体的数字运算实例（操作）出发，归纳概括出一般运算法则（过程），将法则本身作为可操作的对象进行运用和组合，最终整合到实数运算的更大图式之中。此外，差异化教学理念贯穿始终，通过分层任务和拓展内容，满足不同层次学生的发展需求。

二、单元主题与课时安排

  （一）单元大概念/核心观念

  数学运算的统一性与规范性：二次根式的运算并非孤立的新规则，而是实数运算体系的内在组成部分，其算理与整式、分式运算一脉相承，都遵循基本的运算律（交换律、结合律、分配律）。运算的规范性（如化为最简形式、分母有理化）是保证运算结果唯一、简洁和可比性的关键。

  （二）单元基本问题

  1.我们为什么需要学习二次根式的运算？它在整个“数”与“式”的运算体系中居于何种位置？

  2.二次根式的加、减、乘、除运算法则是什么？我们如何从已有的数学知识中逻辑地推导出这些法则？

  3.进行二次根式运算时，为什么要强调“化为最简二次根式”和“分母有理化”？这些规范化操作的数学本质是什么？

  4.如何将二次根式的运算灵活、准确地应用于解决跨学科的复杂实际问题中？

  （三）课时规划（共计3课时）

  第一课时：探寻根源——二次根式的乘除运算及其应用

  核心任务：探究并掌握二次根式的乘除运算法则，理解其与二次根式性质的直接关联，熟练进行运算并将结果化为最简形式。

  第二课时：合异为同——二次根式的加减与混合运算

  核心任务：建立“最简二次根式”与“同类二次根式”的概念体系，探究二次根式加减运算的本质（合并同类二次根式），掌握混合运算的顺序与策略。

  第三课时：融会贯通——二次根式运算的综合应用与拓展探究

  核心任务：综合运用二次根式的运算法则解决复杂的数学问题及跨学科的实际问题，探究分母有理化的技巧与复合二次根式的化简，提升思维层次。

三、单元学习目标

  （一）知识与技能目标

  1.能准确叙述二次根式的乘、除、加、减运算法则，明确各法则成立的条件。

  2.能熟练地进行二次根式的四则运算和简单的混合运算，运算过程规范，结果正确且化为最简形式。

  3.能根据实际需要，对含有二次根式的式子进行分母有理化。

  4.能识别和解决涉及二次根式运算的简单实际问题。

  （二）过程与方法目标

  1.经历从具体数值计算到抽象符号概括的探究过程，体会类比、归纳、演绎等数学思想方法在发现运算法则中的作用。

  2.通过对比二次根式运算与已学的整式、分式运算，体会数学运算体系的内在一致性和扩展性，构建知识网络。

  3.在解决复杂运算和实际问题的过程中，学会分析问题、制定运算策略、优化解题路径。

  （三）情感、态度与价值观目标

  1.在探究活动中感受数学的严谨性与逻辑性，养成言必有据的思维习惯。

  2.通过解决蕴含数学美的化简问题（如黄金分割相关计算）和跨学科应用问题，体验数学的实用价值与内在和谐，增强学习兴趣和自信心。

  3.在小组合作与交流中，乐于分享见解，敢于质疑，形成积极的数学学习态度。

四、教学重点与难点

  （一）教学重点

  1.二次根式的乘除运算法则及其应用。

  2.最简二次根式的概念及化简方法。

  3.同类二次根式的概念及二次根式的加减运算法则。

  4.二次根式的混合运算顺序与策略。

  （二）教学难点

  1.理解二次根式加减运算的本质是合并同类二次根式，并能准确、熟练地识别同类二次根式。

  2.灵活运用运算律、乘法公式以及分母有理化等技巧进行复杂的二次根式混合运算。

  3.在实际问题中抽象出二次根式运算模型，并解释运算结果的现实意义。

五、教学准备

  （一）教师准备

  1.精心设计的多媒体课件，包含探究问题、动画演示（如几何法说明\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}）、分层例题与练习题、跨学科情境素材。

  2.预设课堂小组讨论的问题清单及引导策略。

  3.设计不同层次的课后作业（基础巩固、能力提升、拓展探究）。

  4.准备几何拼图模型（用于面积法解释乘法）等教具。

  （二）学生准备

  1.复习二次根式的概念、性质，以及整式运算、乘法公式。

  2.准备练习本、草稿纸。

  3.预习第一课时导学案中的基础问题。

六、教学实施过程（核心环节详述）

第一课时：探寻根源——二次根式的乘除运算及其应用

  （一）情境导入，提出问题（预计时间：8分钟）

  教学活动：

  1.呈现现实情境：学校计划扩建一块长方形绿地。已知原绿地为正方形，面积为18平方米。现将其一边增加\sqrt{2}米，另一边延长至原来的\sqrt{3}倍。提问：新绿地的面积是多少平方米？列出算式：(\sqrt{18}+\sqrt{2})\times\sqrt{3}。这个式子如何计算？

  2.几何直观引入：展示两个矩形，一个长为\sqrt{4}宽为\sqrt{9}，另一个长为\sqrt{36}宽为1（单位相同）。请学生估算并思考它们的面积关系。引出问题：\sqrt{4}\times\sqrt{9}与\sqrt{36}相等吗？一般地，\sqrt{a}\times\sqrt{b}与\sqrt{ab}有何关系？

  设计意图：从实际应用和几何直观两个角度创设情境，激发学生学习二次根式运算的内在需求。第一个问题蕴含了乘法和加法的混合运算，为后续学习埋下伏笔；第二个问题直指乘法的核心性质，引导学生从特殊到一般进行猜想。

  核心素养聚焦：应用意识、抽象能力。

  （二）合作探究，建构法则（预计时间：20分钟）

  探究活动一：二次根式的乘法法则

  1.特例计算，提出猜想：

    计算：(1)\sqrt{4}\times\sqrt{9}=?\sqrt{4\times9}=?(2)\sqrt{25}\times\sqrt{16}=?\sqrt{25\times16}=?

    猜想：\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\underline{\hspace{2cm}}(a≥0，b≥0)。

  2.逻辑验证，形成法则：

    引导学生根据算术平方根的定义进行证明：设x=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}，则x^2=(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b})^2=(\sqrt{a})^2\cdot(\sqrt{b})^2=ab。因为x≥0，且ab的算术平方根是\sqrt{ab}，所以x=\sqrt{ab}。

    师生共同归纳法则：\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0，b≥0)。语言表述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。

  3.逆向思考，深化理解：

    提问：\sqrt{ab}=\underline{\hspace{2cm}}\cdot\underline{\hspace{2cm}}(a≥0，b≥0)。此性质可用于将根号内能开得尽方的因数开出来，即化简。

  探究活动二：二次根式的除法法则

  1.类比迁移，自主探究：

    出示问题：计算(1)\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{4}}=?\sqrt{\frac{36}{4}}=?(2)\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{9}}=?\sqrt{\frac{81}{9}}=?

    请学生小组讨论，类比乘法法则的探究过程，猜想并尝试证明除法法则。

  2.展示交流，完善法则：

    小组代表展示猜想与证明思路。师生共同完善：\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0，b>0)。强调b>0的原因。

  探究活动三：最简二次根式

  1.概念生成：

    利用乘法法则的逆用化简：\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{2}。提问：2\sqrt{2}与\sqrt{8}哪个形式更简洁？为什么？

    给出最简二次根式的两个标准：（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（2）被开方数不含分母。

  2.即时辨析：

    判断下列式子是否为最简二次根式：\sqrt{12},\sqrt{\frac{2}{3}},\sqrt{0.5},\sqrt{a^3}(a≥0)。若不是，请化简。

  设计意图：将探究的主动权交给学生，通过“计算-猜想-验证-归纳”的完整过程，深刻理解法则的由来。强调算理推导，培养逻辑推理能力。最简二次根式概念在乘除运算后自然引出，体现了知识的内在逻辑。

  核心素养聚焦：运算能力、推理能力、抽象能力。

  （三）范例解析，形成规范（预计时间：10分钟）

  例题1：计算(1)\sqrt{6}\times\sqrt{10}(2)\sqrt{1\frac{1}{2}}\times\sqrt{24}(3)\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{5}}(4)\sqrt{27}\div\sqrt{3}

  教师引导：强调运算步骤：直接运用法则计算；结果必须化为最简二次根式。第(2)题需先将带分数化为假分数。

  例题2：化简(1)\sqrt{200}(2)\sqrt{4.5}(3)\sqrt{\frac{9x^3}{2y}}(x>0，y>0)

  教师引导：展示化简的规范书写。对于(3)，强调分母中含有根号时，如何利用除法法则将其化为最简形式，为后续分母有理化做铺垫。

  设计意图：通过典型例题，示范规范的解题步骤和书写格式，巩固对乘除法则及最简形式的理解。例题设置由易到难，从数字到含字母，体现层次性。

  核心素养聚焦：运算能力。

  （四）巩固练习，内化新知（预计时间：5分钟）

  课堂练习（分层）：

  A组（基础）：计算：\sqrt{3}\times\sqrt{12}；\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}；\sqrt{18}\times\sqrt{\frac{1}{2}}。

  B组（提升）：化简：\sqrt{0.2}；\sqrt{\frac{5m^2}{8n}}(m>0，n>0)；(-\sqrt{15})\times(-\sqrt{\frac{5}{3}})。

  学生独立完成，教师巡视指导，针对共性错误进行简要评讲。

  设计意图：及时巩固，获得反馈。分层练习让不同水平的学生都能获得成功的体验。

  核心素养聚焦：运算能力。

  （五）课堂小结，布置作业（预计时间：2分钟）

  小结：引导学生从知识（乘除法则、最简二次根式）、方法（从特殊到一般、类比）、思想（转化、化归）三个方面进行总结。

  作业：

  1.（必做）教材对应练习，完成基础运算题。

  2.（选做）探究：如何计算\sqrt{3}(\sqrt{6}+\sqrt{12})？它与我们学过的哪种运算律类似？尝试计算。

  设计意图：结构化小结促进知识内化。选做作业具有前瞻性，引导学生思考乘法分配律在二次根式中的适用性，为下节课铺垫。

第二课时：合异为同——二次根式的加减与混合运算

  （一）复习旧知，引发冲突（预计时间：7分钟）

  教学活动：

  1.快速抢答：化简：\sqrt{8},\sqrt{18},\sqrt{50},\sqrt{\frac{1}{2}}。要求化为最简二次根式。

  2.提出问题，制造认知冲突：

    出示上节课导入问题中的算式：(\sqrt{18}+\sqrt{2})\times\sqrt{3}。提问：根据上节课所学，我们可以先做乘法分配，得到\sqrt{18}\times\sqrt{3}+\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{54}+\sqrt{6}。

    追问：这个结果还能继续计算吗？\sqrt{54}+\sqrt{6}等于\sqrt{60}吗？为什么？（通过估算或计算验证不相等）。那它究竟等于什么？如何计算像\sqrt{8}+\sqrt{18}这样的式子？

  设计意图：通过复习强化最简二次根式的化简，为新知学习扫清障碍。利用上节课的遗留问题，制造强烈的认知冲突，使学生明确认识到二次根式的加法有新的规则，从而激发强烈的求知欲。

  核心素养聚焦：运算能力。

  （二）概念辨析，探究法则（预计时间：18分钟）

  探究活动一：什么是“同类二次根式”？

  1.类比导入：回顾整式加减中“同类项”的概念（字母相同，相同字母的指数也相同）。提问：观察\sqrt{8}(=2\sqrt{2})，\sqrt{18}(=3\sqrt{2})，\sqrt{50}(=5\sqrt{2})，它们化简后有什么共同特征？（被开方数都是2）

  2.概念定义：引出“同类二次根式”概念：几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

  3.辨析巩固：判断下列各组二次根式是否为同类二次根式：

    (1)\sqrt{12}与\sqrt{27}(2)\sqrt{3}与\sqrt{\frac{1}{3}}(3)\sqrt{2a}与\sqrt{8a^3}(a>0)

    强调：判断必须先化简！

  探究活动二：二次根式的加减运算法则

  1.实例探究：尝试计算\sqrt{8}+\sqrt{18}。引导学生先化简：2\sqrt{2}+3\sqrt{2}。

  2.类比归纳：提问：这类似于我们学过的什么运算？（合并同类项）。如何计算？（系数相加，被开方数部分不变）。学生尝试给出法则：二次根式相加减，先将各个二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。

  3.算理追问：为什么可以这样算？其数学依据是什么？引导学生从运算律角度思考：2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=(2+3)\sqrt{2}，实质是逆用了乘法分配律。

  4.减法类比：学生自行举例说明减法运算。

  设计意图：充分利用学生已有的“同类项”认知基础，通过类比建立新概念，降低理解难度。深刻揭示加减运算的本质是分配律的应用，将新知识牢固地锚定在原有的运算律图式中，促进知识的结构化。

  核心素养聚焦：抽象能力、推理能力。

  （三）典例精析，掌握混合运算（预计时间：12分钟）

  例题3：计算(1)2\sqrt{12}-3\sqrt{48}+\sqrt{8}(2)(\sqrt{12}-\sqrt{4\frac{1}{2}})-(\sqrt{\frac{1}{8}}-\sqrt{27})

  教师引导：板书规范步骤：①化简每个二次根式；②识别并标注同类二次根式；③合并同类二次根式。强调运算顺序和符号处理。

  例题4：计算(1)(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})(2)(2\sqrt{3}-\sqrt{6})^2

  教师引导：提问：这些算式形式让你联想到什么？（平方差公式、完全平方公式）。能否直接运用？展开后如何运算？引导学生将二次根式视为一个“整体”，运用整式乘法的公式进行计算，最后化简结果。

  设计意图：例题3巩固加减运算的基本流程。例题4是本节课的升华，将二次根式的运算与整式运算、乘法公式无缝衔接，深刻体现数学知识的内在统一性，提升学生的综合运算能力。

  核心素养聚焦：运算能力。

  （四）变式训练，灵活运用（预计时间：10分钟）

  课堂练习（分层）：

  A组（基础）：计算：\sqrt{20}+\sqrt{5}-\sqrt{45}；(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)。

  B组（提升）：计算：(\sqrt{8}+\sqrt{3})\times\sqrt{6}；(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})(2\sqrt{2}-3\sqrt{3})；\frac{\sqrt{12}+\sqrt{27}}{\sqrt{3}}。

  C组（挑战）：已知a=\sqrt{3}+\sqrt{2}，b=\sqrt{3}-\sqrt{2}，求a^2-ab+b^2的值。

  小组内互评，教师针对提升和挑战题中的方法（如整体代入、公式灵活运用）进行点拨。

  设计意图：通过分层、变式的练习，促使学生灵活运用法则和公式解决问题。C组题旨在培养代数式求值的整体思想和运算技巧，为优生提供发展空间。

  核心素养聚焦：运算能力、推理能力。

  （五）课堂总结，布置作业（预计时间：3分钟）

  小结：以思维导图形式，师生共同梳理本课核心概念（同类二次根式）和法则（加减运算），并明确其与整式运算、乘除运算的关系。

  作业：

  1.（必做）教材混合运算习题。

  2.（选做）生活应用：一个直角三角形的两条直角边长分别为\sqrt{8}cm和\sqrt{18}cm，求斜边长。如果两条直角边分别增加\sqrt{2}cm，新三角形的周长是多少？

  设计意图：思维导图促进知识网络化。选做作业将运算与几何（勾股定理）、实际问题结合，提前渗透综合应用。

第三课时：融会贯通——二次根式运算的综合应用与拓展探究

  （一）综合应用，解决实际问题（预计时间：20分钟）

  项目任务：“校园微花园”设计中的数学。

  背景：学校有一块矩形空地，长为(4\sqrt{10}+2\sqrt{5})米，宽为(4\sqrt{10}-2\sqrt{5})米。

  任务1（计算面积）：请计算这块空地的面积，并化简。

  学生活动：发现可直接用长方形面积公式，并利用平方差公式简化计算：S=(4\sqrt{10}+2\sqrt{5})(4\sqrt{10}-2\sqrt{5})=(4\sqrt{10})^2-(2\sqrt{5})^2=160-20=140（平方米）。

  任务2（路径规划）：计划在花园内铺设两条互相垂直的等宽小径（如图，构成一个“十”字形），将花园分成四块种植区。小径的宽度为\sqrt{2}米。求小径的总面积。

  引导分析：小径面积=长条面积+宽条面积-重叠的正方形面积。即S_{径}=\sqrt{2}\times(4\sqrt{10}-2\sqrt{5})+\sqrt{2}\times(4\sqrt{10}+2\sqrt{5})-(\sqrt{2})^2。引导学生化简计算。

  任务3（材料估算）：若用边长为\sqrt{2}米的正方形地砖铺设小径，不考虑损耗，大约需要多少块砖？

  学生活动：用S_{径}÷(\sqrt{2})^2计算。

  设计意图：创设一个连贯的、贴近学生生活的复杂问题情境，将二次根式的乘法、加减法、混合运算、公式运用有机整合在一个实际问题中。学生在解决实际问题的过程中，综合运用数学知识，体会数学建模的过程（抽象-运算-解释），极大提升应用意识与解决问题的能力。

  核心素养聚焦：应用意识、运算能力、模型观念。

  （二）方法拓展，探究分母有理化（预计时间：12分钟）

  问题导入：在任务2中，我们得到了S_{径}=8\sqrt{20}-2。\sqrt{20}可以化简为2\sqrt{5}，所以结果是16\sqrt{5}-2。如果需要将这个结果进行近似计算（比如估算造价），16\sqrt{5}是多少？\sqrt{5}是一个无理数，计算不便。

  探究活动：

  1.认识需求：引出将分母中的根号化去的重要性——使形式更简洁，便于近似计算和比较大小。

  2.探究方法：

    例1：化简\frac{1}{\sqrt{2}}。提问：如何将分母的\sqrt{2}变成有理数2？引导：利用\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2，分子分母同乘\sqrt{2}，得\frac{\sqrt{2}}{2}。

    例2：化简\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}。学生尝试：可以先约分再有理化，也可以直接分子分母同乘\sqrt{6}。比较哪种更优。

    例3（难点）：化简\frac{2}{\sqrt{3}-1}。引导：分母是两项的和，如何有理化？联想平方差公式，分子分母同乘(\sqrt{3}+1)。

  3.归纳技巧：

    *单项二次根式分母：分子分母同乘该二次根式。

    *含两项的分母：利用平方差公式，找其有理化因式。

  设计意图：从实际计算需求自然引出分母有理化，使学生理解其必要性。通过不同难度的例子，引导学生探索并总结有理化的基本方法，将其作为一种重要的运算技巧进行掌握。

  核心素养聚焦：运算能力、创新意识。

  （三）思维挑战，浅尝复合根式（预计时间：8分钟）

  探究活动：观察与猜想

  1.计算：(\sqrt{2}+1)^2=?(\sqrt{2}-1)^2=?你发现了什么？（结果都是3\pm2\sqrt{2}）

  2.反过来思考：\sqrt{3+2\sqrt{2}}能否化简？能否将它写成一个完全平方的形式？设\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}(a>b>0)，两边平方尝试求解a，b。引导学生发现a+b=3，2\sqrt{ab}=2\sqrt{2}，从而解出a=2，b=1。

  3.结论：\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{2}+1。