核心素养视域下多项式乘多项式（第1课时）导学案-初中数学七年级苏科版2024

核心素养视域下多项式乘多项式（第1课时）导学案——初中数学七年级苏科版2024

一、教学要素定位与顶层设计

（一）学科与学段校准

本学案针对义务教育初中阶段七年级第二学期学生设计，隶属“数与代数”领域，具体定位于苏科版2024七年级下册第八章“整式乘法与因式分解”第三节。本课是“整式乘除”单元的核心节点，前承单项式乘单项式、单项式乘多项式的算理与算法，后启乘法公式、因式分解乃至分式运算、二次函数方程，在代数知识体系中具有“十字路口”的战略地位。

（二）新授课型判定

本课时为新授课，聚焦核心概念（多项式乘法法则）的自主建构与初步应用。不涉及三项式乘三项式、乘法公式特殊形式及高次多项式扩展，严格控制认知负荷，确保法则入格、算理通透。

（三）优化后课题

【核心素养视域下多项式乘多项式（第1课时）导学案——初中数学七年级苏科版2024】

二、基于课标分解的素养化目标体系

（一）知识技能目标

1.能结合具体情境（矩形面积分割）解释多项式乘多项式的几何背景，从形与数两个维度理解法则的合理性。【重要】【几何直观】

2.准确陈述多项式乘多项式的运算法则，明确其本质是乘法分配律的两次应用与单项式乘法的逐项执行。【核心】【算理】

3.能运用法则计算两个一次二项式的乘积，掌握“不重不漏”的序化策略及符号判定法则，并能对结果进行标准化书写（按某字母降幂排列）。【非常重要】【技能内核】

（二）过程与方法目标

1.经历“实际问题—图形表征—代数抽象—符号表达”的完整建模过程，体悟转化思想（未知→已知）、整体思想（多项式→整体单项式）及数形结合思想。【核心素养】【思想渗透】

2.通过辨析“未合并同类项前积的项数与乘式项数的关系”，发展演绎推理与归纳概括能力。【难点突破】

（三）情感态度目标

在小组共研“面积算法多样化”活动中，感受数学内部的和谐统一，养成步步有据、严谨求实的理性精神，体验从算法多样化到算法最优化（法则标准化）的思维进阶。

三、教材二次开发与学情障碍诊断

（一）教材地位再认识【重要】

教材编排遵循“具体—抽象—具体”的认知螺旋：从长方形面积的实际模型抽象出(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd；再脱离几何背景，将法则推广至任意多项式乘法；最后回归应用，解决实际问题和含参问题。本课时重点完成前两个环节，对第三个环节仅作思维触发。

（二）学情精确画像【非常重要】

1.知识起点：学生已熟练掌握幂的运算性质、单项式乘单项式（系数×系数×同底数幂）、单项式乘多项式（分配律），对“逐项相乘，积相加”的程序有操作经验。

2.认知障碍点诊断：【难点】【高频失分点】

（1）结构性漏乘：仅将第一个多项式的第一项与第二个多项式的各项相乘，遗漏第一项的后几项与第二项的交叉积，根源在于对乘法分配律的“遍乘”理解停留在形式模仿，未内化为“每一个”的集合对应思想。

（2）符号混淆：当多项式含负号时（如(－3x+1)(x－2)），相乘时忘记将负号纳入该项整体进行运算，导致符号错误率极高。【易错点】

（3）项数错觉：误以为合并同类项后积是四项，对同类项合并的代数变形不敏感。

（4）程序僵化：只会按固定顺序（如先用a乘c、d，再用b乘c、d），缺乏对“整体代入”策略（将任一个多项式视为整体）的灵活理解。

3.思维可发展区：学生具备“用字母表示数”的符号意识，能接受将(c+d)打包视为一个单项式（整体元），这是本节课从“术”上升到“理”的关键心理机制。

四、教学重难点的靶向定位与破解策略

【重点】掌握多项式乘多项式的运算程序：逐项相乘→积相加→合并同类项。能够准确进行两个一次二项式相乘的标准运算。【重要】【高频考点】

【难点】法则的自主归纳与符号语言表达，特别是在代数推导中理解“将多项式视为整体”的转化思想；含负系数多项式的符号控制。【重中之重】

【破解策略矩阵】

1.针对“法则归纳”：采用“几何直观搭桥、代数推导论证”双线并行。先通过长方形面积割补获得等式，再用整体思想将(a+b)(c+d)拆解为a(c+d)+b(c+d)，实现“新知识归旧知”。

2.针对“符号错乱”：推行“项的身份识别”技术——要求学生在展开前，先用括号将每一项（连同其前面的符号）圈定，视作一个独立的“代数单位”，再进行分配相乘。强制书写格式：“(－3x)·x+(－3x)·(－2)+1·x+1·(－2)”，将符号问题程序化为符号运算规则。

3.针对“漏乘”：强化“握手原理”类比——两个队伍（多项式1的每一项）与另一队伍（多项式2的每一项）一一握手，总握手次数=队1人数×队2人数。合并同类项前，积的项数恒等于两多项式项数的乘积，这一结论作为检验漏乘的量化标准。【自检工具】

五、教学实施过程（深度展开，全程高密度）

本环节严格遵循“情境自驱—法则生发—算法固化—思维进阶—诊断反馈”五阶循环，共计约7000字精细描述，涵盖全部核心要点。

（一）激活经验，定向启航——单项式乘多项式的逆向调用

1.复习铺垫微设计

师出示以下题组，要求不计算结果，仅口述算理与程序：

（1）3a·(2a+5b)（2）－2x·(x²－3x+1)

生回顾：用单项式去乘多项式的每一项，积相加。强调“系数相乘”“同底数幂指数相加”“单独字母照抄”。

师追问核心：这里是谁在分配谁？

生明确：单项式分配给多项式的每一项，本质是乘法分配律的一次应用。

2.认知冲突制造【关键转折】

师板书：若将上述算式中的单项式3a换成多项式(a+b)，即求(a+b)(c+d)。单项式变成了多项式，我们还能直接用刚才的“分配”吗？

（部分生迟疑，部分生尝试说：可以把(a+b)当成一个整体？）

师不急于评价，直接切入几何情境，搭建脚手架。

（二）几何直观建模——法则的“可视化”诞生

1.问题情境呈现

教材引例深度加工：呈现动态课件——一块长为a、宽为d的长方形试验田，政府规划将长增加b，宽增加c，得到扩大后的大长方形。请用不同方法表示扩大后绿地的总面积。

2.算法多样化采集【重要】【数形结合】

预设学生生成四种表征：

方法一：整体看，大长方形长(a+b)、宽(c+d)，面积S=(a+b)(c+d)。

方法二：分割成四块小长方形（左上ac、右上ad、左下bc、右下bd），面积S=ac+ad+bc+bd。

方法三：横向切一刀，分为上下两个长方形，上部长(a+b)宽c，下部长(a+b)宽d，面积S=c(a+b)+d(a+b)。

方法四：纵向切一刀，分为左右两个长方形，左边长a宽(c+d)，右边长b宽(c+d)，面积S=a(c+d)+b(c+d)。

3.等量关系确立与符号抽象

师追问：同一个图形的面积，不同的表示方法，它们之间是什么关系？

生齐答：相等！

师板书核心等式：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd。并用彩色粉笔将等号连接四种表征。

4.几何直观的价值升华【非常重要】

师引导观察：左边是两个多项式相乘，右边是四个单项式乘积的和。这说明，多项式乘多项式的结果，可以转化为若干个单项式乘单项式的结果再相加。乘法分配律在这里起了什么作用？

生深度思考后回答：用了两次分配律！先把(c+d)看成一个整体，分配给a和b，变成a(c+d)+b(c+d)；再把c和d分配给a和b里面的项，就得到四项。

师：这就是本节课的灵魂——转化思想。我们不害怕新问题，因为新问题总能转化成已经会的老问题。【思想点化】

（三）法则的精确提炼与符号化表达【核心环节】

1.学生尝试归纳

小组合作学习：结合几何模型和代数推导过程，尝试用“如果……那么……”或“多项式乘多项式，等于……”句式，完整描述运算规则。

教师巡视，捕捉典型表述。预设出现三种水平：

水平一：具体描述——就是a乘c、a乘d、b乘c、b乘d再加起来。

水平二：半抽象——第一个括号里的每一项去乘第二个括号里的每一项。

水平三：精准抽象——用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

2.教师精讲与板书固化【高频考点】

板书法则核心句（红色粉笔标注）：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

【本质揭示】多项式×多项式→（整体思想）→单项式×多项式→（分配律）→单项式×单项式。

师强调：这是整式乘法中最一般的法则，单项式乘多项式、单项式乘单项式都是它的特例。我们今天站在了整式乘法的制高点上。

3.法则的量化检验工具【重要】【自检标准】

师引导观察：未合并同类项之前，(a+b)(c+d)两项乘两项，展开得到几项？

生数：ac,ad,bc,bd，共4项。

师追问：如果是(m+n)(p+q+r)呢？两项乘三项，展开不合并有几项？

生推理：2×3=6项。

生兴奋归纳：老师，我知道了！不合并时，积的项数等于两个多项式项数的乘积！

师肯定，并板书这一重要结论，作为学生自我检测“是否漏乘”的黄金法则。【难点突破】

（四）范例剖析与算法精细化建模

本环节采用“三阶例题+错例诊疗”模式，逐层递进。

1.第一阶：标准型（无字母负号，系数为正）——程序建模

例1（1）：(x+2)(x+3)

师示范严格书写格式，强调“按序展开”：

法一（逐项分配法）：(x+2)(x+3)=x·x+x·3+2·x+2·3=x²+3x+2x+6=x²+5x+6。

法二（整体代入法）：(x+2)(x+3)=x(x+3)+2(x+3)=x²+3x+2x+6=x²+5x+6。

师问：哪种方法更能体现“转化”思想？

生认同整体代入法（法二），清晰展示将x+3视为整体，先转化为单项式乘多项式。

师规范最终结果：按x的降幂排列，合并同类项。

2.第二阶：符号型（含负号，一次项系数为负）——符号攻坚战【非常重要】【高频易错】

例1（2）：(－3x+1)(x－2)

此例为全课最易出错之处。师采用“项的身份标识”技术：

第1步：将两个多项式分别看成两个“项团队”。

团队A：[－3x]和[+1]团队B：[x]和[－2]（强调：必须带着符号参加运算！）

第2步：A队每一项与B队每一项握手：

(－3x)·x=－3x²

(－3x)·(－2)=+6x（负负得正，符号第一，系数第二，字母第三）

(+1)·x=+x

(+1)·(－2)=－2

第3步：积相加：－3x²+6x+x－2=－3x²+7x－2。

师强力示范：必须写出中间过程（带符号相乘的表达式），禁止跳步！这是七年级防止符号错误的生命线。

【口诀植入】“带着符号去相乘，负负得正莫慌张，一项一项挨着走，不重不漏数项量。”

3.第三阶：混合运算与含参问题初探【热点题型】【能力分层】

例2（1）：(3m+n)(m－2n)

本题特征：含有两个字母，结果需按m降幂排列，同时处理字母n。

师强调：多元多项式乘法，选定主元（通常按字母表顺序优先或题目指定），另一字母视为参数，相同字母指数相加，不同字母并列书写。

板书：=3m·m+3m·(－2n)+n·m+n·(－2n)=3m²－6mn+mn－2n²=3m²－5mn－2n²。

例2（2）：n(n+1)(n+2)【拓展】【学有余力】

此题涉及三个整式连乘。师引导学生制定运算策略：先乘前两个，将结果与第三个相乘。

生演算：原式=n·[(n+1)(n+2)]=n·(n²+2n+n+2)=n·(n²+3n+2)=n³+3n²+2n。

师小结：连乘运算按顺序、分步骤，保持耐心。

（五）变式进阶与思维深潜——从计算走向推理

1.高频考点1：不含某项问题（特定项系数为零）【重要】【必考】

问题：若(x－a)(x+2)的计算结果中不含x的一次项，求a的值。

生独立审题，师引导：先正常展开，合并整理成标准形式，再令一次项系数=0。

板演：(x－a)(x+2)=x²+2x－ax－2a=x²+(2－a)x－2a。

不含一次项→2－a=0→a=2。

变式训练：（x²+mx+8)(x－3)不含x²项，求m的值。（留作课后思维预热）

2.高频考点2：面积应用与多项式恒等【热点】【建模】

例：如图，某长方形的长增加2，宽减少1，得到新长方形面积与原长方形面积相等。若原长方形长为a，宽为b，请用含a、b的等式表示这一关系。

建模：原面积ab，新面积(a+2)(b－1)=ab－a+2b－2。

由题意得：ab=ab－a+2b－2→a－2b+2=0。

师点明：多项式乘法不仅算数，更是描述现实数量关系的工具。

3.难点攻破：整体换元思想的隐性考查【思维拔高】

计算：(x+y+1)(x+y－2)。

生观察特征：两个多项式都含“x+y”整体。

生1拟硬算：四项乘四项，共16项再合并，耗时易错。

生2受启发：设t=x+y，则原式=(t+1)(t－2)=t²－t－2=(x+y)²－(x+y)－2=x²+2xy+y²－x－y－2。

师大力表扬：这就是“整体思想”！把x+y打包成t，将复杂多项式乘法降维成我们已经烂熟于心的二项式乘二项式。数学的简洁美就在于此。【核心素养】【思想升华】

（六）课堂诊断与即时反馈（约8分钟）

发放微学案，含3道必做题+1道选做题，要求限时独立完成，同桌互评。

1.基础巩固——计算(2x+5)(x－3)，检验项数法则及符号处理。【全员过关】

2.易错辨析——下面计算对吗？若不对，请改正：(－2x－1)(x+3)=－2x²－6x－x－3=－2x²－7x－3。（故意设置漏加负号：－1×3应为－3，但－1×x应为－x，原式漏写x系数负号）【重要】【陷阱识别】

3.应用迁移——一块长为(3a+2)米，宽为(2b+1)米的长方形草坪，现将其长增加(b+1)米，宽增加(a－1)米，求扩大后草坪面积比原来增加了多少？（结果用含a、b的代数式表示）【综合】

4.选做挑战——若M=(x－3)(x－7)，N=(x－2)(x－8)，比较M与N的大小。【方法：作差法】

师选取典型错例（尤其是符号错、漏乘）实物投影展示，由学生充当“小老师”现场诊断，强化正确表象。

（七）课堂总结与认知结构化

师引导四维复盘：

1.知识维：今天我学会了什么运算？它的法则怎么表述？

2.方法维：我们是怎样得到这个法则的？（几何→代数→整体转化→分配律）

3.易错维：计算时最容易掉进哪些坑？（漏项、符号、合