内科大材料力学教案第11讲 平面图形的几何性质（Ⅱ）_第1页
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第十一讲材料力学教案PAGE2PAGE1第11讲教学方案——平面图形的几何性质（Ⅱ）基本内容平行移轴公式、转轴公式、主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性轴及形心主惯性矩。教学目的熟练掌握某些几何量在不同坐标系中的转换公式——平行移轴公式、转轴公式的应用。掌握主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性轴及形心主惯性矩的定义及计算方法。掌握组合图形几何性质的计算方法。重点、难点本节重点：平行移轴公式和转轴公式。本节难点：组合图形几何性质的计算。

§Ⅰ-3平行移轴公式由于同一平面图形对于相互平行的两对直角坐标轴的惯性矩或惯性积并不相同，如果其中一对轴是图形的形心轴时，如图Ⅰ-7所示，可得到如下平行移轴公式（Ⅰ-13）简单证明之：其中为图形对形心轴的静矩，其值应等于零，则得同理可证（I-13）中的其它两式。结论：同一平面内对所有相互平行的坐标轴的惯性矩，对形心轴的最小。在使用惯性积移轴公式时应注意a,b的正负号。例Ⅰ-5由两个8号槽钢和两块cm2钢板组成的截面，如图Ⅰ-8，求，。解：（1）计算根据平行移轴公式，求得每一钢板对轴的惯性矩为cm4从型钢表中查得每一槽钢对轴的惯性矩为cm4则该组合截面对轴的惯性矩为cm4（2）计算每一钢板对轴的惯性矩为cm4从型钢表中查得，每一槽钢的形心到外侧边缘的距离为1.43cm，则该形心与轴的距离为cm。又从型钢表中查得槽钢对其形心轴z的惯性矩及面积A分别为cm4，cm2。故由平行轴公式得每一槽钢对轴的惯性矩为cm4最终可得到整个组合截面对轴的惯性矩为§Ⅰ-4转轴公式任意平面图形（如图Ⅰ-9）对轴和轴的惯性矩和惯性积，可由式（Ⅰ-5）—（Ⅰ-9）求得，若将坐标轴y,z绕坐标原点点旋转角，且以逆时针转角为正，则新旧坐标轴之间应有如下关系将此关系代入惯性矩及惯性积的定义式，则可得相应量的新、旧转换关系，即转轴公式cm4（Ⅰ-14）（Ⅰ-15）§Ⅰ-5主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性轴及形心主惯性矩若令是惯性矩为极值时的方位角，则由条件，可得（Ⅰ-16）由式（Ⅰ-16）可以求出和以确定一对主惯性轴和。由（I-16）式求出sin2,cos2后代回式（I-14）与（I-15）即可得到惯性矩得两个极值，称主惯性轴。主惯性矩的计算公式：而此时惯性积。因此也不可以说：图形对一对正交的坐标轴的惯性积等于零，这一对坐标轴称为主（惯性）轴。由（I-14）式尚可证明（I-18）即通过同一坐标原点的任意一对直角坐标轴的惯性矩之和为一常量，因而两个主惯性矩中必然一个为极大值，另一个为极小值。若主惯性轴通过形心，则称形心主惯性轴，相互主惯性矩称形心主惯性矩。例Ⅰ-6确定图形的形心主惯性轴位置，并计算形心主惯性矩(如图I-10)。解：（1）首先确定图形的形心。利用平行移轴公式分别求出各矩形对轴和轴的惯性矩和惯性积矩形I矩形Ⅱ：cm4cm4矩形Ⅲ：cm4cm4（Ya,b与分图形I均反号）整个图形对轴和轴

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