内科大材料力学教案第33讲 能量法（Ⅱ）

第三十三讲材料力学教案第33讲教学方案——能量法（Ⅱ）基本内容功的互等定理与位移互等定理。卡氏定理。教学目的1.掌握功的互等定理的推导方法及其应用。2.掌握位移互等定理的推导方法及其应用。3.掌握卡氏第一定理的推导方法及其应用。4.掌握卡氏第二定理的推导方法及其应用。5．了解虚功原理其应用。重点、难点1.重点掌握功的互等定理的推导方法及其应用。2.重点掌握位移互等定理的推导方法及其应用。3.要求掌握卡氏第二定理的推导方法及其应用。4.难点之一是如何正确应用卡氏第二定理。5．难点之二是在应用卡氏第二定理时，虚载荷法的应用。教学安排本次教学计划学时：2学时。课堂讨论：1.功的互等定理与位移互等定理之间的关系。2.卡氏第一定理与卡氏第二定理有什么关系，在应用上有什么不同？3.虚功原理有什么用途？。4．卡氏定理与莫尔积分有什么关系？在应用时各有什么限制？

§13-4互等定理1．功互等定理对于线弹性体（此物体可以代表梁，桁架，框架或其它类型结构），第一组力在第二组力引起的位移上所做的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所做的功，这就是功互等定理。为证明上述定理，考察如图11-11两组力P，Q作用于线弹性物体所做的功，第一组力有m个载荷P1，P2，…，Pm，第二组力有n个载荷Q1，Q2，…，Qn。第一组力P引起相应位移为，引起第二组力Q作用点及其方向的位移为。第二组力Q引起相应位移为，引起第一组力P作用点及其方向的位移为。若先将第一组力Pi（i=1,2,…,m）单独作用，这组力引起其作用点沿该组力作用方向位移为(i=1,2,…,m)（称为相应位移，见图11-11（a）），其所做的功为：随后作用上第二组力Qj（j=1,2,…,n）（图11-11（b）），此时Qj在其相应位移上做功应为。与此同时，因为Pi力已存在，且已达到终值，其值不变为常力，Pi在Qj产生Pi作用点、Pi方向上的位移做功为故先加P后加Q时做功总和为：将加载次序反过来，先加力Q后加力P，Qj在相应位移上做功为：再加Pi(i=1,2,…,m)力，Pi在其相应位移做功为：同时物体上已作用有Qj且其值不变，Qj在由于Pi引起的Qj作用点及方向的位移上做功为：对此加载顺序，两组力所做的总功为：由于变形能只决定于力与位移的最终值，与加力次序无关，故必有U1=U2，从而得功互等定理的表达式为：=（13-18）2．位移互等定理利用（11-18），并设两组力各只有一个力Pi、Qj作用于同一物体，则有：若，则有若将引起相应位移写成，将引起的相应于的位移写成，则上式又可写成常用的公式（13-19）此式即为位移互等定理：Pi作用点沿Pi方向由于而引起的位移，等于作用点沿方向由于Pi引起的位移。上述互等定理中的力与位移都应理解为广义的，如果力换成力偶，则相应的位移应是转角位移，其推导不变。例题13-4装有尾顶针的车削工件可简化成超静定梁如图11-12，试用互等定理求解。解：解除支座B，把工件看成悬臂梁，将切削力P及顶针反力RB作为第一组力，设想在同一悬臂梁右端作用单位力X=1，作为第二组力。在X=1作用下悬臂梁上的P及RB作用点的相应位移分别为（图11-12（b））,第一组力在第二组力引起的位移上所做的功为：第一组力作用下，其右端B实际位移为零，所以第二组力在第一组力引起的位移上所做的功等于零。由功互等定理有：由此解得：§13-5卡氏定理1．卡氏第一定理弹性杆件的应变能U()对于杆件上与某一载荷相应的位移（i=1,2,…,n）的变化率等于该载荷的值，即：（13-20）以图11-13简支梁为例，其上作用有载荷P1，P2，…，Pn（广义力），其相应位移为δ1，δ2，…，δn（广义位移）。假定载荷Pi（i=1,2,…,n）同时作用，且由同一比例从零加载到终值Pi（i=1,2,…,n）。结构的变形能等于载荷作用期间所做的功，通过材料的载荷—位移关系，每个力Pi可表成为其相应位移的函数，通过积分求得的变形能是位移δ的函数，即如果此时某—位移有一增量，其余位移保持不变，则此时变形能的增量dU为:当位移增大时，相应力Pi将做功，而其它任何力都不做功，因为其它的位移没有改变，∴，根据（13-1）故有：卡氏第一定理还可通过虚位移原理导出，不受线弹性材料的限制，可用于非线性弹性材料杆件或结构。2．卡氏第二定理线弹性杆件或杆系的应变能U（）对于作用在该杆件或杆系上的某一载荷的变化率等于该载荷相应的位移，即：（13-21）弹性结构，在外力P1，P2，…，Pi，…作用下，其相应的位移为δ1，δ2，…，δi，…，结构的应变能是P1，P2，…，Pi，…的函数，即设诸力中只有Pi有一个增量，其余不变，则相应产生位移增量，，…，，…，此时功的增量，亦即应变能增量为（略去高阶小量）。将原作用力P1，P2，…，Pi，…作为第一组力，把看作第二组力，则由功互等定理，得：所以有：或若趋近于零，则：这就是卡氏第二定理表达式。对于横力弯曲，应变能用（13-12），用卡氏定理，有：（13-21a）对于桁架、拉、压杆，应用（13-6）（13-21b）例题13-5图11-14外伸梁抗弯刚度为EI，试求外伸端C的挠度fC和左端截面的转角θA。解：外伸端C作用有集中力P，截面A作用有集中力偶矩m，根据卡氏第二定理有：弯矩应分段表达：AB段：BC段：，，则：这里fC与θA皆为正号，表示它们的方向分别与P和m作用方向相同，而如果是负号，则表示与之方向相反。用卡氏定理求结构某处的位移时，该处需要有与所求位移相应的载荷，如果计算某处位移，而该处没有与此位移相应的载荷，则可采用附加力法（见例11-6）。例题13-6线弹性材料悬臂梁，自由端A作用有集中力（图11-15），若P、l、EI已知，试求：1）加力点A的位移δA；2）非加力点B的位移δB。解：（1）求加力点A的位移，用卡氏第二定理：，代入上式得：（2）求非加力点B的位移时，可在B点附加力,仍用，有附加力后弯矩为：AB段：，BC段：，∴因为实际上B处并无力作用，故应令上式中的才是实际情况下B处位移，故由以上计算可见，在加附加力计算非加力点位移时，只要在计算时考虑附加力，而在M(x)中，可令，则积分计算可以简化。

§13-6虚功原理虚位移指的是弹性体（或结构系）的附加的满足约束条件及连续条件的无限小可能位移。所谓虚位移的“虚”字表示它可以与真实的受力结构的变形而产生的真实位移无关，而可能由于其它原因（如温度变化，或其它外力系，或是其它干扰）造成的满足位移约束、连续条件的几何可能位移。对于虚位移要求是微小位移，即要求在产生虚位移过程中不改变原受力平衡体的力的作用方向与大小，亦即受力平衡体平衡状态不因产生虚位移而改变。真实力在虚位移上做的功称为虚功。虚功原理又称虚位移原理：如果给在载荷系作用下处于平衡的可变形结构以微小虚位移，则外力系在虚位移上所做的虚功等于内力在相应虚变形上所做的虚功，即：（13-22a）虚功原理可以用梁的例子给出其表达式和原理的证明：图11-16，11-17（a）梁受外力P1，P2，…，Pn及分布载荷q(x)作用而处于平衡。在给此梁任一虚位移时，所有载荷作用点均有沿其作用方向的虚位移，，…，，，于是外力在相应虚位移上的总虚功为：另一方面，梁内力对于虚位移所做的虚功，可从梁中取出任一微段dx（图11-17（b））来研究，微段左、右截面上内力有：剪力Q、Q+dQ，弯矩M、M+dM，轴力N、N+dN，扭矩T、T+dT，对微段，这些力可看作是外力。微段的虚位移可分为刚体虚位移和变形虚位移，在载荷作用下梁所有微段都会发生变形，所研究微段因其余各微段变形而发生虚位移，就是此微段的刚体虚位移，而由于该微段本身变形所引起的虚位移称为变形虚位移。由于微段处于平衡状态，由质点系虚位移原理知，所有外力对于该微段的刚体虚位移所做的