内科大材料力学教案第36讲 静不定系统（Ⅱ）

第三十六讲材料力学教案第36讲教学方案——静不定系统（Ⅱ）基本内容对称条件的利用。连续梁与三弯矩方程（简介）。教学目的1.了解对称结构的对称变形与反对称变形基本概念。2.掌握对称结构的对称变形与反对称变形性质的利用。3.掌握对于某些载荷既非对称，也非反对称，但可将它们化成对称和反对称两种情况的叠加，以使问题简化。4.初步掌握连续梁静不定次数的判定、三弯矩方程组的建立及其解法。重点、难点重点掌握对称结构的对称变形与反对称变形性质的利用。重点掌握如何将非对称载荷作用下的静不定问题化简计算。难点是建立正确的简化方案。解连续梁问题的难点是正确建立三弯矩方程组、及方程中各个系数的计算。教学安排本次教学计划学时：2学时。课堂讨论：1.如何建立正确的简化方案，将某些载荷既非对称，也非反对称，但可将它们化成对称和反对称两种情况的叠加，以使问题简化2.在解连续梁问题中如何处理边界条件？3.在解连续梁问题中如何应用图乘法？

§14-3对称及反对称性质的利用1．对称结构的对称变形与反对称变形结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为对称结构（图12-8a）。当对称结构受力也对称于结构对称轴，则此结构将产生对称变形（图12-8b）。如外力反对称于结构对称轴，则结构将产生反对称变形（图12-8c）。正确利用对称、反对称性质，则可推知某些未知量，可大大简化计算过程：如对称变形对称截面上（图12-8b），反对称内力等于零或已知；反对称变形（图12-8c）反对称截面上，对称内力为零或已知。2．对称变形以图12-9（a）对称变形为例，切开结构对称截面，此为三次超静定，应有三个多余未知力，即轴力，弯矩与剪力。可证明其反对称内力应为零，正则方程为：（a）（b）（c）用图乘法计算及时，所要用的载荷弯矩图以及，，时的弯矩图分别见图12-9、（c）、（d）、（e）、（f），其中，，均对称于对称轴，而反对称于对称轴。由莫尔积分知对称函数与反对称函数相乘在区间积分应为零，即有：，，将此结果代入（c），则必有。3．反对称变形以图12-8（c）为例，在对称面切开后，其多余未知力也是，与，同上类似证明，其对称内力与应等于零，只需一个协调方程，即可解出，即有，而正则方程为（a）（b）（c）由（a）、（b）得，由（c）得。4．对于某些载荷既非对称，也非反对称，但可将它们化为对称和反对称两种情况的叠加。如图12-10，12-11。例14-3半径为的圆环，直径CD方向受一对力（图12-12a）,求圆环内弯矩。解：（1）超静定次数：封闭圆环为三次超静定。在A处截开，则有三个多余未知力，弯矩，轴力，剪力（图12-12b）。（2）对称性：直径AB为一对称轴，对称截面A上剪力应为零，对称截面B上弯矩和轴力与截面A上相等。由竖直方向力的平衡可得。故只有弯矩未知（图c）。（3）选半圆环为静定基，作用于半圆环的力如图（c），则协调条件应是A或B截面在及弯矩作用下转角应为零（由对称性可知），所以有（a）（4），计算静定基上施加外力P如图（d）及单位力偶如图（e），用莫尔法求与。单位力偶引起弯矩：，外力引起弯矩：，根据对称性，可只取1/4圆环进行计算，故有（5）求未知力：由（a）式得（6）圆环内弯矩为：§14-4连续梁及三弯矩方程1．连续梁及其静不定次数为减小跨度很大直梁的弯曲变形和应力，常在其中间安置若干中间支座（图12-13（a）），在建筑、桥梁以及机械中常见的这类结构称为连续梁。撤去中间支座，该梁是两端铰支的静定梁，因此中间支座就是其多余约束，有多少个中间支座，就有多少个多余约束，中间支座数就是连续梁的超静定次数。2．三弯矩方程连续梁是静不定结构，静定基可有多种选择，如果选撤去中间支座为静定基，则因每个支座反力将对静定梁的每个中间支座位置上的位移有影响，因此正则方程中每个方程都将包含多余约束反力，使计算非常繁琐。如果设想将每个中间支座上的梁切开（图12-13（b）），并装上铰链，将连续梁变成若干个简支梁，每个简支梁都是一个静定基，这相当于把每个支座上梁的内约束解除，即将其内力弯矩，，...，，作为多余约束力（图12-13（b）），则每个支座上方的铰链两侧截面上需加上大小相等、方向相反的一对力偶矩，与其相应的位移是两侧截面的相对转角。于是多余约束处的变形协调条件是梁中间支座处两侧截面的相对转角为零。如对中间任一支座来说，其变形协调条件为（图12-14（a））（14-5）方程（12-5）中只涉及三个未知量，，。，，及可用莫尔积分来求：（1）求：静定基上只作用外载荷时（图12-14（b）），跨度上弯矩图为，跨度上弯矩图为（图12-14（c））。当时（图12-14（e）），跨度和内弯矩分别为，由莫尔积分得式中是外载单独作用下，跨度内弯矩图的微面积（图12-14（c）），而是弯矩图面积对左侧的静矩，如以表示跨度内弯矩图面积的形心到左端的距离，则。同理表示外载荷单独作用下，跨度内弯矩图面积的形心到右端的距离，则。于是有式中第一项可看作是跨度右端按逆时针方向的转角，第二项看作跨度按顺时针方向的转角。两项和就是铰链两侧截面在外载荷单独作用下的相对转角。（2），，的计算当支座铰链处作用有时，其弯矩图如图12-14（e），用莫尔积分有：而，也可类似求得（利用图（d）与（e）以及（f）与（e）），（3）三弯矩方程将，，，代入（12-5）得三弯矩方程（14-6）其中代表任一支座，如，则可得到个方程联立，解个中间支座多余力，，....,，此个联立方程中每个方程只涉及三个多余力，求解比较方便。例14-4左端为固定端，右端为自由端的连续梁受力作用如图12-15所示，其抗弯刚度为，试用三弯矩方程求解B、C、D处的弯矩。解：为