2026年初中数学中考复习：几何综合题

微专题46几何综合题

类型一动点型探究

1.综合探究

已知点E是边长为2的正方形ABC。内部一个动点，始终保持NAEO=90°.

【初步探究】

(1)如图①,延长成交边8C于点尸•当点尸是座的中点时'求影的值;

【深入探究】

(2)如图②，连接C石并延长交边4。于点M.当点M是AD的中点时，求器的值.

AE

第1题图

2.综合运用

如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点C在原点。处，已知点8(8,0),。(0,6),

连接AC,E是CQ上一动点(不与点C,。重合)，过点E作E/〃AC交4。于点F,过点E

作EG上EF交BC于点G,连接尸G.

(1)若DE=CG,求证：bDEF卷ACGE：

(2)设。E=a,用含。的式子表示△£尸G的面积，并求出△EFG面积的最大值.

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3.己知NO4B=90°,N4BO=30°,斜边0B=4,将RtZkOAB绕点。顺时针

旋转60°,如图①，连接BC.

（1）填空：ZOBC=°；

（2）如图①，连接AC,作。P_LAC,垂足为P,求。尸的长度；

（3）如图②，点历，N同时从点。出发，在aOCB边上运动，M沿O—C—B路径匀速运动,

N沿。-B-C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位做,

点N的运动速度为1单仞秒.设运动时间为x秒，△OWN的面积为户求当x为何值时），取

得最大值？最大值为多少？

第3题图

类型二动线型探究

1.（2024佛山一模节选）综合探究

如图，点B,E是射线AQ上的动点，以为边在射线AQ上方作正方形ABC。，连接。E,

作。E的垂直平分线尸G,垂足为，，EG分别与直线BC,AD,QC交于点M,F,G,连接

EG交直线8C于点K.

（1）设A8=4,当£恰好是AB的中点时，求DF的长；

（2）若DG=DE,猜想HG与AE的数量关系，并证明.

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2.综合探究

如图①，在平面直角坐标系中，菱形QA8C的顶点A在x轴的正半轴上，点A(5,0),C(-

3,4),直线/：(―5«0)交OA边于点D,交边于点E,点人与点“关于直

线/对称，连接AD,A'E.

(1)当，的值为多少时，E为A3的中点；(直接写出结果，不要求写出解答过程)

(2)如图②，设4A'DE的边AD和A'E分别与BC交于点M,N.记四边形DENM的面积为S,

求S关于/的函数表达式，并求出/的取值范围.

3.(2024佛山南海区二模)综合探究

如图，在平面直角坐标系中，点。为原点，口ABCO的顶点4,。在x轴上，A在y轴上，OA

=OC=2OB=4,直线)，=x+/(—2WW4)分别与x轴，)，轴，线段AD,直线AB交于点E,

F,P,Q.

(1)当1=1时，求证：AP=DP；

(2)探究线段AP,PQ之间的数量关系，并说明理由；

(3)在x轴上是否存在点M,使得/PMQ=90°,且以点M,P,。为顶点的三角形与△A08

相似，若存在，请求出此时，的值以及点M的坐标；若不存在，请说明理由.

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类型三动面型探究

1.如图①，在平面直角坐标系中，。为原点，矩形04BC的顶点A(4,0),C(0,3).

以点。为中心，逆时针旋转矩形OA5C,得到矩形。ARC,点A,B,。的对应点分别为4,

C：

(1)如图②，当点C落在AC上时(不与点。重合)，求点方的坐标；

(2)如图③，。人，交8。于点。，当。8恰好平分/AOA时，求8。的长.

第1题图

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2.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，菱形Q4BC的顶点A(4,0),C(2,2次)，矩

形OOE/的顶点。(0,V3),F(-4,0).

(1)如图①，点七的坐标为，点3的坐标为；

(2)将矩形OOEb沿水平方向向右平移，得到矩形O7/E户，，点O,D,E,b的对应点分别

为()\D，,E'F'.设()()'=3矩形O7TE户与菱形048。重叠部分的面积为S.当边OD与AB

相交于点G,边OC分别与QF,E尸相交于点“，M,且矩形ODEF与菱形OABC重叠部

分为六边形时，试用含I的式子表示5,并直接写出/的取值范围.

3.(2024广东22题13分)【知识技能】

(1)如图①，在△ABC中，。七是△ABC的中位线.连接CQ,将△AQC绕点。按逆时针方向

旋转，得到DC.当点£的对应点£与点A重合时，求证：AB=BC.

【数学理解】

(2)如图②，在△A8C中(AB<BC),OE是△A8C的中位线.连接CD,将△ADC绕点。

按逆时针方向旋转，得到△A'DC\连接AB,CC,作仆A5D的中线DF.求证:2DF・CD=BDCC：

【拓展探索】

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（3）如图③，在△ABC中，tan点。在AB上，AO=学过点。作DEJ_8C,垂足为E,

BE=3,CE=芋在四边形AOEC内是否存在点G,使得N4GO+NCGE=180。？若存在，请

*3

给出证明；若不存在，请说明理由.

第3题图

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类型一动点型探究

1.解：（1）如解图①，•・•在正方形A3CO中，ZAED=ZADC=ZC=90°,AB=BC=CD

AD=2,

.*.Z2=90°-Z3=Z1,

AtanZ2=tanZ1,

.DECFCF

**AECDCB'

•・•尸是BC的中点,

•,•DE_CF_1一;

AECB2

第1题解图①

(2)如解图②，延长。£交边8c于点尸，

・・,加是AO的中点，ZAED=90°,

：.AM=MD=ME=^AD=1,

AZ2=Z1,

在Rs"力，中，MC=JM/)2+CQ2=JM+22=店.

：.CE=MC-ME=y/5~[.

・・•在正方形a8c。中，AD//BC,

AZ2=Z4,

VZ1=Z3,

・•・Z4=Z3,

：.CF=CE=y/5~\,

与(1)同理可得，竿=*=与.

第1题解图②

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2.(1)证明：・・•四边形A3CD是矩形,

A/ADC=ZDCB=9Q°,

VEG±EF,：.ZFEG=90°,

.,.ZCEG4-ZFED=90°,

■:/DFE+NFED=90"，

:・/DFE=/CEG,

•；DE=CG,/FDE=/ECG,

・•・△DEF^ACGE(AAS)；

(2)解：VB(8,0),0(0,6),

；・CB=8,CD=6,

•・•四边形ABC。是矩形，

：.AD=BC=St

在Rt△人。。中，AC=J力。2+。。2=10

,:EFISC,

.".ADEF^^DCA

,DE_EFEF

••,即公解得EF=-a.

DCCA103

由(1)知ND/E=NCEG,

•:EF//A3

；./DFE=NDAC,

・・・/CEG=NQAC,

V^ECG=ZADCf

.*.△CEGs^DAC,

吟嚏，即誓解得FG=*6-〃),

V--24<0,0<«<6,

・••当”=3时，△EFG的面积有最大值，最大值为?

O

3.ft?：(1)60；

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【解法提示】由旋转的性质可知，O3=OC,N3OC=6()c,・・・△05C是等边三角形，・・・N。5c

=60°.

(2)在RsQAB中，08=4,ZABO=30°,

・・・/AOB=60。,OA=gOB=2,AB=OBcos30°=2遥,

由旋转的性质可知,OB=OC,ZBOC=60°,

・・・A08C是等边三角形，

ZAOB=ZOBC=60°,8c=08=4,

：.OA//BC,A3即为△AOC的高，

J5△AOC=-AOAB=-X2X2V3=2V3,

22

・・・/ABC=NAB0+/08C=90°,

22

：.AC=JAB2+BC2=J(2V3)+4=2V7,

OP±AC,

:.SAAOC=/COP,即：X2"OP=2V5,

解得0尸=字；

一题多解法

由旋转的性质可知，OB=OC,

/BOC=60°,

・・・△08c为等边三角形，

：・BC=OB=4,ZOBC=60°,

VZABO=30°,

：.OA=-OB=2AB=—OB=2y/3NA5c=90°,

2f2t

2?

：.BC//OAtAC=Jz4Z?+Z?C=2V7,

：.ZPAO=ZACBf

•・,sinNACB="=迤，

AC7

：

.sinZPAO=sinZACB=—7,

.0P_V21

••0A7,

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：.0P寿0A差•,

⑶根据题意得,M运动到点C时，所需时间为秒),N运动到点8时,所需时间为：4(秒),

当M,N相遇时，所需时间为—=§(秒)，

\JL•JL・DJO

・,・分三种情况讨论：

①当0<后?时，点M在OC上，点N在OZT匕如解图①，过点N作NE_LOC于点E,

则NE=OMsin600=*,

：.y=^OMNE=^X1.5xX等二*2,

V—X),

8

・••当x=5时，y般大=¥x($2=苧;

②当3Vx<4时，点〃在8C上，点N在。B上，如解图②，

BM=8一|x,过点M作MF_LOB于点F,

：.MF=BMsin60°=y(8-|v),

・•・)WOM=1当8—|x)=2恁一喉2,

V--<0,

8

・••当"=T=一怎寸时，

8

y毂大=2bX|一手X(3=竽；

③当时，点M,N都在8c上，如解图③，

MN=\2~-2x,

过点。作。GJ_BC于点G,

则OG=AB=2W,

.*.j=|MMOG=1(12-|x)-2V3=-^x4-12V3,

・.・一辿<(),

2

•••当x=4时，y做大=2yT^.

综上所述，当x=［时，)，取得最大值，最大值为学.

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第3题解图

类型二动线型探究

1.解：（1）如解图①,连接EF,

在正方形ABCD中，AB=AD=4f

,・，E是A3中点，

:.AE=EB=2,

•・•F为线段DE垂直平分线上一点，

：.DF=EF,

设/）尸=弟则AF=4—x,

在Rtzx/W龙中，根据勾股定理得，（4-x）2+22=f,

解得ADF=1；

(2)”G=V5AE.证明如下：

YG/7垂直平分。E,

:・DG=GE,NOHG=9()°,

*：DG=DE,

:・DG=DE=EG,

•••△QGE是等边三角形，

：.ZGDE=60°,

•・•正方形ABC。中，NCDA=NDAB=90°,

；・/ADE=NDGH=30°,

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：.AE=-DE=DH,

2

•：/DAE=NDHG=90°,

:.XADEQAHGD,

:・XD=HG,

在RlZkAOE中，AD=V3AE,

：.HG=y^AF.

2.解：(1"=一|时，E为AB的中点；

【解法提示】VA(5,0),四边形O48C是菱形，・・・Q4=BC=5,OA//BC,VC(-3,4),AB(2,

4).,；E为A8中点，・・・玛,2),将点E代入y=x+＞中,得/，=2,解得—一1

(2)如解图，记交y轴于点H,

・・,四边形。45。为菱形,A(5,0),C(一3,4),

・・・/0AE=NC,BC//OA,0A=8C=5,CH=3,0"=4,

・•・在中，

RSCOHtanC=CH—=3",

由对称的性质，得：

AD=AQ,ZA'=Z0AE=ZC,/ADE=NA'DE,.tanA'=-3.

由题意可知，ZADE=45°,

A/A'DE=ZADE=45°,

：.ZA'DA=90a,

••・/A'MN=90°,DM=0H=4.

在丫=工+，中，令y=0,得x+/=0,解得x=—/,OD=—t,AO=5+/.

z

VDM=4,tanA="3,

：.A'M=A'D-DM=AD~DM=1+/,

・••在RQA'MN中，MN=A'Mtan4'=g(l+0，

2

JSAA'MN=^A1+/).

如解图，过点E作EKJLOA于点K,

设QK=x,则AK=5+r-x.

•；/EDK=45°,ZEKD=90°,

**•EK=DK=Xt

在RSAEK中，VtanA=—=-,解得

AK35+t-X37

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2

・•・SAADE=5AADE=/D-EK=：X(5+1)X=1(5+r),

22

5=SAA,DE-SAA,MN=^(5+O—1(1+1)=一含+詈・

9：A'D>DM,A5+r>4,Ar>-1,

又..一〈9，

,1的取值范围为一1V/V0.

3.(1)证明：由OA=OC=2OB=4知，OC=4,03=2,

又，:四边形ABCD为平行四边形，

：.AD=BC=6f

则点A,8的坐标分别为(0,4),(-2,0),

当y=4时，y=x+/=4,

则x=4—1=4—1=3=1。，

即点尸(3,4),

：.AP=DP,

(2)解：PQ=2yf2APf理由：

由点A,8的坐标，得直线AB的表达式为)，=2x+4,

联立上式和)，=犬+/得2x+4=x+r,

解得x=f—4,

即点Q«—4,2r-4),

在直线y=x+f中，当y=4时，x=4—r,

・,•点P(4—f,4),

则AP=4—r,

由点尸，。的坐标，得。。=2企(4一7)=2电产；

(3)解：存在.如解图①②③，过点。作轴于点”，过点。作Q/_Lr轴于点/,

设点M(m,0),

由(2)知，点P,。的坐标分别为(4一,,4),(f—4,2r-4),

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则〃M=I加一4+/I,PH=0A=4fIM=II,QI=I4-2rI,

・・・/PAW+NQM/=9()°,/QM/+N/QM=9()°,

/IQM=/PMH,

又・.・NP〃M=NM/Q=90°,

/.△PHMsAMIQ,

・・•以点M,P,。为顶点的三角形与△AOB相似，

则PM:QM=2或5

ARtAPHM和RtAM1Q的相似比为2或(

则PH:MI=HM:IQ=2或点

当〃?>0时，如解图①②，

当相似比为2时，如解图①，

PHMH

——Ml=—QI=2,

则P”=2M/,AW=2Q/,

即4=2(机一f+4)且4—f—m=2(2f—4),

第3题解图①

解得〃2=],/=p

即点M(g，0),，=：；

JO

当相似比为:时，如解图②,

PHMH1

MlQI2

则MH=-Qh

22-

第3题解图②

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贝ij2X4=〃z—(1—4)且2(m-4+。=4一2八

解得机=?，/=j

则点M芦0),/=1；

当〃zVO时，如解图③，

第3题解图③

当相似比为2时，如解图③，

PHMHr

——=—=2,

MlQI

则P”=2M/,MH=2QI,

则4=2[(f—4)一且4—f—in=2(4—2t),

解得机=-7,t=-1»

即点M(—7,0),r=-l；

当相似比为[时，

经验证，该情况不存在，

综上所述，点”(：，0),或M(葭，0),或M(—7,0),t=—\.

类型三动面型探究

1.解：(1)如解图，连接。夕，A夕，

VA(4,0),C(0,3),

***OA=4»。。=3,

由旋转的性质，得CO=CO=3,04=0A=4,

：ZOCA=4OCC,

VtanZOCA

OC3

R’r4

tan/8'0C'=注=2,

OC3

：./OCA=ZB'OC\

:"OC'C=NB'OC,

：.AC//OB\

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・・•四边形A3CO为矩形，

：.AC=OB\

・•・四边形OCA9是平行四边形，

：.AB,=0C=3,ABF03即AB'〃y轴,

・••点B的坐标为（4,一3）；

(2)・・・。8平分/4。4,

:・/DOB=NAOB,

•:BC〃OA,

・・・/O8O=NAOB,

・•・/DOB=/DBO,

:・BD=OD,

设CD=x,则BD=BC-CD=4~x,

・・・。。=4-x,

在RsOCO中，由勾股定理，得O£>2=C02+OC2,

(4—X)2=X24-32,解得

o

：.BD=4~x=—25.

8

2.ft?：(1)(-4,V3),(6,2V3)；

【解法提示】,・•四边形ODE尸为矩形，D(0,V3),尸(一4,0),AE(-4,冉)，:四边形O48C

为菱形，A(4,0),：.BC=OA=4,VC(2,28)，275).

(2)如解图，过点。作C7V_LOA于点N,

VC(2,2V3),

：.ON=2,C7V=2>/3,

：.lanZCON=—=—=>/3

ON2f

：.ZCO7V=6()°,

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过点“作"R_Lx轴于点R,

,:EF=®

:・HR=EF=®

•・・/COA=60°,

：.OR=-^=9=1,

tan60*\[3

・・・H(1,V3),

由平移可知OO'=EE'=l,

VE(-4,V3),

4+f,V3),

・・・E'H=l—(-4+f)=5—f,

♦：/EHO=NHOF=60°,

AE,M=E,Htan60o=V3(5-r),

・・•在RSAGO'中，AOf=OO-OA=t-4,ZGAO'=ZCOA=60°,

・・・GO'=4O'tan600=V3(z-4),

；・S=S矩形O'D'E'F-$△MHELSAAGO=4A/3—1XV3(5—t)2-1XV3(f—4)2=—W+98f—青3

其中，的取值范围是4VfV5.

?llCB

EV\I)7

()F'RNAO'x

第2题解图

3.(1)证明：TOE是△ABC的中位线，

：.DE=-BC,AD=-AB,

22

由旋转性质得AO=OE,

：.AB=BC；(3分)

(2)证明：如解图①，连接A/T,

〈DE是△4BC的中位线，尸为A6的中点，

：.DA=BD,

・・・DF是△484的中位线,

：.2DF=AA\

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,,

由旋转性质得△ADC且△4QC,ZADA=ZCDC.A'D=ADfC'D=CD,

・A'D_AD

••~，

CDCD

：・、XDAs丛CDC,

・A'ADA

CCDC

,2DFBD

**CCDC’

：.1DFCD=BDCC\（7分）

第3题解图①

⑶解：存在点G,使得NAGO+NCGE=180°,证明如下：

如解图②，过点D作DF//BC交AC于点F,过点C作CHA.AB于点H,DF与CH交于点G,

连接EG,4G,

9：DE±BC,

：.^DEB=90°,

在RtABDE中，tanB=—,BE=3,

3

・・・Q£=4,BD=5,cos8=2,sinB=-（8分）

55f

在Ria80/中，cosB=^=-,BC=BE+CE=3+-=-,

BC