2026高三数学讲义（八）圆锥曲线中的对称问题

八圆锥曲线中的对称问题

考试要求

掌握解决两种对称问题的•般方法，会求解与对称有关的综合问题.

匡键能力提升互动探究•考点精讲

考点1关于点对称

【例1】在平面直角坐标系xQy中，已知椭圆C：：：+，=l(a>b>0)过点P(2,1),

F),出分别为椭圆C的左、右焦点，且防।•防2=1.

(1)求椭圆。的方程；

(2)动直线/：y=kx+M〃［WO)交椭圆。于4,B两点,交y轴于点点N是时关于O

的对称点，(DN的半径为因0|,设。为48的中点，DE,。尸与(DN分别相切于点E,F,求

NEQE的最小值.

【解】(1)设/i(一c,0),F(C,0)(00),则丽=

2(-C-2,-1),PF2=(c-2,

-1).因为万兀•即2=—。2+2+1=1,所以c=2.又P(2,1)在椭圆上，故\=1,又

a-b-

〃=〃+2,解得标=4,"=2,

故所求椭圆方程为f+V=l.

42

(2)设2gji),8(x2,及),

v=kx-\-m,

联立浮(2F+1)/+伏/心+2帆2—4=0,

片+2产=4,

由/>0,得〃?2<4尸+2(*),且Xl+x2=4"',因此丁|+,2=,

2k2+1"2h+1

(_2kmm]

所以2k2+\'2K+1J.

2痴］2m12

又M0，一⑼，所以|也邛=〔2F+1J+12乃+1

整理得陷「=吗芳『)

|NQ|2_4(K+3尸+1)

因为呼］=|创,所以

卬坪一(2F+1)2

令/=8尸+3,123,

故2层+1='+)

4

16

所嘿2+黑尸+M+2

令)，=/+,所以y=i一,,

tr

当/23时，y>0,从而y=/+；在［3,+8)上单调递增，

因此/+1210,当且仅当/=3时等号成立，此时"=0,所以W"：Wl+3=4,

t3|NFp

由(*)得一2<m<2且〃iWO,故W"2l.

Ml2

设NEZ卯=2。，则sine=WQ〉L所以。的最小值为兀，

|NQ|26

从而NE。厂的最小值为:，此时直线/的斜率为0.

综上所述，当4=0,血£(-2,0)U(0,2)时，NEDF取得最小值兀

/规律总结

“中心对称”利用的几何特征是“中点”,即设(M次)为已知曲线人匕历=。上任一点,

_x+x()

a~2'

xo=2a-x,

其关于点(。，份的对称点为(x,y),则从而解得而./(xo,>'o)=

yo=2b—y,

2

0,即可得到/(2“一x,2b—y)=0.

【对点训练1】已知尸(c,0)是椭圆E：:;+，=1(心拉>0)的右焦点，M(2c,c),原点。

到直线M77的距离为2,点(匕2)在七_1_.

2

(1)求E的方程；

(2)过点尸作直线与石交于4B两点,直线M4,历夕与y轴分别交于〃，G两点,求证：

H,G关于点(0,—1)对称.

Z*-0

解：(1)由题意可得直竣A/厂的方程为y=(x—c),即x—y—c=0.

2c—c

原点O到直线的距离为0=2,解得c=l.因为点O'2］在E上，所以2a=2+

222

［21/

22+l2J2=22,即。=2,又方2=/一02=1,所以E的方程为尸+产=1.

(2)证明：当直线48的斜率为0时，可得H(0,2-1),G(0,一2-1),

所以〃，G关于点(0,-1)对称.

当直线力8的斜率不为()或不存在时，设过点6的直线方程为x=/〃y+l,点力，8的坐

标分别为3,巾)，(x2,及).

X="9+1,

将直线方程与楠圆方程联立，得任+炉=|

消去x,得+2)y+2my—\=0,

,—2m—1

则r4ly+/=,y\yi=.

nr-r2m--r2

直线M4的方程为》—1="一1(.丫一2),令x=0,得加=。"-2加+'

x\~2niy\—1

同理可得出=(〃L2m+i

myi~1

所以N〃+NG=[(w-2)>'i+1](my2-1)+[(/«-2)y2+1-1)

22(myi—1)(zny2-1)

_m(m—2)y\y2+(yi+V2)~—

===_1.

m2y\y2~机(yi+.K2)+1-nr+2"+tn2+2

所以〃G的中点为(0,-1),即“，G关于点(0,—1)对称.

考点2关于直线对称

【例2】己知椭圆E：：；+，=1(〃>6>0)的右焦点为匕，0),且满足。-6=3-1,/

-b2=2.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)若E上存在M,N两点关于直线/：y=Ax+；对称，且满足OMON=()(O为坐标原点)，

求/的方程.

7

【解】(1)由。-6=3-1,c2—b?=2,可得c+b==3+1,解得。=3,b=l,

c-b

〃=4,故桶圆E的标准方程为：+产=1.

(2)由题意可知当在=0时，直线/:)，=；,

此时E上不会存在“，N两点关于直线/:y=3对称，不合题意，

2

y=­x+f,

k

故设直线MN的方程为y=~x+t,联立

k

4

f1+/『一8'+4f2-4=(),

整理得

k

需满足4=16口2

设M(xi,y),Ng,月),则

8kf4A2"2—|)

Xi+X2=…，，X\X2=,、

4+〃24+公

故V+x=-i+幻)+2/=_/：X//、+,

k4+k24+S

22

[—Jxi+/1[—Jx2+/11tkt—4

yM=lkJIkJ=,/lx：-(xi+x)+/2=一，,，

k2k24+F

XI+X2yi+yz]

(2'2J,

(4ktk2t]

即14+*，4+匐，

由于M,N两点关于直线/:y=丘+；对称，

故将该点坐标代入尸质+3得⑹=”•4kl+3化简得，=-4+产

24+尸4+k222k2

由。AfCW=O可得(xi,y\)(X2,72)=0,即达》2+“月=0,

所以4d(产-1)+分-4

4+d4+公

化简得5公1一4公一4=0,

4+加

将/=一代入5e2一必2—4=()中，可得11^-24^-80=0,

2k2

解得42=4或42=一彳(舍去)，

4+R(4—[+]1

当公=4时，t=—、=—1,满足/=16口2J>0,故％=±2,

2A-2

所以/的方程为y=2x+；或歹=一2丫+3.

1规律总结

“轴对称”利用的几何特征是“垂直和平分”，即设(枇，次)为已知曲线4匕y)=0上任

,点，其关于直线4r+力+C=()(42+?W0)的对称点为(x,>0,则

厂/义卜]=-1(4#()),

X—XQ

当然有时利用“点差法”也很奏效.

k+x°+或+次+。=0

22

【对点训练2】在平面直角坐标系中，分别过点4一2,0),仅2,())的直线八，/2的斜

率之积为一:.

4

(1)求人与，2的交点户的轨迹方程；

(2)已知直线4P与直线x=2交于点。，线段。8的中点为M,若点尸的坐标为(1,0),

求证：点8关于直线RW的对称点在直线相上.

解：⑴设点〃的坐标为(x,y),则人的斜率为?，A的斜率为',

x+2x-2

由」2、二2二一i化简可得W：=M±2),

所以点P的轨迹方程为；+：=l(xW±2).

(2)证明：“点8关于直线的对称点在直线尸尸上”等价于“FM平分/?网”，如图.

设直线4P的方程为)=梅+2)住K0),则0(2,4机M(2,2k),设点P(x°,刃),

F=A(X+2),

一区/+6

由A-2，r得(3+4公)炉+]6尸x+16公-12=0,J=144>0,得知=,且泗

4十3=-1'3+4R2

12k

3+4公

①当尸凡Lx轴时，AO=1,此时后=土;，所以从1'±2」0(2,±2),M(2,±1),

此时，点M在NPP4的平分线所在的直线j，=x-l或y=-x+l上，则QW平分N/P4.

②当时，直线P”的斜率为加尸="=4k,所以直线的方程为4依+(4公

2XQ~\1—4k2

一]»—(),

|84+2A(4公一1)-4川=

所以点〃到直线尸尸的距离d=

163+(4k2—1)2

|44+2川4/-1)|=|2%(43+1)|

=\2k\=\BM\

(4庐+1)2一|4F+1|f

义18M即点M到NPFB的边BF的距离，所以FM平分NPFB.

综上，点〃关于直线的对称点在直线尸尸上.

课时作业62

1.(15分)已知椭圆C：:;+，=1(公＞抚＞0)上一动点到两焦点a(-c,0),F2(C,0)的距

离之和为4,离心率为［

2

(1)求椭圆C的方程；

(2)试确定m的取值范围，使得C上存在不同的两点关于7：y=4x+m对称.

解：(1)依题意，令动点为P,1PBi+17^21=24=4,所以。=2,又°=1所以c=l,b2

a2

=3,则椭圆方程为

43

U,

43

(2)设存在两点A(X],y\),4。2,户)关于/对称，且力8中点。的，次)，则找遍

43

两式相减，得自8=—"°=—1,所以次=3M),又yo=4xo+/〃，所以xo=—ni,

4yo4yo=-3/〃,

所以二十9”

43

(213213]

所以〃13，13J.

2.(15分)在圆O：/+产=4上取一点P,过点Q作x轴的垂线段PZ),。为垂足，当

点P在圆。上运动时，设线段中点M的轨迹为E.

(1)求£的方程.

(2)试问：在£上是否存在“，N两点关于直线/：y=h+对称，且以为直径的

圆恰好经过坐标原点？若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

解：(1)设M(x,y),则点P(x,27)，将尸(x,2历代入圆。:x2+y2=4,可得炉+但=4,

・・・E的方程为：+/=1.

(2)存在.

显然，直线MN的斜率存在且不为0,设直线MN的方程为)，=-1'+川,

1,

V=-X+/%

联立k消去y并整理得(启+4谭一8〃如+4/(/一1)=0,

d+4炉=4,

J=(-Smk)2—16(Zr+4)^2(w2—1)>0,化为N+4>B"2

设M(xi,yi),Ng,V2),

则为+为=口4k2(〃]“一1)

X\X2=一

3+4

依题意OM1ON,可得丽•而V=0,

・\XlX2+w=0,

I-Jxi+znll-；X24-W|1x2

又yi_T2=lkJIk)-.X\X2~(X|+x2)+w2,

kt-kf

:.X\X2+Viyi=U+A：2]xiX2-n\x\+%2)+w2=0,

k

/十1加2,一1)一“的+M=0,解得F=?,

F+4kh+45〃:-4

xi+x2yi+川”..

2'2J在直线产去+3°上，得"+玖=小+也+3()

[5225

即—A产+〃?一km+机=小笛r.十4-y也,+狗3U化为A勿从+3W0=0

22542+45

4

把公=；代入化为1()〃户+30〃]-6=0,

5疗一4

解得〃?=(舍去)或〃?=一；°,

4

:・R=(3012=2，解得左=土2,

5X「5J-4

满足4+4>尼加,即满足/>(),

・•・在£上存在M,N两点关于直线/:y=kxA-；0对称，且以"N为直径的圆恰好经过

坐标原点，直线/的方程为y=±2x+；°

3.(15分)已知椭圆C：5+^=1伍>/>>())的离心率e=3,(0,2)是椭圆C上一点.

a~b“2

(1)求椭圆C的方程.

(2)若直线/的斜率为;，且直线/交椭圆C于P,。两点，点尸关于原点的对称点为E,

点4—2,1)是椭圆。上一点，判断直线力£与40的斜率之和是否为定值.如果是，请求出

此定值；如果不是，请说明理由.

b=2,

解：(1)由题意知力=2,又离心率《=:所以。=2%,于是有匕=2%,所

233

a2=b2-^-c2,

以a=22,c=6.

所以椭圆C的方程为=1.

(2)是.

由于直线/的斜率为1,所以可设直线/的方程为y=l+/,

22

代入椭圆C:『+4/=8,可得r+2次+2$一4=0.

由于直线/交椭圆C干P,。两点，所以/=4-一4(2-一4)>0,解得一2</<2.

设点尸(XI,yi),Q(X2,歹2),于是有XI+X2=-21,xiX2=2/2—4.由于点产与点£,关于原点

对称，故点£(—X),—yi),

设直线/E与力。的斜率分别为匕E,k」Q,由于点力(一2,1),

则加+自。=一"一1+”-1=(2f)&2-1)—(2+动5+1),

-xi+2JQ+2(2+X2)(2-XI)

n1I1.

又y=/i+f,y2=xi±t,

22

于是有(2-xi)(n-1)—(2+x2)(n+1)=2(>，2-yi)—(x"+为_月)+不一也-4=也一占一(加右

+fxi+fX2)+xi-xz-4~-x\xz-/(.V)4-X2)-4——(2产-4)-/(-2/)-4=~0,

即心E+匕。=0.故直线AE与AQ的斜率之和为0.

4.（15分）己知点8（1,0）,点M是圆月：（m+1）2+/=|6上任意一点，线段MB的垂

直平分线交半径历力于点P，当点M在圆力上运动时，记点尸的轨迹为£

（1）求轨迹上的方程；

（2）作80_Lx轴，交轨迹〃于点。（点。在x轴的上方），直线/：x