高考数学二轮复习突破练：开放探究型解答题（含解析）

开放探究型解答题突破练

多维训练开放探究型解答题突破练

突破练(一)5三角+1立几

/AI

I.在①V5ScosC—a)=csinB；②2a+c=2/xx)sC；③〃sinA=y[3asin——这三个条件中任选

一个，补充在下面问题中，并解答问题.

在△A8C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足,。=2小，a+c=4,求

/\ABC的面枳.

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

解若选择条件①，由正强定理可得

小(sinBcosC-sin4)=sinCsinB.

由sinA=sin(8+C)=sinBoosC+cosBsinC,

得一A/5cosBsinC=sinCsinB.

因为0<C(7t,则sinCHO,所以一，5cos6=sinB.

(若cos8=0,则sin8=0,sin2，+cos28=0.这与sin2B4-cos2B=1矛盾)

又cos8#0,所以lan8=一5.

又(XB<m所以8=冬

由余弦定理及力=2小，得[2小)2=/+/—2accos

即12=(a+c)2—ac.将a+c=4代入，解得ac=4.

所以S&A8C=lacsinB=；X4X^=小.

JJ乙

若选择条件②，由正弦定理，得

2sin4+sinC=2sinBcosC.

又sinA=sin(B+C)=sinReosC+cosBsinC>

所以2cosBsinC+sinC=0.

因为C£(0,7t),所以sinCHO,

IG

从而有858=—,又8£(0,71),所以8=寸.

由余弦定理及b=2小,得［2小户=序+d一2«ccos专，

即12=(a+c)2—ac.将a+c=4代入，解得ac=4.

।j13

所以S&A8c=5“csin4=5乂4乂乎=小.

若选择条件③，由正弦定理，得

「71—13

sinBsinA=\3sinAsin~~.

_R

由OvAv兀，得sinAWO,所以sinB="\/5cos5,

由二倍角公式,得二in3cosS=，5cos争

由0＜与号得cos苧WO,所以sin与=乎，则与=$即8=空.

由余弦定理及6=2小，得［2小)2=。2+/—2480$专，

BP12=(a+c)2—ac.将a+c=4代入，解得ac=4.

所以SaABC=%csinB=；X4X^=小.

2.在①△A3C的面枳S.=2,②NAQC=^这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求

AC.

如图，在平面四边形A8CZ)中，NA8C=苧，ZBAC=ZCAD,,CD=2AB=4,求

AC.

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

解选择①：S~sc=yaACsinN44c=1X2.2Csin竽=2,所以2c=2陋.

2X2啦X(一坐)

由余弦定理可得AC2=AB2-^-BC2-2AB-BCcosNA3C=4+8—2X=20,

所以AC=2小.

选择②：设N/MC=NCAZ)=。，贝1」0<04，N4cA=；一/

在△ABC中’sinNA8C=sin/8G4'

AC2

即,所以、

AC=正g〃

力AiiiAC________4

在△AACm。中，sinN4。。—sinNCDOW'即pr|A.C冗一sin夕

s,n6

2

所以“=施

2\[2

所以sin0=\»解得2sine=cos夕

,试厂。

又0＜咐，所以sin0=坐，

2

所以"=就5=24.

3.已知a,b,。分别为△A3C内角A,&C的对边，若△A8C同时满足下列四个条件中的三

个：①"a~；②。。'2A+2cos?^—1；③4—逃；@b—2-\[2.

CJ\Cl~iD)乙

(1)满足有解三角形的序号组合有哪些？

⑵在⑴所有组合中任选一组，并求对应△48C的面积.

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

b~a2ma+3c6f2+c2-Z?2渔

斛⑴①由丁=3匕+力)，得2二=理.区

由cos苧=一乎，可得竽兀

②由cos2A+2以)§将=1,得(2cosA—l)(cos4+1)=(),解得cos.又A£(0,兀)，可得A=

n

y

可得①②不能同时出现作为条件.

・•・满足有解三角形的序号组合有①③④，②③©.

⑵取②®④.

由正弦定理，得吗=需，解得sin4=1.

sin3

VBe(0,n),

；.c=小,••.△ABC的面积5=卜#乂血=小.

4.(2020•北京一模)在条件①3+〃)(sinA—sin8)=(c—〃)sinC,②asin8=/xx)s(4+器)，③〃sin

互号=asin8中任选一个，补充到横线上，并解答问题.

在△4BC中，内角4,B,C的对边分别为。，b,c,〃+c=6,a=2®.求△ABC

的面积.

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

解若选①:

由正弦定理，得6)=(C—即十，一/=核,

属+才一/be1

所以cosA=-2bc-=赤=,

因为A£((),兀)，所以A=".

因为。2=/+/一反=（b+c）2—3〃c,a=2y[6,"+c=6,所以bc=4,

所以S&A8C=J加sinA=^X4Xsin；=小

若选②：

由正弦定理，得sinAsin8=sin8cos（4+5）.

因为0<8<兀，所以sin8W0,所以sinA=cos（A+2

化简得sinA=^cos4—JsinA,所以tanA=乎.

因为（XAVTC,所以0=h

Erido?I->兀b-（力+c）2—/62—（2^6）2—

又因为a-=b--\-c1-2bccos不，所以bc=-----2T巾---=---）+宝---，即bc=24-12小,

所以SMBC=「csinA=义X（24—12小）X1

=6-3小.

若选③：

8+C

由正弦定理，得sinBsin-]—=sinAsinB.

4+C

因为0<B<n,所以sin8WO,所以sin—/-=sinA.

又因为B+C=7r-A.

b”A-.AA

所以cos]=2sin7cos

因为0<4<n，O<4<2»所以cos^WO,

所以sin]==所以?=点，所以A=?

又〃2=匕2+/—/7c=3+c)2—3儿，〃=2加，8+c、=6,所以从,=4,

所以S^ABC=2bc^nA=JX4Xsinm=#.

5.在①函数贝x)=：sin(2cux+8)(s>(),|财<3的图象向右平移自个单位长度得到g(x)的图象，式幻

的图象关于原点对称；②向量〃?=N3sin3x,cos2cox),n=^coscox,：),s>0,J[x)=mn；

③函数_/U)=cos5sin(5+§—；((y>0)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答

问题.

已知,函数人工)的图象相邻两条对称轴之间的距离为全

(1)若0<%,JS.sin21求人。)的值；

(2)求函数人丫)在[0,2可匕的单调递减区间.

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

解选条件①.

由题意可知，最小正周期7=寻=兀，

.*.w=I,.*.y(A)=；sin(2x+p),

:・g(x)=/in(2x+夕一。

又函数g(x)的图象关于原点对称，・・・8=E+*kGZ.

〈mi专

•W)=2sin(2v+6)-

(I)\*0<^<5，sin0=2,；,)=：.

•\/(〃)=/图=尖访|n=坐

(2)由弓+2EW2x+狂呼+2E,kGZ,

解得器+E4W铲+〃兀，kWZ,

令左=0,得狂xw|n,令t=1,得强rWxW/r,

r(

2兀］上的单调递减区间为信!兀73

•••函数7U）在［o,禧,铲

方案二：选条件②.

*.*m=(由sincox,cos2(ar)，n=COX,

.,必)=/〃.〃=坐sinscoss

2（t）x

=^^sin2cox+Jcos2cox=1si,

27r

又最小正周期7=五『，"=1,

•••A^)=2sinf2x+6)-

,sin6=或

(1)V2，

•••/的）=周4皿|丸亚

4.

⑵由£+2EW2X+KW》+2E,kRZ,

乙\z乙

解得a+EWxW；兀+版，k£Z,

令k=0,得看WxWqTi,令k=1,得%几五人£?71,

.

・•・函数加在［0,2汨上的单调递减区间为,斜-7

6n>

方案三：选条件③.

,/(x)=coscoxsin(①x+571)一；

=coss(sincoxcos^+coswxsin§一

sin^osx+|cos^-i

一2:

=坐sin2s+；cos2cox

=i0枭n2(av+|cos2s)=gsin(23+§,

又最小正周期7=薨=必..•①=1,

/.y(x)=1sin^2x4-1).

(1)*.*0<^<?,sin0=范•0——

2，•・"一中

-W)=J(4)=2sin亲=坐

(2)由，+2EW2x+*W5兀+2E,AWZ,

解得春+E0W甘+E,kCZ,

UJ

令4=0,得看《争t,

令上=1,得看:4:痣兀，・,•函数段)在［0,2用上的单调递减区间为,如］，［/I71］,

6.(2020•湖北四地七校联考)如图①，已知等边△A8C的边长为3,点M,N分别是边AB,AC

上的点，且3M=2M4,4V=2NC如图②，将△AMN沿WN折起到△4MN的位置.

(I)求证：平面/VBM_L平面8CNM；

(2)给出三个条件：①4M1BC；②二面角A'-MN-C的大小为60°；③43=市.在这三个条

件中任选一个，补充在下面问题的条件中，并作答.

在线段上是否存在一点P,使直线密，与平面4BM所成角的正弦值为噂？若存在，求

出尸8的长；若不存在，请说明理由.

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

(1)证明由已知得AM=LAN=2,ZA=60°,

:・MN工AB,MNLMB.

又・，3804”=加，平面/V8M.

又丁MNu平面BCNM,：.平面/TBM_L平面BCNM.

(2)解方案一：选条件①AMJ_8C,由(1)得BC和MN是两条相交直线，

平面BCNM.JMB,MMM4,两两垂直，，以M为坐标原点，MB,MN,MA所在直线分别为

x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系M—xyz,

■y

a

则A（0,0,1）,设尸（2一小小a,0）,其中OvaW,则前^=（2—〃，小a,-1）.

易得平面的一个法向量为〃=（0,1,0）.

设直线布与平面48M所成的角为仇则

S，11'=|COS〈A。'〃〉l=d（2_）2+3,尸+1=10'

解得〃=呼尚，

，不存在点P满足条件.

方案二：选条件②二面角4-MN-C的大小为60。，

由（1）得/4MB就是二面角H—MN—C的平面角，

JZA,MB=60°.

过4作40_L3M,垂足为O,连接0C,则4O_L平面4CNM.

经计算可得O4=¥，OM=+06=9，而6c=3,

：.OB±OC.

：.0B,OC,0A两两垂直，，以O为坐标原点，OB,OC,OA所在直线分别为x轴，」轴I,z

轴建立如图所示的空间直角坐标系0—文冲，

则A（0,0,

设“一小小a,0）,其中0<4痣，

则A'P=e一a,小a,一乎）

易得平面4BM的一个法向量为〃=（0,1,0）.

设直线%'与平面4BM所成的角为"则

解得。=：或4=3（舍去）,

••・存在点〃满足条件，这时P8=3.

方案三：选条件③48=由，在△AZM中,

1+4-71

由余弦定理得cosNA'MB=・•・ZA'MB=\20°.

2AMM82X1X2~r

过4作40_L8M,垂足为0,则4O_L平面BCNM.

以O为坐标原点，OB,0V所在直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系（图略）,

则A（0,0,坐），设雄一小小〃，0）,其中

则A'P=《一〃，小a,—2

易得平面4BM的一个法向量为〃=（0,1,0）.

设直线以‘与平面A'BM所成的角为〃，

3回

则sin6=|cos(A'P,n)|=

10，

解得誓多

••・不存在点P满足条件.

突破练（二）5数列+1解几

1.在①q.d=l,②。2+为=0,③S2=A这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中

的2存在，求出2的取值范围；若不存在，说明理由.

若S”是公差为d的等差数列｛〃“）的前〃项和，7；是公比为q的等比数列｛儿｝的前n项和，

,«i=h5,5=25,ai=bi，是否存在正整数人使得川7；|<12?

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

解§5=25=5。3，，。3=5,

,。1+。31+5c

•.俏一2——2—13，

Z?2=〃2=3.

d=ci2-〃】=3-1=2.

若选①：qd=I,•••9=1=；，

"=3X2=6,

61-

由力4<12得及2,又Z>0,・••存在正整数4=1,使得川耳|<12.

若选②：：02+63=。，，左=一。2=-3,••・4=-1,/?!=—3

・••当〃为偶数时，，=0,则>0；

当〃为奇数时，。=一3,由用7；|<12得k4.

综上，存在正整数2=1,2,3,使得川。|<12.

若选③：由S2=72得〃i=ai+〃2—历=1+3—3=1,

.TI3”1

*n~i-3-2r

由指数函数的性质可知7；无最大值，

・•・不存在正整数3使得有方|<12.

2.在①2s〃=3""-3；②即+1=24〃+3,a\=\这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并

解答问题.

设数列｛m｝的前〃项和为，，若,丛=空"，/卢N",求数列｛6｝的最大值.

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

解若选择条件①，・・・2S〃=3"+i—3,・・・2S〃r=3〃+2-3,

则2s“+L2s〃=3"+2-3”+1,

n+,n+,n+,

即2an+i=3«3-3=2-3,

/.=3w+,,a”=3",

27z—62n—6„,.

：.b„=----=-^―，易知当2〃一6>0时，〃>3.

ClnD

942X2

当〃=4时，儿=j；当〃=5时，〈如

22

・•・当〃=4时，数列｛d｝的最大值d=下=后.

若选择条件②，・・・a“+i=2丽+3,a〃+i+3=2为+6=2（斯+3）,

・・・斯+3=2"+|,斯=2/1-3,

；・b“=F—=mi3易知当2〃一6>0时，心3.

an2—3

242X2

当n=4时»b4=7当n=5时,〃5=.6_公=7式<匕4,

2-32—32X@5司

・•・当〃=4时，数列｛儿｝的最大值九=浜2与=£2.

3.在①｛%｝是等比数列；②他”｝是等差数列；③由=70这三个条件中任选一个，补充在下面问

题中，若问题中的，•存在，求，•的值；若不存在，请说明理由.

设正项数列｛斯｝的前〃项和S”，20+内=的，，是否存在「，使得对任意N“，〃22,

都有2〃S”+]—(2〃+5)S“+S”]=MI.

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

解当〃22时，2〃S“+|一(2〃+5)S〃+SL1=WI，

化简得2nafI+1—5Sn+Sn-1=ra\,

所以(2〃+2)。〃.2—5SM+1+S?=ra।,

两式相减得(2〃+2)a“+2—(2〃+5)a“+[+a“=0,(1)

当〃=2时，4s3—9S2+$=M|.

结合24]+〃2=。3得42=(4—/Om.Q)

若选择条件①，设等比数列｛〃”)的公比为9，由2^+42=43,得

2+g=/，

所以4=2或4=—1(舍)

由(1)得(2〃+2)/—(2〃+5)g+l=0,

即(2〃+2)X4—(2〃+5)X2+l=0不成立，所以r不存在.

若选择条件②，设等差数列伍”｝的公差为止由2m+a2=〃3得2处=",

所以S„=n2a1,则2nS,,+\—(2/2+5)S〃+S”-1=。।=阳i.

所以r=1.

若选择条件③，由Q)得〃2=(4一厂)41，所以43=(6一r)〃1.

当〃=2时，由⑴得6出一98+改=0，因为44=70,

所以42m—9(6—r)ai+(4—r)ai=0,解得r=I.

4.已知等差数列｛斯｝的前〃项和为斗，｛九｝是各项均为正数的等比数列，m=仇，，

历=8,从一3岳=4,是否存在正整数4,使得数列岗的前2项和叫若存在，求出上的最

小值；若不存在，请说明理由.

从①S4=20,②S3=2〃3,③343—。4=历这三个条件中任选一个，填到上面横线上并作答.

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

解设等比数列｛4｝的公比为4(4>0),则"=],①=8夕，于是/—3X8q=4,

即6/+q—2=0,解得9=；或q=一多舍去).

设等差数列｛"”｝的公差为d

4X3

若选①，则0=九=2,S4=4ai+—"=20,解得d=2.

所以S〃=2n+"l)-X2=/?+〃,

!,1_1_1___1_

人Snn(〃+1)n〃+「

于是7…

=(T)噌-排…©-毋州ITT-

令1一旺了得解得Q15.

因为女为正整数，所以2的最小值为16.

3X2

若选②，则〃1=84=2,S?.=3a\-｝-^-^(J=2(a\-\-2ci)f解得d=2.

下同①.

4

若选③，则。1=加=2,3(G+2d)一(0+3")=8,解得d=Q.

所以S“=2、+〃"，1)潟=言?2+权

4，JJ

3

则-X

=2-

〃翡一土)

=10+2-1+7-1+2）=|-4（1+7+1+2）-

令叫i得Wr+出/

注意到A为正整数，解得k》7,所以A的最小值为7.

5.在①4必〃+1=22厂1,②Sn=ka”一；,③S〃=〃"+〃2—2〃+2这三个条件中任选一个，补充至横

线上.若问题中的正整数机存在，求出〃？的值：若机不存在，请说明理由.己知数列｛〃“｝中。

=1,其前〃项和为S”，且,是否存在正整数，力使得S”，5W)1，s”.2构成等差数列？

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

解若选择条件①。M“+产22”一1,则知+M,+2=22”+L

两式相除得到誓=4.

所以数列｛斯｝的奇数项和偶数项分别构成公比为4的等比数列.

内为0=1,所以03=4.囚为06=2,所以々2=2.

因此0,。2,。3成等比数列.

故数列｛斯｝是等比数列，且公比为2,所以%=2『L

所以S〃=2”一1,则5”=2桁-1,5„,>1=2/,,+,-1,S“+2=2"2-].

若S“，Sm+l，Si构成等差数列，则ZQ^+l-DiZm-D+Qf-l),整理得2m=0,此方程

无解.

所以不存在止整数机，使得S“，Sm+1，S”+2构成等差数列.

若选择条件②S”=kan—\.

13

因为m=l,所以1=左一则攵=,，

所以s”=|〃”一；.

当〃22时，3—*1两式相减，

33

得--

-22

于是-£"=3,所以数列｛%｝是首项为I,公比为3的等比数列.

斯一1

M

因此%=3"r,5n=1(3—1).

W

所以5W=1(3-1),Se=妙+'-I),

m+2

Sm+2=^(3—1).

若SmSiS”+2构成等差数列，则

2•斜-1_1)=斜_1)+赳+2—1)

整理，得4X3，"=0,此方程无解，所以不存在正整数〃?，使得S”，S“+i，S”+2构成等差数列.

若选择条件③S”=为+〃2_2〃+k.

因为m=l,所以1=1+1—2+2,则&=1,

2

因此Sn=a,,+n-2〃+1.

当〃22时，S〃T=a〃-i+S—I）?一2（〃一1）+1.

=

两式相减，得anan—67,1-1+2;/—3.

于是如T=2〃-3,所以的=2〃一1.当〃=1时，ai=2XlT=l,成立.于是数列｛%｝是等差数

列，旦S“=〃2

若S“，Sm+I，Sm+2构成等差数列,

则2的+1）2=渥+（旭+2）2,此方程无解，所以不存在正整数处使得S”，Sm+l，Sm+2构成等

差数列.

6.在平面直角坐标系40y中：

①已知点45，0）,直线；：x=挚，动点尸满足到点4的距离与到直线/的距离之比为坐;

②已知圆C的方程为1+9=4,直线/为圆。的切线，记点A（小，0）,B（一小，0）到直线/

的距离分别为4,ch，动点P满足|B4|=",\PB\=d2;

③点S,7分别在x轴，y轴上运动，且|S7]=3,动点P满足种=晟示+；苏

（1）在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点尸的轨迹方程：

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

（2）记（I）中的轨迹为E,经过点0（1,0）的直线厂交E于M,N两点，若线段MN的垂直平分线

与y轴相交于点Q,求点。纵坐标的取值范围.

解⑴若选①：

（

设PCr,），），根据题意，得飞'―41：受=坐

,4y3|L

x~3I

整理，得9+）2=1.

所以动点P的轨迹方程为/+V=1.

若选②：

设P（x,y）,直线/与圆相切于点儿

则|力|+|P3|="+必=2|0〃|=4>2小=\AB\.

由椭圆的定义，知点。的轨迹是以A，3为焦点的椭圆.

所以2〃=4,2c=|人用=2小，

故a=2,c=小，/?=1.

所以动点P的轨迹方程为。+v=1.

若选③：

设P(x,y),S(xr,0),〃0,y'),

则q)2+(y)2=3(*).

L2一一一卜r汗2,

因为op=gos+gor,所以1]

〔f•

L3

整理，得J2

J'=3y，

代入(*)得9+)，2=l.

所以动点p的轨迹方程若+v=l.

⑵法一设Q(0,刈)，当直线厂的斜率不存在时，)，0=0.

当直线r的斜率存在时，若斜率为0,则线段MN的垂直平分线与)，轴重合，不合题意，所以

设直线/'的方程为y=Mx—1)/#0),M(X],yi),MX2，),2).

y=k(x—1),

联立得方程组，2+9=]

消去)，并整理，得(l+4d)f-8sx+4(9-1)=0,

则/>0恒成立，且A1+工2=1；4K.

设线段MN的中点为G(X3,知，

Al+.r4k2_k_

则右一―_22-]+4公，”—(口―1)一一]十以2・

所以线段MN的垂直平分线的方程为

y+rfe=4(L渣四

令x=0,得>'。=常5=亡