勾股定理与折叠问题（6大模型）-八年级数学上学期期中专练（北师大版）

专题02勾股定理与折叠问题

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题型一长方形中折痕过对角线模型

题型二长方形中折痕过一顶点模型

题型三长方形中折痕过任意两点模型

题型四直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型

题型五直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型

题型六直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型

［题型通关•靶向提分

题型一长方形中折痕过对角线模型（共2小!S）

【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。

已知长方形中，以对角线为折痕，折叠△，点的对应点为

A

结论1：△ABCGAABC；

DwQ结论2：折痕垂直平方’；

£\/X

B'结论3：△是等腰三角形。

1.（24-25八年级下•广东东莞•期中）如图，将长方形48CD沿4c折叠，使VABC落在△4EC的位置,

且CE与AD相交于点F.

⑴求证：EF=DF；

（2）若八8=2>/5,BC=6,求".

2.（24-25八年级上•广东深圳•期中）如图，将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点8落到点所位

置，A9与CO交于点E,且43=8,4)=4.

B

（2）求EC的长；

⑶点。为线段AC上任一点，。6,4石于6,P〃_LEC于，.请直接写出PG+P”的值.

题型二长方形中折痕过一顶点模型（共4小题）

【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。

已知长方形中，以为折痕，点的对应点为

3结论1:

折在长方形内

结论2：折痕垂直平方；

,结论1：^ABE^^ABE：

折在长方形边上

结论2：折痕垂直平方；

/)/rC

A结论1：四边形ABCE且四边形AB'C'E;

折在长方形外结论2：折痕垂直平方；

D的

B'结论3：△是等腰三角形。

3.（24-25八年级上•江苏宿迁•期中）如图，将长方形纸片人ACO沿着4E折叠，点。落在BC边上的点〃

处，已知CE=3,CF=4,则人。的长为（）

A.6B.7C.8D.10

4.（24-25八年级上•陕西榆林•期中）如图将长方形A8CO沿直或AE折替，顶点。恰好落在边上F

5.（24-25八年级上•陕西西安・期中）如图，在长方形纸片"CO中，AB=5,8C=3,点P在边上,

将△CDP沿。P折叠，点C落在点上处，PE,DE分别交A3于点G,卜,若GE=GB,则M的长

6.（24・25八年级上•四川成都•期中）在矩形纸片A3CO中，A8=12,BC=\6.

（1）如图①，将矩形纸片沿AN折叠，点3落在对角线AC上的点E处，求8N的长:

（2）如图②，点M为48上一一点，将△BCM沿CM翻折至AECM,ME与AO相交于点G,CE与AO相交

于点“、且MG=GF,求的长:

（3）如图③，将矩形纸片A8CO折叠，使顶点3落在AO边上的点£处，折痕所在直线同时经过A3、8a

包括端点），请直接写出OE的最大值和最小值.

题型三长方形中折痕过任意两点模型（共5小题）

【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。

已知长方形中，以，为折痕，点的对应点为,，点的对应点为

EH结论1：&BE*EF；

折在长方形内

M结论2：折痕垂直平方’。

L)C

AEB结论1：四边形£8。/且四边形E8C/;

折在长方形边上

c结论2：折痕垂直平方’。

c

ER结论1：四边形EBC77且四边形E8CN;

A1-―力

kfXi折在长方形外结论2：折痕垂直平方’：

DC结论3:△'是直角三角形。

C

7.（24-25八年级上•贵州贵阳•期中）已知，如图长方形ABC。中,AB=4cm,AD=12cm,将此长方形

折叠，使点8与点。重合，折痕为£;尸,则AE为长度的（）

20

cmD.一cm

cT3

8.（23-24八年级下•安徽蚌埠•期中）如图，长方形纸片A8CZ）甲,AB=3cm,AO=9cm,将此长方形纸

片折叠，使点。、8重合，点。落在点，的位置，折痕为所，则△钻石的面积为（）

A.5cm2B.6cm2C.8cm2D.10cm3

9.（24-25八年级卜・湖北荆州•期中）如图，将长为8cm,宽为4cm的长方形纸片A8CD折叠，使点3落

在C。边的中点E处，压平后得到折痕MN,则线段AM的长为.

10.（24-25八年级下•广西来宾•期中）如图，将一张长方形纸片A4c。沿E尸折叠，使C、A两点重合,

点D落在点G处.已知A8=4,RC=8.则线段的长是.

G

11.（24・25八年级上•江苏常州•期中）如图，将长方形纸片/WC/J折叠，使点C.与点A重合，点”落在点

川处，折痕为E/L

⑴求证：△NBE94A口F•、

(2)若A3=4cm,EF=5cm,求6c的长.

题型四直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型（共8小题）

【模型解读】

（1）沿过点的直线翻折使得点的对应点为落在斜边上，折痕为：

（2）沿过点的直线翻折使得点的对应点为落在斜边.匕折痕为；

（3）沿过点的直线翻折使得点的对应点为落在边上，折痕为。

12.（24-25八年级下•江西赣州•期中）如图，RtZXABC中，ZC=90°,4c=3,8C=4,点。在8c边

上，将VA8C沿A。折叠，使点。落在A8边上的点G处，则CD的长为.

A

13.（23-24八年级下•安徽芜湖•期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，ZC=90°,8C=&m,

AB=10cm,将斜边AB翻折，使得点4恰好落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AO,则8。的

长为（）

A.2cmB.—cmC.-cmD.5cm

33

14.（24-25八年级上•浙江杭州•期中）如图，在的纸片中，ZC=90°,沿过点8的直线折叠这

个三角形，使点C落在A8边上的点£处，折痕为80,AC=4,AB=5,则AO的长为.

15.（24・25八年级上•江苏镇江•期中）如图，在V/WC中，NC=90。，点。为8C边上一点，将△人6沿

AO翻折得到VAC7）,若点C在A3边上，AC=6,BC=8,则C。的长为.

16.（24-25八年级上•广东佛山•期中）如图，在RI/SA8C中，44c8=90。，AC=6,3c=8,点。在边

BC上,把VABC沿直线八。折叠，使得点B的对应点"落在AC的延长线上，则8=.

A

17.（24・23八年级上•江苏南京•期中）如图，将三角形纸片ABC沿折叠，使点C落在.边上的点笈

处.BC=9,8=4,则"2-八。2的值为.

18.（24・25九年级上•江苏徐州•期中）如图，在中，ZC=90°,C4=CB=4,点。在边AC

上.将△人C。沿AO折叠，使点。落在点C处，连接BC,则的最小值为.

19.（24-25八年级下•安徽合肥•期中）有一块直角三角形纸片:

图1图2

（1）如图I,若两直角边AC=6,BC=8,现将直角边AC沿直线4。折叠，使AC恰好在斜边A8上，且

点。与点E重合，则CD的长为:

（2）如图2,若两直角边4c=6,BC=8,点D在边BC上,以AO为折痕力折叠得到V4T。，边

AB与边BC交于点、E.若△。匹8'为直角三角形，则8。的长为

题型五直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型（共3小题）

【模型解读】

（1）沿直线（为斜边中点）翻折使得点与点重合；

（2）沿中线翻折，使得点落在点处，连结，，与交于点.

（3）沿中线翻折，使得点落在点处，连结，.

20.（23・24八年级上•四川成者卜期中）如图，在Rtz^AZ/C中，90?,A"-3cm,Z?C-4cm,将

V/\AC折叠，使点。与A重合，得折痕OE,则跖的长等于cm.

21.（24-25八年级下•西藏•期中）在RlZ\A3C中，ZC=90°,AC=6,3C=8,点。、E分别是斜边AS

和直角边CB上的点，把V4BC沿着直线。E折叠，顶点8的对应点是？.如图，如果点尿和点A重合，

求CE的长.

力⑶

22.（23-24八年级下•江西南昌•期中）如图是一张直角三角形48c纸片，ZC=90°,AC=6,BC=8.

⑴在图I中，将直角边入C沿4。折叠，使点C落在斜边48上的点£处，求CO的长;

⑵在图2中，将沿AG折叠，使点。与点A重合，求所的长.

题怛直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型（共8小题）

【模型解读】

（1）沿直线翻折，使得点落在点处，连结.

（2）沿直线翻折使得点与边上的点重合：

23.（24-25八年级下•安徽合肥・期中）如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=4,BC=6,将它的锐角A

翻折，使得点人落在边区C的中点Q处，折痕交AC边于点巴交A区边于点凡则DE的长为（）

24.（24-25八年级下•北京•期中）如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=6t4c=4,。是AC的中

点，E是BC上一点,连接80、DE.将沿OE翻折，点C落在80上的点F处，则CE的长是

)

B

C.2.5D.3

25.（24-25八年级下•山东德州•期中）如图，在RtZSA8c中，4=90。,4c=6,3C=8,D、E分别是斜

边A8和直角边。4上的点.把VH4C沿着宜线O七折叠，顶点。的对应点是点若点8’落在直角边AC

的中点上，则电的长是（）

26.（24-25八年级上•河南郑州•期中）小明在帮妹妹完成手工作业的时候发现了其中的数学同题，如图，

在VA3C中，ZBAC=90°,AB=4,AC=8,沿过点A的直线折置，使点8落在8C边上的点。处，再次

折叠，使点C与点。重合，折痕交人C于点E,则AE的长度为（）

C.6D.7

27.（23-24八年级下•广东中山•期中）如图，在RtZ\A