勾股定理的逆定理及其应用课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

20.2勾股定理的逆定理的应用根据问题背景，建立数学模型，应用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题，体会“数”“形”转化思想，培养转化、推理的能力．思考我们已经学会用勾股定理解决实际问题，那么勾股定理的逆定理在实际生活中有哪些应用呢？数学思想：立体图形平面图形转化展开

立体图形中求两点间的最短距离,一般把立体图形展开成平面图形,连接两点,根据两点之间线段最短确定最短路线.1.

有一个圆柱形油罐,要以A点环绕油罐建梯子,正好建在A点的正上方点B处,问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2m,高AB是5m,π取3)?ABABA'B'解：油罐的侧面展开图如图,则AB'为梯子的最短距离.∵BB'＝2×3×2＝12,AB＝5,又∵∠B＝90º,∴AB'答：梯子最短需13m.跟踪练习2.有一圆柱,底面圆的周长为24cm,高为6cm,(1)蚂蚁从底面的A处爬行到对角B处吃食物,它爬行的最短路线长为多少？ABBAC(2)蚂蚁从距底面1cm的E处爬到对角B处吃食物,它爬行的最短路线长为多少？EBBEC12612513这两个命题的题设、结论分别是什么？命题2

如果三角形

ABC的三边长

a，b，c满足

a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．探究点2互逆命题和互逆定理命题1

如果直角三角形两直角边长分别为

a，b，斜边长为

c，那么

a2+b2=c2．题设结论题设结论

我们把像这样，题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.题设A结论B①题设B结论A②原命题逆命题互逆命题互逆命题1.A，B，C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？跟踪训练新知探究分析：根据图示的距离，可以判断出以A，B，C三地位置构成的三角形是直角三角形.解：设A，B，C三地对应点A，B，C，则在△ABC中，

所以△ABC是直角三角形，且∠B=90〫，所以C地在B地的正北方向.归纳总结勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系：AC2+BC2=AB2勾股定理勾股定理的逆定理直角三角形的性质直角三角形的判定数形CBA例1下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？(1)a=

15，b=8，c=17；解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.(2)a=13，b=14，c=15.

(2)∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形.

根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.归纳解：根据题意得PQ=16×1.5=24(海里),PR=12×1.5=18(海里),QR=30海里.∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.

由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.

NEP

QR12归纳：解决实际问题的步骤：

构建几何模型(从整体到局部)；

标注有用信息,明确已知和所求；

应用数学知识求解.针对练习1.A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C在B地的什么方向？ABC5cm12cm13cm解：∵BC2+AB2=52+122=169，AC2=132=169，∴BC2+AB2=AC2，即△ABC是直角三角形，∠B=90°.答：C在B地的正北方向．1.判断下列各组数是不是勾股数.（1）8,12,16；（2）12,16,20；（3）0.9,1.2,1.5

（3）不是正整数，所以不是一组勾股数.跟踪训练新知探究2.给出下列数组：①5、12、13；②2、3、4；③2.5、6、6.5；④21、20、29.其中勾股数的组数是（）.A.4B.3C.2D.1

C5.如图，在四边形

ABCD

中，AB=3，BC=4，CD=12，

AD=13，∠B=90°.求四边形

ABCD

的面积.解：AB=3，BC=4，∠B=90°，∴由勾股定理得

AC2=AB2+BC2，得

AC==5.又

CD=12，AD=13，∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD为直角三角形，∴S四边形ABCD=S△ABC

+S△ACD=AB·BC+AC·CD=×3×4+×5×12=36.6.如图，在正方形

ABCD

中，E是

BC

的中点，F

是

CD

上一点，且

CF=CD.求证∠AEF=90°.证明：设

CF=x，则

EC=BE=2x，DF=3x，AD=AB=4x.

由勾股定理得：EF2=EC2+FC2=5x2，AE2=AB2+BE2=20x2，AF2=AD2+DF2=25x2=25x2，∴EF2+AE2=25x2=AF2.由勾股定理的逆定理知，∠AEF=90°.说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？(1)两条直线平行，内错角相等；(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；

(3)全等三角形的对应角相等；

(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.内错角相等，两条直线平行.成立如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等.

不成立对应角相等的两个三角形全等.

不成立在角平分线上的点到角的两边距离相等.

成立针对训练1.下列各组数是勾股数的是()

A.3，4，7B.5，12，13

C.1.5，2，2.5D.1，3