线段的垂直平分线课件2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.4线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的性质与判定线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离______．几何语言：如图，∵CD是AB的垂直平分线，∴_________．相等AC＝BC1.如图，CD是AB的垂直平分线，垂足为D.(1)AD＝______，∠ADC＝____°，AC＝______；

(2)若AD＝3，AC＝5，则△ABC的周长为_____．BD90BC16证明：∵E，F是线段CD的垂直平分线AB上的两点，∴EC＝ED，FC＝FD.∴∠ECD＝∠EDC，∠FCD＝∠FDC.∴∠ECD＋∠FCD＝∠EDC＋∠FDC，即∠ECF＝∠EDF.2.

(新教材P34T2)如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F是AB上的两点．求证：∠ECF＝∠EDF.3.如图，AD是BC的垂直平分线，M是AD上一点．求证：∠ABM＝∠ACM.证明：∵M是线段BC垂直平分线AD上的一点，∴AB＝AC，MB＝MC.∴∠ABC＝∠ACB，∠MBC＝∠MCB.∴∠ABC－∠MBC＝∠ACB－∠MCB,即∠ABM=∠ACM4.(新教材P38T5)如图，在△ABC中，AC＝27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB.∵△BCE的周长等于50，∴BC＋CE＋EB＝50.∴BC＋CE＋EA＝BC＋AC＝50.∵AC＝27，∴BC＝50－27＝23.解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE.∴△BCE的周长＝BE＋EC＋BC

＝AE＋EC＋BC

＝AC＋BC＝8.又∵AC－BC＝2，∴AC＝5，BC＝3.∵AB＝AC，∴AB＝5.5.(新教材P53T21)如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E.已知△BCE的周长为8，AC－BC＝2，求AB与BC的长．到线段两个端点的距离相等的点在______________________．几何语言：如图，∵____________，∴点P在AB的垂直平分线上．线段的垂直平分线上PA＝PB6.如图，直线PO与AB交于点O，PA＝PB，则下列结论中正确的是

()A.AO＝BOB．PO⊥ABC．PO是AB的垂直平分线D．点P在AB的垂直平分线上D证明：∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．∵OB＝OC，∴点O在线段BC的垂直平分线上．∴AO就是线段BC的垂直平分线，即直线AO垂直平分线段BC.7.(新教材P33例1)如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.∴△ABM≌△ABN(ASA).∴AM＝AN，BM＝BN.∴点A，B都落在MN的垂直平分线上．∴AB垂直平分MN.8.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：AB垂直平分MN.证明：在△ABM和△ABN中，9.如图，AB＝AD，则添加一个条件：________，即可得到AC是BD的垂直平分线．CB＝CD10.(2025·佛山期中)如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，AB＝6.若△ACE的周长为9，则AC＝_____．311.(2025·深圳期中)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE.(1)若∠C＝30°，求∠BAD的度数；解：(1)∵EF垂直平分AC，∴AE＝CE.∴∠C＝∠EAC＝30°.∴∠AEB＝∠C＋∠EAC＝60°.∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AB＝AE.∴∠B＝∠BEA＝60°.∴∠BAD＝90°－60°＝30°.(2)若AC＝10，DC＝8，求△ABC的周长．解：(2)由(1)可知，AE＝EC＝AB.又∵BD＝DE，∴AB＋BD＝CE＋DE＝DC.∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC

＝2DC＋AC

＝2×8＋10＝26.12.(新教材P38T4改编)(2025·佛山期中)如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E；MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N.(1)如图1，若∠B＝32°，∠C＝36°，则∠BAC＝____°，∠EAN＝____°；(2)如图2，若∠BAC＝78°，求∠EAN的度数；11244解：(2)∵DE垂直平分AB，∴EA＝EB.∴∠B＝∠EAB.同理可得∠C＝∠CAN.∴∠EAB＋∠CAN＝∠B＋∠C＝180°－∠BAC.∴∠EAN＝∠EAB＋∠CAN－∠BAC

＝180°－2∠BAC

＝180°－2×78°

＝24°.解：(3)当90°≤∠BAC<180°时，∠EAN＝180°－2(∠B＋∠C)；当0°<∠BAC<90°时，∠EAN＝2(∠B＋∠C)－180°.(3)通过以上的探索过程，直接写出∠EAN与∠B，∠C的关系．第2课时三角形三边垂直平分线的性质1．填空：几何语言：如图，∵CD是AB的垂直平分线，∴______________．2．填空：几何语言：如图，∵AP＝BP，∴点P在________________上．AC＝BCAB的垂直平分线(1)证明：∵P是AB，BC的垂直平分线的交点，∴PA＝PB，PB＝PC.∴PA＝PB＝PC.(2)解：点P在边AC的垂直平分线上．理由如下：由(1)得PA＝PC，∴点P在边AC的垂直平分线上．3.(新教材P36例2改编)如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P.(1)求证：PA＝PB＝PC.(2)点P在边AC的垂直平分线上吗？请说明理由．4.(新教材P38T7改编)如图，在联欢晚会上，三名同学站在一个非等边三角形的三个顶点A，B，C的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子(用点P表示)应放在哪个位置？请用尺规作图找出点P.解：如图，凳子应放在AB，BC垂直平分线的交点处．点P即为所求．5.(新教材P50T10)如图，已知线段a，用尺规作底边等于a、高等于2a的等腰三角形．解：如答图，△ABC即为所求．6.(新教材P37习题T1)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°.(1)用尺规作线段AB的垂直平分线，分别交AB和BC于点E，F；解：(2)如图，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，(2)在上述图中连接AF，求∠AFC的度数．解：(1)如图，EF即为所求．∵EF是AB的垂直平分线，∴FA＝FB.∴∠FAB＝∠B＝30°.∴∠AFC＝∠B＋∠FAB＝60°.∴∠B＝∠C＝

＝30°.7.如图，已知直线l和l上一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P.解：如图，直线PQ即为所求．8.(新教材P34思考·交流)如图，已知直线l与直线l外一点P，过点P作出直线l的垂线．解：如图，直线PQ即为所求．9.下列尺规作图中，点P到三角形三个顶点的距离相等的是

()C10.如图，O为△ABC三边垂直平分线的交点．若∠OAB＝30°，∠OBC＝20°，则∠OCA的度数为_______．40°11.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于点D，E，求CD的长．解：设CD＝x.∵DE垂直平分AC，∴DC＝DA＝x.∴DB＝AB－AD＝4－x.在Rt△DBC中，∠B＝90°，∴DB2＋BC2＝DC2，即(4－x)2＋32＝x2，解得x＝

.∴CD＝

.12.(新教材P38T4改编)如图，在△ABC中，MP和NQ分别垂直平分AB和AC.(1)若BC＝15，求△APQ的周长；解：(1)∵MP和NQ分别垂直平分AB，AC，∴AP＝BP，AQ＝CQ.∴△APQ的周长＝AP＋AQ＋PQ＝BP＋CQ＋PQ＝BC