北京市朝阳区2026届高三数学下学期一模考试试题

高三数学第高三数学第页（共6页）北京市朝阳区高三下学期质量检测一数学试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知全集，集合A满足=(-1,1)，则（A）（B）（C）（D）（2）复数的实部与虚部的和是（A）（B）（C）（D）（3）已知等差数列的前项和为，，则（A）10（B）15（C）20（D）25（4）已知向量．若三点共线，则（A）（B）（C）1（D）2（5）设点为坐标原点，过双曲线的右焦点作其一条渐近线的垂线，垂足为点，则（A）（B）（C）（D）（6）已知函数，则的所有零点之和为（A）（B）（C）（D）（7）设，则“且”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（8）已知函数，则（A）， （B），（C）， （D），（9）某深度学习框架提供了一种自然指数衰减的学习率调整模型（，，，），其中为初始学习率，为衰减率，为衰减步长，为训练步数，为第步时的学习率．现有两种学习率衰减策略A和B，初始学习率相同，策略A的参数为，策略B的参数为．已知当训练步数为时，策略A的学习率首次大于策略B的学习率的2倍，当训练步数为时，策略A的学习率首次大于策略B的学习率的8倍，则（参考数据：）（A）（B）（C）（D）（10）已知集合．设集合满足，且对任意的，存在,使得，则的最大值为（A）50（B）51（C）52（D）53第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）在的展开式中，常数项为_______．（用数字作答）（12）已知抛物线，则的准线的方程为_______；若圆分别与直线和轴都相切，且圆心在上，则圆的半径为_______．（13）已知点，点为圆上的动点，若，则的一个取值为_______．（14）已知菱形的边长为1，，将沿折起，得到三棱锥．当平面平面时，_______；当平面平面时，三棱锥的体积为_______．（15）设无穷数列的前项和为，且对于任意，，给出下列四个结论：①存在，使得是常数列；②任意，不是递增数列；③存在，使得是周期数列（即存在，对任意，）；④任意，既有最大值，又有最小值．其中正确结论的序号是_______．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）在中，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得有两个，求这两个三角形的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．（17）（本小题14分）如图，在四棱锥中，底面是梯形，．点是的中点，平面与交于点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若平面，，，，求直线与平面所成角的正弦值．（18）（本小题13分）某研究团队发现人工智能助手的问题解决“满意度评分”（满分100分）与其使用场景密切相关，该团队将用户分为学习场景用户和工作场景用户两类．为了调研用户对人工智能助手的满意度评分情况，现从这两类用户中各随机抽取100人，记录他们的满意度评分，将数据分成6组：，并分别整理得到如下两个频率分布直方图：学习场景用户评分工作场景用户评分现规定满意度评分在80分及以上的满意度评级为A，在区间的满意度评级为B，在60分以下的满意度评级为C．用频率估计概率，假设每个用户的评分相互独立．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）从使用人工智能助手的所有学习场景用户中随机抽取2人，从使用人工智能助手的所有工作场景用户中随机抽取1人，设为抽出的3人中满意度评级为A的人数，估计的分布列和数学期望；（Ⅲ）该研究团队又对另外两款人工智能助手进行了同样的调研，估计出其学习场景用户的满意度评级为A的概率分别为．现分别从使用这三款人工智能助手的学习场景用户中各随机抽取1人，用“”表示其中使用()的学习场景用户的满意度评级为A，用“”表示其中使用（）的学习场景用户的满意度评级为B或C．设，，判断的大小．（结论不要求证明）

（19）（本小题15分）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的上、下顶点，且．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的斜率存在且不为1的直线与椭圆交于不同的两点（均不与点重合），点与点关于原点对称，直线与直线交于点．求证：直线经过点．（20）（本小题15分）已知函数，，其中．（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）若在区间上有且只有一个零点，证明：在区间上有且只有一个零点，且；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的，证明：．

（21）（本小题15分）若数列满足如下两个性质，则称为数列：①是的一个排列；②是的一个排列．（Ⅰ）判断数列和数列是否为数列？说明理由；（Ⅱ）若数列满足，求证：数列不是数列；（Ⅲ）若数列为数列，求的最小值．（1）B（2）C （3）B（4）B （5）A（6）D（7）B（8）C（9）A （10）C（11）（12）（13）（答案不唯一） （14）（15）②③（16）解：（Ⅰ）因为，由正弦定理,得．所以．因为，所以．所以，即．又因为，所以．（Ⅱ）选择条件②：．由正弦定理，得．由余弦定理，得，解得或．经检验知有两个．当时，；当时，．选择条件③：．由余弦定理，得，解得或．以下同选条件②．（17）解：（Ⅰ）因为，平面，平面，所以平面．又因为平面，且平面平面，所以．（Ⅱ）连接，在中，因为，，所以是等边三角形，．在梯形中，因为，所以．故在中，，且，所以．又，所以．所以．又因为平面，所以．如图，建立空间直角坐标系．则．，，．设平面的法向量为，由得令，则，所以．设直线与平面所成角为，则．所以直线与平面所成角的正弦值为．（18）解：（Ⅰ）由题知，，所以．（Ⅱ）的所有可能取值为．从使用人工智能助手的所有学习场景用户中随机抽取一人，此人满意度评级为A的概率估计为；从使用人工智能助手的所有工作场景用户中随机抽取一人，此人满意度评级为A的概率估计为．所以可估计为；可估计为；可估计为；可估计为．所以的分布列为故的数学期望可估计为．（Ⅲ）．（19）解：（Ⅰ）由题意得解得．所以椭圆的方程为．（Ⅱ）依题意，直线的斜率存在且不为1．设直线的方程为．由得．由，得或又直线不经过点，故．设(，),则．由题可知，，，直线的方程为()，直线的方程为．由得所以．所以，．所以又因为所以．所以直线经过点． （20）解：（Ⅰ）的定义域为，，令，得．与在区间上的变化情况如下：＋－↗↘所以当时，取得最大值．（Ⅱ）由题设知．当时，，所以在区间上单调递增．因为在区间上有且只有一个零点，所以即所以．由（Ⅰ）可知在区间上单调递减，又，所以在区间上有且只有一个零点．因为，又，所以．又，，在区间上单调递减，所以，即．（Ⅲ）因为，设，则．设，则，所以在上单调递增．故，即，所以在上单调递增．故．所以当时，，即．又，所以．即．（21）解：（Ⅰ）因为，，，而不是的一个排列，所以数列不是数列．因为是的一个排列，又，，，，是的一个排列，所以数列是数列．（Ⅱ）假设数列为数列，则．因为与（）的奇偶性相同，所以与的奇偶性相同．所以与的奇偶性相同．又是偶数，是奇数，矛盾．所以数列不是数列． 9分（Ⅲ）因为数