2025北京二十中初三5月月考数学试题及答案

初中2025北京二十中初三5月月考数学一、选择题（本题共16分，每小题2分，各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）1.一个几何体的三视图如图所示，该几何体是A.直三棱柱 B.长方体 C.圆锥 D.立方体2.将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含角的三角尺的短直角边和含角的三角尺的一条直角边重合，则的度数是（）A. B. C. D.3.在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C．若CO=BO，则a的值为（）A.-3 B.-2 C.-1 D.14.4月18日是国际古迹遗址日．《2024国家考古遗址公园运营报告》于2025年4月27日在第六届国家考古遗址公园文化艺术周开幕式现场发布．报告显示，圆明园等全国55家国家考古遗址公园2024年全年接待游客总量达8871．58万人次，同比增长32%．将2024年全年接待游客总量用科学记数法表示约为（）A. B. C. D.5.遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动．如图是某赛道的部分通行路线示意图，某赛车从人口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该赛车从口驶出的概率是（）A. B. C. D.6.一个圆锥的底面半径的长为3，母线的长为15，则侧面展开图的面积是（）A. B. C. D.7.下面是“作的角平分线”的尺规作图方法：（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线于点C、D．（2）分别以点C、D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点M．（3）作射线．就是的平分线．上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（）A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D.三边分别相等的两个三角形全等8.如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.若代数式有意义，则实数的取值范围是______．10.分解因式：______．11.在平面直角坐标系中，反比例函数和的图象如图所示，k的值可以是___________．（写出一个即可）．12.如图所示的网格是正方形网格，则__________．13.如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD分别与⊙O相切于点C，D，若∠CPA=40°，则∠CAD的度数为______°．14.已知，则代数式的值为______．15.如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，将矩形ABCD绕顶点C顺时针旋转90°，得到矩形EFCG，连接AE，取AE的中点H，连接DH，则_______．16.现有一半径10米的圆形场地，建立如图所示的平面直角坐标系，场地圆心的坐标为．机器人在该场地中（含边界），根据指令完成下列动作：先朝其面对的方向沿直线行走距离，再在原地逆时针旋转角度，执行任务．机器人位于坐标原点处，且面对轴正方向．（1）若给机器人下达指令，则机器人至少重复执行_____次该指令能回到坐标原点处；（2）若机器人重复执行2次相同指令后位于圆心处，则应给机器人下达的指令是_____．三、解答题（本题共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）17.计算：．18.解不等式组：，并求其整数解．19.已知关于的一元二次方程．（1）不解方程，判断此方程根的情况；（2）若是该方程的一个根，求代数式的值．20.如图，在平行四边形ABCD中，DB⊥AB，点E是BC边的中点，过点E作EF⊥CD，垂足为F，交AB的延长线于点G．（1）求证：四边形BDFG是矩形；（2）若AE平分∠BAD，求tan∠BAE的值．21.临近端午，某超市准备购进小枣粽、豆沙粽、肉粽共200袋（每袋均为同一品种的粽子），其中小枣粽每袋6个，豆沙粽每袋4个，肉粽每袋2个．设购进的小枣粽袋，豆沙粽袋．（1）购进的肉粽的个数为________个（用含，的代数式表示）；（2）为了促销，超市计划将所购200袋粽子组合包装，使得其恰好全部制成，两种套装销售，套装为每袋小枣粽4个，豆沙粽2个；套装为每袋小枣粽2个，肉粽2个．①用等式表示，的数量关系为________；②若肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的，则豆沙粽最多购进多少袋？22.在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当时，对于x的每一个值，正比例函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围．23.为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，某校举行健美操比赛．最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛，团体决赛需要分别进行五个单项比赛．单项比赛和团体决赛的计分规则如下表：单项比赛计分规则五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分．团体决赛计分规则各单项比赛得分之和为团体最终成绩，最终成绩较高的班级排序靠前，若最终成绩相同，则整体发挥稳定性较好的班级排序靠前．现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下：a．甲班五个单项得分和乙班四个单项得分的折线图：b．丙班五个单项得分表：项目一二三四五得分88m949092根据以上信息，回答下列问题：（1）甲班五个单项得分的中位数为：________；（2）已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为80，84，86，83，82，则丙班第二个单项的得分________；（3）甲班与丙班相比较，排名比较靠前的是________班（填“甲”或“丙”）；（4）若最终的比赛结果乙班排名居中，则乙班第五个项目的得分可能为________（得分为整数）．24.如图，直线l与相离，于点A，与相交于点P，．C是直线l上一点，连接并延长，交于点B，且．（1）求证：是的切线；（2）若，求线段的长．25.如图1，长度为6千米的国道两侧有，两个城镇，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，连接点为和，其中、之间的距离为2千米，、之间的距离为1千米，、之间的乡镇公路长度为2.3千米，、之间的乡镇公路长度为3.2千米，为了发展乡镇经济，方便两个城镇的物资输送，现需要在国道上修建一个物流基地，设、之间的距离为千米，物流基地沿公路到、两个城镇的距离之和为干米，以下是对函数随自变量的变化规律进行的探究，请补充完整．（1）通过取点、画图、测量，得到与的几组值，如下表：/千米01.02.03.04.05.06.0/千米10.58.56.510.512.5（2）如图2，建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：①若要使物流基地沿公路到、两个城镇的距离之和最小，则物流基地应该修建在何处？（写出所有满足条件的位置）答：__________．②如右图，有四个城镇、、、分别位于国道两侧，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，若要在国道上修建一个物流基地，使得沿公路到、、、的距离之和最小，则物流基地应该修建在何处？（写出所有满足条件的位置）答：__________．26.在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，，它的对称轴为直线．（1）若该抛物线经过点，求的值；（2）当时，①若，则________0；（填“”“”或“”）②若对于，都有，求的值．27.如图，已知，是的平分线，点A是射线上一点，点A关于对称点在射线上，连接交于点，过点A作的垂线，分别交，于点，，作的平分线，射线与，分别交于点，．（1）①依题意补全图形；②求度数；（用含的式子表示）（2）写出一个的值，使得对于射线上任意的点A总有（点A不与点重合），并证明．28.对于平面直角坐标系xOy中的定点P和图形F，给出如下定义：若在图形F上存在一点N，使得点Q，点P关于直线ON对称，则称点Q是点P关于图形F的定向对称点．（1）如图，，，，①点P关于点B的定向对称点的坐标是；②在点，，中，______是点P关于线段AB的定向对称点．（2）直线分别与x轴，y轴交于点G，H，⊙M是以点为圆心，为半径的圆．①当时，若⊙M上存在点K，使得它关于线段GH的定向对称点在线段GH上，求的取值范围；②对于，当时，若线段GH上存在点J，使得它关于⊙M的定向对称点在⊙M上，直接写出b的取值范围．

参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分，各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）1.【答案】A【分析】根据三视图的形状可判断几何体的形状．【详解】观察三视图可知，该几何体是直三棱柱．故选A．本题考查了几何体的三视图和结构特征，根据三视图的形状可判断几何体的形状是关键．2.【答案】C【分析】本题主要考查了余角和补角、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握互为余角的定义是解题的关键．先根据已知条件和互为余角的定义求出，再根据对顶角的性质求出，最后根据外角的性质即可解答．【详解】解：如图所示：由题意可知：，∴，∴，∴，∵，∴．故选：C．3.【答案】A【分析】根据CO=BO可得点C表示的数为-2，据此可得a=-2-1=-3．【详解】解：∵点C在原点的左侧，且CO=BO，∴点C表示的数为-2，∴a=-2-1=-3．故选A．4.【答案】B【分析】本题考查了科学记数法，理科学记数法的表达形式的形式，其中，为整数是解答关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．【详解】解：．故选：B．5.【答案】B【分析】根据“在每个岔路口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点H、G、E、F处都是等可能情况，从而得到在四个出口H、G、E、F也都是等可能情况，然后根据概率的意义列式即可得解．【详解】解：由图可知，在每个岔路口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，赛车最终驶出的点共有H、G、E、F四个，所以，最终从点F驶出的概率为，故选：B．6.【答案】C【分析】本题考查了圆锥的计算，根据圆锥侧面积展开图公式计算即可得出答案．【详解】解：由题意得：侧面展开图的面积是，故选：C．7.【答案】D【分析】本题考查全等三角形的判定，根据作图得到，再根据，得到，即可．【详解】解：由作图过程可知，，∵，∴，∴判定的依据是三边分别相等的两个三角形全等．故选：D．8.【答案】D【分析】①根据等边三角形的性质得出，，根据旋转的性质得出，即可求证；②根据旋转的性质得出，即可证明是等边三角形；③根据等边三角形的性质得出根据全等三角形的性质得出，则，即可推出．【详解】解：①∵是等边三角形，∴，，∵绕点B逆时针旋转得到，∴，∴，即，∵，∴，故①正确，符合题意；②∵绕点B逆时针旋转得到，∴，∴是等边三角形，故②正确，符合题意；③∵是等边三角形，∴∵，，∴，∴，∴，故③正确，符合题意；综上：正确的有①②③，故选：D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.【答案】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是根据列出不等式求解．【详解】解：∵代数式有意义，∴，解得：．故答案为：

．10.【答案】m（m-2n）2【分析】直接提取公因式m，再利用完全平方公式分解因式得出答案．【详解】解：m3-4m2n+4mn2=m（m2-4mn+4n2）=m（m-2n）2．故答案为：m（m-2n）2．11.【答案】2（答案不唯一）【分析】先确定的取值范围，然后在范围内去一个值即可．【详解】如图，在上任取一点，作轴，交与点，作轴，过点作轴，设，则，∴，．∵，∴．∵，∴．∴k的值可以是2．故答案为：2．（答案不唯一）12.【答案】45°【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，求得PD2+DB2=PB2，于是得到∠PDB=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．【详解】如图，延长AP交格点于D，连接BD，，∵PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，∴PD2+DB2=PB2，∴∠PDB=90°，∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°，故答案为：45．13.【答案】50【分析】连接OC、OD，利用切线的性质得到OC⊥CP，OD⊥DP，利用四边形内角和定理得到∠COD，根据圆周角定理即可求得到∠CAD．【详解】解：连接OC、OD，如图，∵PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D，∴OC⊥CP，OD⊥DP，∵OP=OP，OC=OD，∴△POC≌△POD(HL)，∴∠CPO=∠DPO，∵∠CPA=40°，∴∠CPD=80°，∴∠COD=360°-80°-90°-90°=100°，∵∠CAD=∠COD=50°，故答案为：50．14.【答案】1【分析】本题考查分式的化简求值，根据，得到，将代数式化简后，整体代入法进行求值即可．【详解】解：∵，∴，∴原式；故答案为：1．15.【答案】【分析】根据题意构造并证明，通过全等得到，再结合矩形的性质、旋转的性质，及可求解；【详解】如图，延长DH交EF于点k，∵H是的中点又则故答案为：16.【答案】①.4②.【分析】本题主要考查了生活中的旋转现象、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形外角的性质等知识点，根据题意正确画出图形是解题的关键．（1）根据题意以及旋转的定义画出图形即可解答；（2）如图∶先解直角三角形得到，再根据题意以及等边对等角、三角形外角的性质得到，再解直角三角形求得即可解答．【详解】解：（1）如图，给机器人下达指令，第一次到大的位置，第二次到达的位置，第三次到达的位置，第四次到达的位置，∴机器人至少重复执行4次该指令能回到坐标原点O处，故答案为：4．（2）如图：∵场地圆心的坐标为，∴，∴，即，∵机器人重复执行2次相同指令后位于圆心处，∴，∴，∴，∴，∴给机器人下达指令是．故答案为：．三、解答题（本题共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）17.【答案】4【分析】本题考查实数混合运算，熟练掌握负整理指数幂、零指数幂运算法则，特殊角三角函数值是解题的关键．先计算乘方，并把特殊角三角函数值代入，求绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可．【详解】解：原式．18.【答案】，整数解为，，【分析】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的整数解即可．【详解】解：6−4x≥3x−8①解不等式，得．解不等式，得．原不等式组的解集是．该不等式组的整数解为，，．19.【答案】（1）有两个不相等的实数根（2）11【分析】（1）利用根的判别式Δ=b2-4ac判断即可．（2）将x=2代入一元二次方程x2-2kx+k2-1=0，整理得k2-4k=-3，再将-2k2+8k+5变形为-2（k2-4k）+5，代入求值即可．【小问1详解】解：∵Δ=b2-4ac=（-2k）2-4（k2-1）=4k2-4k2+4=4＞0，∴此一元二次方程有两个不相等的实数根．【小问2详解】将x=2代入一元二次方程x2-2kx+k2-1=0，得4-4k+k2-1=0，整理得k2-4k=-3，∴-2k2+8k+5=-2（k2-4k）+5=-2×（-3）+5=11．20.【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据矩形的判定证明即可；（2）根据平行四边形的性质和等边三角形的性质解答即可．【详解】证明：（1）∵BD⊥AB，EF⊥CD，∴∠ABD＝90°，∠EFD＝90°，根据题意，在▱ABCD中，AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD＝90°，∴BD∥GF，∴四边形BDFG为平行四边形，∵∠BDC＝90°，∴四边形BDFG为矩形；（2）∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵AD∥BC，∴∠BEA＝∠DAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴BA＝BE，∵在Rt△BCD中，点E为BC边的中点，∴BE＝ED＝EC，∵在▱ABCD中，AB＝CD，∴△ECD为等边三角形，∠C＝60°，∴，∴．21.【答案】（1）（2）①；②豆沙粽最多购进40袋【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式，解答本题的关键是正确的表示各种粽子的袋数，个数，根据肉粽的进货数量的要求列出不等式求解验证．（1）用200减去小枣粽和豆沙粽的袋数得到肉粽的袋数，再乘以2即可得到答案；（2）根据题意可得购进的小枣粽的个数为个，豆沙粽的个数为个，从而得到套装为套，套装为套，再由套装每袋小枣粽4个，B套装每袋小枣粽2个，可得；②根据题意可得购进的肉粽袋数为袋，然后根据肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的建立不等式求解即可．【小问1详解】解：由题意得，购进的肉粽的个数为；【小问2详解】解：①由题意得，∴；②由题意可知，，由①可知，即，∴，解得答：豆沙粽最多购进40袋．22.【答案】（1）一次函数的解析式；（2）．【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）根据题意列出关于m的不等式即可求解．【小问1详解】解：∵一次函数的图象过点，∴把代入得：，解得：，∴一次函数的解析式；【小问2详解】解：由（1）得：一次函数的解析式，当时，，当时，对于x的每一个值，正比例函数的值大于一次函数的值，∴，把代入得：，∴，即，无论m取何值，不等式均成立，∴.23.【答案】（1）92（2）83（3）丙（4）98【分析】本题考查了统计表与折线统计图，中位数，求平均数等知识，掌握这些知识，数形结合是解题的关键；（1）根据中位数的意义即可求解；（2）去掉最高分与最低分，求出三个得分的平均数即可；（3）计算两班的团体得分，即可判断；（4）由（3）的计算知，乙的第5个单项得分即可确定．【小问1详解】解：由折线统计图知，甲班得分按由低到高排列为80，83，92，93，98，则中间位置的分数是92，即中位数为92；故答案为：92；【小问2详解】解：在80，84，86，83，82中，去掉最高分86，去掉最低分80，则；故答案为：83；【小问3详解】解：甲班的团体得分为：，丙班的团体得分为：，则丙班更靠前；故答案为：丙；【小问4详解】解：由（3）知，乙的团体得分为446，则，则可能得分为98分；故答案为：98．24.【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）连接，则，利用等边对等角、对顶角相等，可得，再由可得，由垂直的性质可得，进而可得，通过等量代换可得，即可证明是的切线；（2）过点O作于D，根据正切的定义可得，设，，通过解求出x，进而求出相关线段长度，再证明，根据对应边成比例可求出，再根据等腰三角形三线合一可得．【小问1详解】证明：连接，则，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴是的切线；【小问2详解】解：如图，过点O作于D，∵，∴设，，∴，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴．25.【答案】（1）6.5，8.5；（2）见解析；（3）①之间，②点处【分析】（1）由题意分x=2以及x=4两种情况分析讨论，并将相关线段的长代入即可得答案；（2）根据表格数据先描点再连接画出函数图象即可；（3）①由图形可知，若物流基地修建在C、D两点之外，则距离会大于NC+CD+DM，从而可得答案；②结合①的结论及修建在上时，到、两个城镇的距离之和最小综合分析可得答案．【详解】解：（1）当时，点在点处，此时；当时，点在点靠近侧1处，此时．（2）描点，画图如下：（3）①由函数图象可得，当物流基地在之间时，沿公路到、两个城镇的距离之和最小．②当修建在上时，到、两个城镇的距离之和最小；当修建在上时，到、两个城镇的距离之和最小；综上，修建在点处，则到、、、的距离之和最小．26.【答案】（1）（2）①；②【分析】本题主要考查了二次函数的图象及性质，抛物线的对称轴，抛物线的增减性等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．（1）根据抛物线的图象确定对称点，根据轴对称的性质即可求出对称轴；（2）①根据抛物线的图象和性质即可得到答案；②首先确定的取值范围，分两种情况进行讨论，根据抛物线的增减性即可求得结果．【小问1详解】解：抛物线经过点和，，；【小问2详解】解：①∵，∴抛物线开口向上，∵对称轴为直线，，并且抛物线经过原点，∴当时，，故答案为：；②，，，分两种情况：情况1：当时，点在直线左侧，将点关于对称得到点，，抛物线开口向上，当时，，当时，，，，，，，当时，，，；情况2：当时，点在直线右侧，，抛物线开口向上，当时，随的增大而增大．，，，不符合题意．综上，．27.【答案】（1）见解析，；（2），证明见解析．【分析】（1）①在ON上取，根据垂线，角平分线的画法作图即可；②求出，再证明即可；（2）证明为等腰直角三角形，再证明，得到，进一步得到，证明为等腰直角三角形，得到，即可得到．【小问1详解】解：①作图如下