2025北京十三中初三12月月考数学试题及答案

初中2025北京十三中初三12月月考数学考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟．2．在试卷、答题卡的规定位置认真填写班级、姓名和准考证号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．选择题、作图题在答题卡上用2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔在答题卡上完成作答．5．考试结束，请将考试材料按监考教师要求交回．一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.3.随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元．设生产成本的年平均下降率为，下面所列方程正确的是（）A. B.C. D.4.将抛物线y＝2x2平移，得到抛物线y＝2（x﹣2）2+3，下列平移正确的是（）A.先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位，再向上平移3个单位5.如图，是的直径，，是上两点．若，则的度数为（）A. B. C. D.6.若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的弧长为（）A. B. C. D.7.小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：移植棵数成活数成活率移植棵数成活数成活率50471500133527023535003203400369700063357506621400012628下面有四个推断：①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335，所以这种树苗成活的概率是；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是；③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．其中合理的是A.①③ B.①④ C.②③ D.②④8.二次函数的对称轴是，该抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如图所示，下列结论：①；②；③；④若点在此抛物线上，则关于x的不等式的解集是．其中正确的有（）个A. B. C. D.二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为______．10.请写出一个开口向下，经过点的二次函数表达式：______．11.如图，将绕点A旋转到的位置，点E在边上，与交于点G．若，，则________．12.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，实数的取值范围是____________．13.如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解为______．14.如图，、分别切于A、B两点，并与的另一条切线分别相交于C、D两点，已知，则的周长为______．15.斛是中国古代的一种量器.据《汉书.律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”.如图所示，问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为________尺．16.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，C为平面内任意一点，且满足，则点C的横坐标的最小值是______．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出演算步骤或证明过程．17.解下列方程：．18.已知直线，在直线上方求作一点C，使得．下面是小张的作法：①分别以A，B为圆心，长为半径画弧，在直线下方交于点O；②以点O为圆心，长为半径画圆；③在上任取一点C（不与A，B重合），连接．即为所求．（1）使用无刻度的直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：在直线下方的圆弧上任取一点M（不与A，B重合），连接．∵，∴是等边三角形．∴．∵A，B，M在上，∴（________________________）（填推理的依据）．∴．∵四边形内接于，∴（________________________）（填推理的依据）．∴．19.已知二次函数．（1）将写成的形式；（2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；…………（3）当时，结合图象直接写出函数值的取值范围是__________；（4）若直线与抛物线有两个交点，直接写出的取值范围是__________．20.《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系，第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表述为：“如图，是的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长，”请你解答这个问题．21.关于x的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根为负数，求m的取值范围．22.第19届亚运会于2023年9月在杭州举办，此届亚运会的吉祥物是由如图所示的三个可爱的机器人“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”组成的．现有三张分别印有三个吉祥物的不透明卡片，三张卡片除正面图案不同外，其余均相同．（1）从这三张卡片中随机抽取一张，图案恰好是“宸宸”的概率为______；（2）从这三张卡片中随机抽取一张，记住卡片图案后将卡片放回，背面朝上洗匀，然后再从三张卡片中随机抽取一张．用列表或画树状图的方法，求两次抽到的卡片图案相同的概率（印有“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”的三张卡片依次记为A，B，C）．23.如图，等腰三角形中，，．作于点D，将线段绕着点B逆时针旋转角后得到线段，连接．（1）求的度数；（2）若，求的长．24.如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m．现以O为原点，如图建立平面直角坐标系．（1）求抛物线表示的二次函数解析式；（2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；（3）若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动米射门，才能让足球经过点O正上方处．25.如图，已知为的直径，C为上一点，连接，D为中点，过点D作，交的延长线于点E．（1）求证：为的切线；（2）连接，过点O作于点F，交于点G，若，，求的长．26.在平面直角坐标系中，点在抛物线上．（1）当时，比较m与n的大小，并说明理由；（2）若对于，都有，求b的取值范围．27.在中，，，点E是直线上一点．（1）如图1，点D是边上一点，连接，将线段绕点E逆时针旋转至，连接．①请按照要求补全图形；②若，，直接写出的面积为________；（2）连接，将绕点顺时针旋转至，连接，取的中点，连接．①如图2，点E在线段上时，请写出线段，和之间的数量关系并证明；②当点E在直线上时，请直接写出线段，和之间的数量关系．28.在平面直角坐标系中，的半径为．对于的弦和点，给出如下定义：若在上或其内部存在一点使得四边形是菱形且是该菱形的对角线，则称点是弦的“伴随点”．（1）如图，点．①在点中，弦的“伴随点”是点；②若点是弦的“伴随点”且，则长为；（2）已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的伴随点．记点的横坐标为，当时，直接写出的取值范围．

参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．题号12345678答案DBCDBBCD二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.【答案】解：点关于原点的对称点，其横坐标为，纵坐标为，因此对称点坐标为．故答案为：．10.【答案】解：设二次函数关系式为，∵该函数经过点，∴，解得，∴二次函数的表达式为．故答案为：（答案不唯一）．11.【答案】解：由旋转的性质得，，，∴，∵，，∴，∴，∴，故答案为：．12.【答案】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得，故答案为．13.【答案】解：∵抛物线与直线相交于点，，∴关于x的方程的解为，．故答案为：，．14.【答案】解：如图，设与切于点，，，分别切⊙于点，，，，，，的周长，故答案为：．15.【答案】解：如图，∵四边形CDEF为正方形，∴∠D=90°，CD=DE，∴CE是直径，∠ECD=45°，根据题意得：AB=2.5，，∴，∴，即此斛底面的正方形的边长为尺．故答案为：16.【答案】解：由题意可得，当时，，则，，当时，，则，，∵，∴，则，，取点，连接，以为圆心，以为半径画圆，如下图：则，，，由圆周角定理可得，即点在优弧上，则，则当点为圆与负半轴交点时，点C的横坐标最小，此时为，故答案为：．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出演算步骤或证明过程．17.【答案】解：，∴，．18.【答案】（1）解：如图所示，即为所求；（2）证明：在直线下方的圆弧上任取一点M（不与A，B重合），连接，，是等边三角形．．，，在上，（同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半）．．四边形内接于，（圆的内接四边形对角互补）．．故答案为：同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半；圆的内接四边形对角互补．19.【答案】（1）解：，将写成的形式为：；（2）解：列表得：…0123……00…画出函数图象如图所示：（3）解：由函数图象可得：当时，函数值的取值范围是，故答案为：；（4）解：如图：由图可得：若直线与抛物线有两个交点，的取值范围是，故答案为：．20.【答案】接：连接，设的半径为r，∵是的直径，，∴，，在中，根据勾股定理得，∴，解得，∴，即直径的长为寸．21.【答案】（1）证明：方程中，∴∴方程总有两个实数根；（2）解：或∴∵方程有一根为负数∴，∴．22.【答案】（1）解：由题知，（从这三张卡片中随机抽取一张抽到宸宸），故答案为：．（2）解：用画树状图的方法，将两次抽到的卡片绘制如下：由图可知，共有9种等可能的结果，其中两次抽到的卡片图案相同的有3种，两次抽到的卡片图案相同的概率为．23.【答案】（1）解：线段绕点逆时针旋转角得到线段，，，，，，在与中，；（2）解：，，，，，．24.【答案】（1），抛物线的顶点坐标为，设抛物线为，把点代入得：，解得，抛物线的函数解析式为：；（2）当时，，球不能射进球门．（3）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为：，把点代入得：，解得（舍去）或，当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点正上方处．故答案为：1．25.【答案】（1）解：∵D为的中点，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵为的半径，∴为的切线；（2）如图，∵，∴，由（1）可知：，∵，∴，∴，∴，∴，∴为等边三角形，∴∵，∴，，∴，由（1）知：，∴，∴∴，∴．26.【答案】（1）解：．理由：当时，抛物线解析式为，点，将代入，得：，，∴；（2）解：∵该函数解析式为，∴其图象开口向上，对称轴为直线，∴在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大．∵，∴点B在点A右侧．∵对于，都有，∴，∴当时，，即，解得：．∵对于，都有，∴，两边平方，得：，整理，得：，∴．综上可知．27.【答案】（1）①如图所示：②如图1，过点作直线于，将绕点逆时针旋转至，，，，，，，，，，，的面积，故答案为：；（2）①如图2，过点作，交直线于点，过点作交于，∵，，，，点是的中点，，，，，，，，，，，，将绕点顺时针旋转至，，，，，，，；②当E在线段上时，由①可得；如图3，当E在线段的延长线上时，过点作，交直线于点，过点作交延长线于，∵，，，，点是的中点，，，，，，，，，，，，将绕点顺时针旋转至，，，，，，，；同理，如图4，当E在线段的延长线上时，，综上所述，当E在线段上时，；当E在线段的延长线上时，；当E在线段的延长线上时，．28.【答案】（1）解：①∵，点关于对称的点分别为只有在的垂直平分线上（除的中点外），且在内部存在一点，故答案为：．②如图所示，设为的中点，,为的垂直平分线与的交点，∵∴