2025北京育才学校初三（下）开学考数学试题及答案

初中2025北京育才学校初三（下）开学考数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.如图是某几何体的视图，该几何体是（）A.圆柱 B.球 C.三棱柱 D.长方体2.春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》票房表现亮眼，截止到2月16日，累计票房已达115亿元，据相关数据显示，电影《哪吒之魔童闹海》平均票价为每张50元，据此计算电影《哪吒之魔童闹海》的观影人次用科学记数法表示约为（）A. B. C. D.亿3.七巧板是我国的一种传统智力玩具．下列用七巧板拼成的图形中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.4.如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，颜色分为灰、白二种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向白色区域的概率是（）A. B. C. D.15.已知正多边形的一个外角等于，则该正多边形的边数为（）A.3 B.4 C.5 D.66.实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示．则正确的结论是（）A. B. C. D.7.已知是不等式的解，b的值可以是（）A.4 B.2 C.0 D.8.如图，是直径，点C、D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且，则点Q所在的弧是（）A. B. C. D.二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.若代数式有意义，则实数的取值范围是______．10.方程组的解为_____．11.如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果图中是，那么的度数是_________．12.若的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数a的值_________．13.计算：______．14.已知关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是_________．15.图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，，则的值为___________．16.图1是一个正方形网格，两条网格线的交点叫做格点．甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下：游戏规则a．两人依次在网格中画线段，线段的起点和终点均为格点；b．新画线段的起点为前一条线段的终点，且与任意已画出线段不能有其它公共点；c．已画出线段的所有端点中，任意三个端点不能在同一条直线上；d．当某人无法画出新的线段时，则另一人获胜．如图2，甲先画出线段，乙随后画出线段．若这局游戏继续进行下去，最终的获胜者是________．（填“甲”，“乙”或“不确定”）．三、解答题（本题共48分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.计算：．18.解不等式组：19.如图，点B，E，C，F在一条直线上，．求证：．20.已知，求代数式的值．21.如图，四边形是矩形，点E是边上一点，．（1）求证：；（2）F为延长线上一点，满足，连接交于点G．若，求的长．22.我国是世界上最早发明历法的国家之一．《周礼》中记载：垒土为主，立木为表，测日影，正地中，意四时．如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆，正午，表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气．在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型．如图2，地面上放置一根长的杆，向正北方向画一条射线，在上取点D，测得．（1）判断：这个模型中与是否垂直．答：_________（填“是”或“否”）；你的理由是：________________________________________________．（2）某地部分节气正午时分太阳光线与地面夹角的值，如下表：节气夏至秋分冬至太阳光线与地面夹角①记夏至和冬至时表影分别为和，利用上表数据，在射线上标出点M和点N的位置；②记秋分时的表影为，推测点P位于（）A．线段中点左侧B．线段中点处C．线段中点右侧23.已知直线过点．点P为直线l上一点，其横坐标为m．过点P作y轴的垂线，与函数的图象交于点Q．（1）求k的值；（2）①求点Q的坐标（用含m的式子表示）；②若的面积大于3，直接写出点P的横坐标m的取值范围．24.如图，AB为的直径，点C在AB的延长线上，CD与相切于D，过点B作交于点E，连接AD，AE．（1）求的度数；（2）若，求BE的长．25.品味诗词之美，传承中华文明，央视节目《中国诗词大会》备受大众欢迎，节目规则如下：由100位诗词爱好者组成的百人团与挑战者共同答题，每位挑战者最多可答五轮题．每轮比赛答题时，如挑战者答对，则百人团答错的人数即为选手该轮得分；如挑战者答错，则该轮不得分，且停止答题．每轮比赛的得分之和即为挑战者的总得分．现有甲、乙、丙三人作为挑战者参加节目答题，相关信息如下：a．甲、乙两人参加比赛的得分统计图如下图，每个点的横坐标与纵坐标分别表示甲、乙两人在相同轮次的得分：b．丙参加比赛的得分统计图如下图：（说明：丙在第四轮比赛中被淘汰）根据以上信息，回答下列问题；（1）已知点A的坐标为，则此轮比赛中；甲的得分为，与甲同场答题的百人团中，有人答对；（2）这五轮比赛中，甲得分高于乙得分的比赛共有轮；甲、乙、丙三人中总得分最高的为；（3）设甲参加的第一轮至第五轮比赛时百人团答对人数的方差为，乙参加的第一轮至第五轮比赛时百人团答对人数的方差为，则（填“＞”，“＜”或“＝”）．

参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.【答案】A【分析】根据主视图和左视图都是高度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体底面形状，得到答案．【详解】解：∵几何体的主视图和左视图都是高度相等的长方形，故该几何体是一个柱体，又∵俯视图是一个圆形，故该几何体是一个圆柱，故选A．【点睛】题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．2.【答案】C【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法进行求解即可．【详解】解：电影《哪吒之魔童闹海》的观影人次为：亿，用科学记数法表示约为．故选：C．3.【答案】A【分析】根据轴对称图形的定义去逐一判断即可．【详解】解：A是轴对称图形，符合题意，不是轴对称图形，不符合题意，不是轴对称图形，不符合题意，不是轴对称图形，不符合题意，故选A．【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，准确理解定义，是解题的关键．4.【答案】B【分析】求出空白部分在整个转盘中所占的比例即可得到答案．【详解】解：∵每个扇形大小相同∴灰色部分面积和空白部分的面积相等∴落在空白部分的概率为：故选B．【点睛】此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．5.【答案】D【分析】本题考查正多边形的外角问题．根据外角和为360度，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：该正多边形的边数为；故选D．6.【答案】C【分析】根据数轴上的点所表示的数即可解答．【详解】解：A.∵a在原点的右边，∴a>0，故不正确；B.∵a在b的右边，∴a>b，故不正确；C.∵，5>0，∴，故正确；D.∵a表示的点到原点的距离比b表示的点到原点的距离近，∴，故不正确；故选C．【点睛】此题主要考查数利用数轴上的点的比较代数式的大小，绝对值的意义，以及加法法则，关键熟记数轴上的点从左至右依次增大，位于原点左边的数为负数．原点右边的数为正数，正数大于负数．7.【答案】A【分析】把x的值代入不等式，求出b的取值范围即可得解．【详解】解：∵是不等式的解，∴，解得，所以，选项A符合题意，故选：A．【点睛】此题主要考查了不等式的解和解不等式，熟练掌握不等式的解是解答此题的关键．8.【答案】D【分析】根据圆周角定理和弧角关系求解．【详解】解：如图，∵AB为⊙O的直径，P在上，∴∠APB=90°，∵∠APQ=115°，∠APQ=∠APB+∠BPQ，∴∠BPQ=25°，∴∠BOQ=2∠BPQ=50°，∵点C、D将分成相等的三段弧，∴，∴∠BOD=，∵∠BOQ<∠BOD，∴Q在上，故选D．【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆周角定理、弧角关系及直径所对圆周角大小是解题关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.【答案】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、解一元一次不等式，解决本题的关键是根据二次根式的被开方数是非负数，得到不等式，解不等式求出的取值范围即可．【详解】解：代数式有意义，，解得：．故答案为：．10.【答案】【分析】利用①＋②可消除y，从而可求出x，再把x的值代入①，易求出y.【详解】，①＋②，得3x＝9，解得x＝3，把x＝3代入①，得3＋y＝3，解得y＝0，∴原方程组的解是，故答案为.11.【答案】【分析】由平行线的性质可求得∠ABC+∠1=180°，∠ABC=∠2，据此可求得∠2.【详解】如图，∵AD//BC，∴∠2=∠ABC，∵AB//CD，∴∠1+∠ABC=180°,∴∠ABC=180°-∠1=180°-70°=110°∴∠2=110°，故答案为:110°.【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，解题时注意:两直线平行，同旁内角互补．12.【答案】答案不唯一，如：【分析】根据合并同类项和有理数的定义，即可得到答案．【详解】解：∵的值为有理数，∴，（答案不唯一）；故答案为：答案不唯一，如：．【点睛】本题考查了实数的加减运算，解题的关键是掌握两个无理数的和等于有理数的特征进行解题．13.【答案】1【分析】本题考查分式的混合运算，先计算括号内的减法，再计算乘法即可解答．【详解】解：．故答案为：114.【答案】2或【分析】由题意可得根的判别式等于0，从而得到关于m的方程，进一步可得m的值．【详解】解：由题意可得：（m+2）2-4×1×4=0，即（m+2）2=16，∴m+2=4或m+2=-4，∴m=2或m=-6，故答案为2或-6．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握根的判别式与根情况之间的联系是解题关键．15.【答案】9【分析】设直角三角形另一直角边为，然后分别用表示出两个阴影部分的面积，最后求解即可．本题主要考查了三角形和正方形面积的求法，解题的关键在于能够熟练地掌握相关的知识点．【详解】解：设直角三角的另一直角边为，则，，，．故答案为：916.【答案】乙【分析】甲先画出线段，乙随后画出线段．第三步应由甲走，只有一个方向，甲只有向下走到D，第四步应由乙走，乙从D起也只有一个方向沿斜下方走到E，第五步应由甲走，甲从E起可斜向上走到M，乙没有下一步可走即可．【详解】解：甲先画出线段，乙随后画出线段．第三步应由甲走，甲从C向右走横线到F，此时C、F、A三点在一线，不符合游戏规则，甲只有向下走到D，第四步应由乙走，乙从D向右走横线到B，与任意已画出线段不能有其他公共点，此方向不能走，如果向下走到H，此时H、D、C三点共线此路也不能走，只有沿斜下方走到E，第五步应由甲走，甲从E起向右横向走到G，此时C、B、G三点共线此路不能走，向上走到B，与已知线段有公共点，此路不能走，斜向上走到M，此时，D、B、M三点共线，不能符合规则，则甲没地方可走.最终的获胜者是“乙”．故答案为：乙．【点睛】本题考查网格游戏，利用网格线段构造多边形，要满足条件，培养分析问题与解决问题的能力，培养学习数学兴趣．三、解答题（本题共48分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.【答案】【分析】直接利用绝对值的性质和特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．【详解】解：．【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．18.【答案】【分析】本题考查解一元一次不等式组，先分别求出各不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，据此求解即可．【详解】解：原不等式组为4解不等式①，得．解不等式②，得．原不等式组的解集为．19.【答案】证明见解析【分析】根据平行得出，然后用“边角边”证明即可．【详解】证明：∵，∴．∵，∴．∴．在和中，∴．∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用已知条件，推导证明出全等三角形判定所需条件，运用全等三角形判定定理证明．20.【答案】【分析】先根据整式的运算法则把化简，再把代入计算即可．【详解】解：，∵，∴，∴原式．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，涉及到的知识有：平方差公式，单项式乘以多项式，合并同类项．在求代数式的值时，一般先化简，再把各字母的取值代入求值．有时题目并未给出各个字母的取值，而是给出一个或几个式子的值，这时可以把这一个或几个式子看作一个整体，将待求式化为含有这一个或几个式子的形式，再代入求值．运用整体代换，往往能使问题得到简化．21.【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）由矩形的性质和垂直的定义，得到，，即可得到结论成立；（2）由相似三角形的性质和矩形的性质，求出，，再证明，再利用相似三角形的性质，即可求出的长．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．（2）解：∵由（1），∴．∵矩形中，，∴．∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴，即．∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，余角的性质，以及垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确的进行解题．22.【答案】（1）是，答案见解析；（2）①作图见解析；②A．【分析】（1）活用勾股定理的逆定理判断即可；（2）①根据它们距离表的远近和角度的大小来确定；②根据夹角的大小计算判断【详解】（1）是，理由：由测量结果可知，由勾股定理的逆定理可知．故答案是：是；，由勾股定理的逆定理可知．（2）①如图，∵tan∠ADB=＞1，∴∠ADB＞45°，∵∠AMB＞∠ADB，∴点M在点D的左边；∵tan∠ADB=＞1，∴∠ADB＞45°，∵∠ANB＜∠ADB，∴点N在点D的右边；如图，点M,点N即为所求．②∵tan∠ADB=＞1，∴∠ADB＞45°，∵∠APB＜∠ADB，∴点P在点D的左边；故选A．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形两个锐角互余的性质，特殊角的三角函数值，熟练将生活问题转化数学模型求解是解题的关键．23.【答案】（1）；（2）①；②．【分析】（1）由直线过点，代入直线解析式可得，即；（2）①由P在直线上且横坐标为m，可求点P的纵坐标为，由轴，可得点Q的纵坐标为．由点Q在函数的图象上，可求点Q的横坐标为即可；②由P（m,）,Q，可求PQ=利用三角形面积公式S△POQ=，由的面积大于3，列不等式，解得：或（舍去）即可．【详解】解：（1）∵直线过点，∴，即．（2）①∵P在直线上且横坐标为m，∴点P的纵坐标为，∵轴，∴点Q的纵坐标为．∵点Q在函数的图象上，∴点Q的横坐标为．∴点Q的坐标为．②∵P（m,）,Q，PQ=，S△POQ=，的面积大于3，∴，解得：或（舍去），∴．【点睛】本题考查一次函数解析式，直线垂直y轴上的点的特征，三角形面积，解不等式，掌握一次函数解析式，直线垂直y轴上的点的特征，三角形面积，解不等式是解题关键．24.【答案】（1）45°；（2）．【分析】(1)连接OD，交BE于点F，在中CD与相切于点D，，，即可