2025北京一六一中高三（上）期中数学试题及答案

第1页/共1页2025北京一六一中高三（上）期中数学班级__________姓名__________学号__________考生须知：1.本试卷共3页，满分150分，考试时长120分钟.2.试题答案一律书写在答题卡上，在试卷上作答无效.3.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，非选择题用黑色字迹签字笔作答.4.考试结束后，将答题卡、试卷和草稿纸一并交回.一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置.1.在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则复数可取（）A.2 B.-1 C. D.2.已知直线，点和点，若，则实数的值为（）A.1 B. C.2 D.3.在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则（）A. B. C. D.4.展开式中的系数为10，则实数a等于【】A.-1 B. C.1 D.25.已知函数，则下列命题正确的是（）A.的图象关于直线对称B.的图象关于点对称C.最小正周期为，且作上为增函数D.的图象向右平移个单位得到一个偶函数的图象6.在平面直角坐标系中，直线上有且仅有一点，使，则直线被圆截得的弦长为（）A. B. C. D.7.已知A，B是的内角，“为锐角三角形"是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.对于函数﹐若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.若函数是“阶准偶函数”，则的取值范围是（）A. B. C. D.9.已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（）A. B.C. D.10.恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数的75次方是一个86位数，由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得的值为（）35711130.4770.6990.8451.0411.114A.13 B.14 C.15 D.16二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡中相应的横线上.11.若抛物线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等，则___________.12.函数在一个周期内的部分取值如下表：则的最小正周期为_______；_______．13.已知向量，，满足，与的夹角为__________.14.已知双曲线，若，则双曲线的渐近线方程为______；若双曲线上存在四个点A，B，C，D使得四边形为正方形，则m的一个取值为______．15.高斯取整函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，．有如下四个结论：①若，则；②函数与函数无公共点；③；④所有满足的点组成区域的面积为．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案填在答题卡中相应黑色框区域内.16.在中，.（1）求的大小；（2）再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：边上的高为.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.17.四棱柱中，底面是边长为1的正方形，侧面是矩形，且平面平面.（1）证明：平面平面；（2）设，若平面与平面夹角的余弦值为，求的值；（3）在（2）的条件下，求点到平面的距离.18.某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种模式的销售情况，从某地区众多门店中随机抽取8家门店，对其线下和线上这两种销售模式下的日营业额（单位：万元）进行调查．调查结果如下：门店1门店2门店3门店4门店5门店6门店7门店8线下日营业额96.5199.514.516.520.512.5线上日营业额11.591217192321.515若某门店一种销售模式下的日营业额不低于15万元，则称该门店在这种销售模式下的日营业额达标；否则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标．若某门店的日营业总额（线上和线下两种销售模式下的日营业额之和）不低于30万元，则称该门店的日营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标．（各门店的营业额之间互不影响）（1）从8个样本门店中随机抽取3个，求抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概率；（2）若从该地区众多门店中随机抽取3个门店，记随机变量X表示抽到的日营业总额达标的门店个数．以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总额达标的概率，求X的分布列和数学期望；（3）线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为和，线下日营业额和线上日营业额的样本方差分别记为和．试判断和的大小，以及和的大小．（结论不要求证明）19.已知椭圆的长轴长为，且.（1）求椭圆的方程和离心率；（2）椭圆的左、右顶点分别为，，经过点的直线与椭圆相交于不同的两点，（不与点，重合）.直线与直线相交于点，求证：，，三点共线.20.已知函数.（1）当时，求证：①当时，；②函数有唯一极值点；（2）若曲线与曲线在某公共点处的切线重合，则称该切线为和的“优切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“优切线”，求，的值.21.已知为有穷整数数列.给定正整数，若对任意的，在中存在，使得，则称为－连续可表数列.（1）判断是否为5－连续可表数列？是否为6－连续可表数列？说明理由；（2）若为8－连续可表数列，求证：；（3）若为20－连续可表数列，且，求的最小值.

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置.题号12345678910答案BBADCDABAB二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡中相应的横线上.11.【答案】由抛物线的定义可得，解得.故答案为：2.12.【答案】由图表知，当时，，当时，，所以，即,又，，所以得到，又由，得到，又，所以，故，所以，故答案为：，.13.【答案】向量，，满足，则，所以，则，所以与的夹角余弦值为，又，所以，故与的夹角为.故答案为：.14.【答案】当时，双曲线为，此时，则双曲线的渐近线方程为.双曲线，即，其渐近线方程为，要使双曲线上存在四个点满足四边形是正方形，根据正方形的对称性可得正方形的对称中心在原点，且在第一象限内的顶点横纵坐标相等，则，解得，可取.故答案为：；（答案不唯一）.15.【答案】对于①：若，则，则，，即，故①正确；对于②：函数与函数的图象如图所示，由图可得函数与函数无公共点，故②正确；对于③：当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，，故③错误；对于④：当时，，此时组成区域的面积为1，当时，，此时组成区域的面积为1，当时，，此时组成区域的面积为1，当时，，此时组成区域的面积为，综上点组成区域的面积为，故④正确．故答案为：①②④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案填在答题卡中相应黑色框区域内.16.【答案】（1）方法一：由正弦定理及，得.①因为，所以.②由①②得因为，所以.所以.因为，所以.方法二：在中，因为，由余弦定理得，整理得所以，所以.（2）若选条件①：；，所以,而，这与矛盾，故不能选①.选条件②：方法一：由余弦定理，得即，解得.所以方法二：由正弦定理，所以，因为，所以，所以.选条件③：边上的高，所以，以下与选择条件②相同.17.【答案】（1）因为侧面是矩形，所以，又平面平面.，两平面交线为，在平面内，所以平面.又在平面内，所以，又底面为正方形，所以，且为平面内两条相交直线，所以平面，又在平面内，所以平面平面；（2）由（1）知：四棱柱为直四棱柱，如图建系：则，设平面的法向量为，，所以，令，得，即易知平面的法向量为，所以，解得：；（3），所以点到平面的距离18.【答案】（1）由题可知：线下销售达标的有3家，分别是：门店3，门店6，门店7所以所求的概率为（2）由题意，日营业总额达标的概率为，的所有可能取值为：0，1，2，3，所以，，，，所以的分布列为0123所以；（3）所以所以所以19.【答案】（1）已知椭圆长轴长为，得，因为，所以，因此，椭圆方程为，由，得离心率；（2）设直线的方程为，如下图所示：联立，消去得，由韦达定理得，直线的方程为，令，得，要证三点共线，只需证，因为，所以需证，即证，将代入，化简得，即，整理为，代入韦达定理结果：左边，右边，等式成立，故三点共线.20.【答案】（1）①当时，.记，则.所以在上是增函数.所以当时，.所以当时，.②由得，且.当时，.因为，，所以.因为对任意恒成立，所以当时，.所以0是的唯一极值点.（2）设曲线与曲线的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为，其斜率分别为，，则.因为，所以.所以.不妨设，则.因为，由“优切线”的定义可知.所以.由“优切线”的定义可知，所以.当，，时，取，，则，，，，符合题意.所以.21.【答案】（1），，，，，所以是连续可表数列；易知，不存在使得，所以不是连续可表数列．（2）若,设为,则至多，6个数字，没有个，矛盾；当时,数列，满足，，，，，，，，．所以；（3）先证明.从5个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示5个数字，取连续两个数字最多能表示4个数字，取连续三个数字最多能表示3个数字，取连续