《任意角和弧度制》课件

第五章

三角函数5.1

任意角和弧度制丨必备知识解读知识点1

任意角例1-1

你的手表慢了10分钟，你是怎样把它校准的？假如你的手表快了1.5小时，你应当如何将它校准？当时间校准后，分针旋转了多少度？

图5.1-1

①④②③

知识点2

终边相同的角与象限角

AC

BC

知识点3

角度制与弧度制例3-5

［多选题］下列说法中正确的是(

)

ABC

例3-6

(天津市南开区期末)已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段弧所对的圆周角（正角）的弧度数为(

)

B

知识点4

角度与弧度的换算

B

A

AB

CA.第一象限角

B.第二象限角

C.第三象限角

D.第四象限角

知识点5

弧长公式、扇形面积公式

C

知识点6

角的终边的对称与垂直

图5.1-5

方法帮丨关键能力构建题型1

终边相同的角的表示

【学会了吗|变式题】

图5.1-6例13

写出终边在图5.1-6所示的直线上的角的集合.

题型2

象限角的判定

【解析】作出各角如图5.1-7所示.图5.1-7

AA.第一象限角

B.第二象限角

C.第三象限角

D.第四象限角

图5.1-8

【学会了吗|变式题】

BDA.第一象限角

B.第二象限角

C.第三象限角

D.第四象限角

题型3

角度与弧度的换算及应用

图5.1-10例18

用弧度分别表示终边落在如图5.1-10（1）（2）所示的阴影部分内（不包括边界（如无特别说明，边界线为实线代表包括边界，边界线为虚线代表不包括边界））的角的集合．

题型4

与扇形的弧长、面积有关的计算

C

图5.1-11

【学会了吗|变式题】图5.1-12

A

图5.1-13

A

图D

5.1-1

A

【解析】

例22

(四川省泸县四中月考)已知圆心角为2的扇形，其弧长为5，则扇形的面积为___.

例23

已知扇形的周长为定值，当该扇形面积取得最大值时，圆心角（正角）为___.2

1

D图5.1-14

图5.1-15

图5.1-16

B

高考帮丨核心素养聚焦考向

扇形的面积与弧长公式图5.1-17

高考新题型专练

ACD图5.1-19

图D

5.1-2图5.1-20

BD

练习帮·习题课A

基础练

知识测评

D

图5.1-1

B

CA.

B.

C.

D.

D图5.1-2

ACDA.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

图D

5.1-3

BD

图D

5.1-4

7.(北京市大兴区期末)“密位制”是一种度量角的方法，我国采用的“密位制”是6

000密位制，即将一个圆周角分为6

000等份，每一个等份是一个密位，那么120密位等于___弧度．

8.(江苏省淮安市期末)已知扇形的周长为30．

B

综合练

高考模拟建议时间：25分钟图5.1-3

A

图5.1-4

D

图D

5.1-5

图5.1-5

AB

图5.1-6图D

5.1-6

C

培优练

能力提升图5.1-7

探究一任意角的概念例1(多选题)下列说法不正确的是(

)A.三角形的内角不一定是第一、二象限角B.始边相同,终边相同的角不一定相等C.钝角比第三象限角小D.小于180°的角是钝角、直角或锐角答案

CD解析

A中90°的角既不是第一象限角,也不是第二象限角,故A正确;B中始边相同,终边相同的角不一定相等,如360°和720°,故B正确;C中钝角是大于-100°的角,而-100°的角是第三象限角,故C不正确;D中零角或负角小于180°,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,故D不正确.要点笔记

理解与角的概念有关问题的关键正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧,判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例即可.变式训练1(1)经过2个小时,钟表的时针和分针转过的角度分别是(

)A.60°,720°

B.-60°,-720°C.-30°,-360° D.-60°,720°(2)给出下列四个命题:①-75°是第四象限角;②225°是第三象限角;③475°是第二象限角;④-315°是第一象限角.其中正确的命题有(

)A.1个 B.2个

C.3个 D.4个答案

(1)B

(2)D解析

(1)钟表的时针和分针都是顺时针旋转,因此转过的角度都是负的,而

×360°=60°,2×360°=720°,故钟表的时针和分针转过的角度分别是-60°,-720°.(2)由题可得-90°<-75°<0°,180°<225°<270°,360°+90°<475°<360°+180°,-360°<-315°<-270°.所以这四个命题都是正确的.探究二坐标系中角的概念及其表示角度1

终边相同的角的求解例2写出与75°角终边相同的角的集合,并求在360°~1080°范围内与75°角终边相同的角.分析根据与角α终边相同的角的集合为S={β|β=k·360°+α,k∈Z},写出与75°角终边相同的角的集合,再取适当的k值,求出360°~1

080°范围内的角.解

与75°角终边相同的角的集合为S={β|β=k·360°+75°,k∈Z}.当360°≤β<1

080°时,即360°≤k·360°+75°<1

080°,又k∈Z,所以k=1或k=2.当k=1时,β=435°;当k=2时,β=795°.综上所述,与75°角终边相同且在360°~1

080°范围内的角为435°角和795°角.要点笔记

求与已知角α终边相同的角时,要先将这样的角表示成k·360°+α(k∈Z)的形式,然后采用赋值法求解或解不等式,确定k的值,求出满足条件的角.角度2

终边在某条直线上的角的集合例3写出终边在如图所示的直线上的角的集合.解

(1)在0°~360°范围内,终边在直线y=0上的角有两个,即0°和180°,又所有与0°角终边相同的角的集合为S1={β|β=0°+k·360°,k∈Z},所有与180°角终边相同的角的集合为S2={β|β=180°+k·360°,k∈Z},于是,终边在直线y=0上的角的集合为S=S1∪S2={β|β=k·180°,k∈Z}.(2)由图形易知,在0°~360°范围内,终边在直线y=-x上的角有两个,即135°和315°,因此,终边在直线y=-x上的角的集合为S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}={β|β=135°+k·180°,k∈Z}.(3)终边在直线y=x上的角的集合为{β|β=45°+k·180°,k∈Z},结合(2)知所求角的集合为S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}∪{β|β=135°+k·180°,k∈Z}={β|β=45°+2k·90°,k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·90°,k∈Z}={β|β=45°+k·90°,k∈Z}.反思感悟

终边落在x轴的非负半轴、x轴的非正半轴、x轴、y轴的非负半轴、y轴的非正半轴、y轴、坐标轴上的角的集合终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{x|x=k·360°,k∈Z};终边落在x轴的非正半轴上的角的集合为{x|x=k·360°+180°,k∈Z};终边落在x轴上的角的集合为{x|x=k·180°,k∈Z};终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为{x|x=k·360°+90°,k∈Z};终边落在y轴的非正半轴上的角的集合为{x|x=k·360°-90°,k∈Z};终边落在y轴上的角的集合为{x|x=k·180°+90°,k∈Z};终边落在坐标轴上的角的集合为{x|x=k·90°,k∈Z}.角度3

区域角的求解例4如图所示,写出顶点在原点,始边为x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界).分析(1)要注意角的起始边界与终止边界的书写;(2)注意角的终边所出现的规律性是每隔180°就会重复出现.解

(1)对于阴影部分,先取-60°~75°这一范围,再结合其规律性可得终边落在阴影部分内角的集合为{α|-60°+k·360°≤α≤75°+k·360°,k∈Z}.(2)对于阴影部分,先取60°~90°这一范围,再结合其出现的规律性可知集合为{α|60°+k·180°≤α≤90°+k·180°,k∈Z}.延伸探究

1若将本例4(1)改为如图所示的图形,那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示?解

在0°~360°范围内,阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为150°≤β≤225°,则所有满足条件的角β为{β|k·360°+150°≤β≤k·360°+225°,k∈Z}.延伸探究

2若将本例4(2)改为如图所示的图形,那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示?解

在0°~360°范围内,终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°,所以所有满足题意的角β为{β|k·360°+60°≤β<k·360°+105°,k∈Z}∪{β|k·360°+240°≤Β<k·360°+285°,k∈Z}={β|2k·180°+60°≤β<2k·180°+105°,k∈Z}∪{β|(2k+1)·180°+60°≤β<(2k+1)·180°+105°,k∈Z}={β|n·180°+60°≤β<n·180°+105°,n∈Z}.故角β的取值集合为{β|n·180°+60°≤β<n·180°+105°,n∈Z}.