线性代数方程组的迭代法

第七章线性方程组迭代法第1页§1迭代法基础

问题

在实际应用中碰到系数矩阵多为大型稀疏矩阵，如用求解线性方程组直接法求解，在计算机上会花费大量时间和存放单元。在许多应用问题中使用迭代法。第2页思绪将改写为等价形式，建立迭代,从初值出发，得到序列。研究内容：

怎样建立迭代格式？

收敛速度？

向量序列收敛条件？

误差预计？第3页普通迭代法定义1对方程组，化为等价方程组，设为任取初值，将上式写为迭代过程这种迭代过程称为逐次迫近法，B称为迭代矩阵。若称逐次迫近法收敛，不然，称逐次迫近法不收敛或发散。第4页问题：按上述思想迭代产生向量序列在什么条件下收敛于方程组Ax=b解？引进误差向量：，其中为方程组解，即有所以，要使收敛到，则需研究在什么条件下有。第5页迭代法收敛条件与误差预计引理

当k

时，Bk0

(B)<1定理1

设有线性方程组，那么逐次迫近法对任意初始向量收敛充分必要条件是迭代矩阵B谱半径

(B)<1。注：要检验一个矩阵谱半径小于1比较困难，

所以我们希望用别方法判断收敛性。

第6页注:1.因为矩阵范数都能够直接用矩阵元素计算，所以用定理2，很轻易判别逐次迫近法收敛性。2.定理2是充分条件，当找不到矩阵某一范数小于1时，并不能判断迭代法不收敛。①②定理2设线性方程组有惟一解，若存在一个矩阵范数使得||B||<1,则迭代收敛,且有以下误差预计：第7页（7.1）

1．雅克比（Jacobi）迭代法设有n阶方程组§2几个惯用迭代法第8页若系数矩阵非奇异，且(i=1,2,…,n)，将方程组（7.1）改写成第9页然后写成迭代格式（7.2）（7.2）式也能够简单地写为（7.3）第10页记,其中则雅克比迭代法矩阵形式为：(7.4)称为雅克比迭代矩阵。第11页第12页…………写成矩阵形式：2．高斯――赛得尔(Gauss-Seidel)迭代法(7.5)(7.6)其中称为高斯―赛得尔迭代矩阵。第13页定理4n阶矩阵A是严格对角占优矩阵充分必要条件是Jacobi迭代法迭代矩阵满足‖BJ‖∞<1。3．Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法收敛性定理5假如A是严格对角占优矩阵，那么Jacobi和G－S迭代法都收敛。定理6若A是n阶正定矩阵，那么G-S迭代法收敛。定理3n阶矩阵A是严格对角占优矩阵，则A非奇异，且全部对角元。第14页注意问题（1）Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法迭代矩阵不一样：BJ=D-1(L+U),BG-S=(D-L)-1U（2）Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法收敛性没有必定联络。即当Gauss-Seidel法收敛时，Jacobi法可能不收敛；而Jacobi法收敛时，Gauss-Seidel法也可能不收敛（3）Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代特征方程：第15页Jacobi迭代：Gauss-Seidel迭代：第16页用Jacobi迭代法求解收敛，但用Gauss-Seidel法不收敛。BJ特征值为0，0，0，BG－S特征值为0，2，2（4）举例：用Jacobi迭代法求解不收敛，但用Gauss-Seidel法收敛。第17页系数矩阵A是正定矩阵，所以用Gauss-Seidel法收敛。线性方程组系数矩阵为是严格对角占优，所以Jacobi和Gauss-Seidel迭代格式均收敛。第18页（1）迭代（2）加速（7.7）即§3超松驰迭代法（SOR法）

（SequentialOver-Relaxation)矩阵形式：第19页注：1.称为超松弛迭代矩阵。2.称为松弛因子。3.当时，就是G-S迭代法；当时，称为低

松弛迭代法；当时，称为超松弛迭代法。4.SOR法也称为G-S迭代法一个加速方法。5.研究SOR法就是需要找到最正确松