河南省高三上学期12月第三次联考试题数学

高三上学期第三次联考（12月）数学试题一、单选题1．已知向量，，且，则（

）A． B． C．2 D．182．已知集合，且，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．3．为了了解某小区居民10月份的用电量情况，随机抽取了该小区12户居民10月份的用电量（单位：度），得到他们的用电量数据如下：172，150，185，161，165，170，175，178，180，184，155，190．该组数据的第75百分位数是（

）A．178 B．179 C．180 D．1824．如图，在正方体中，E，F，G分别是线段BD，，的中点，则异面直线AG与EF所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．5．已知是定义在上的奇函数，则曲线在处的切线方程是（

）A． B． C． D．6．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则的最大值是（

）A． B． C．3 D．47．已知某圆柱的轴截面的周长为12，设该圆柱外接球体积的最小值为，该圆柱体积的最大值为，则（

）A． B． C． D．8．已知函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题9．若复数，则（

）A．z的实部是B．C．D．z在复平面内对应的点位于第四象限10．已知定义在上的函数满足，且，则（

）A．B．的最小值是0C．的图象关于y轴对称D．不等式的解集是11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线C右支上的点，G是的内心，记，，的面积分别为，，，且，，则（

）A．B．C．的最大值是7D．当时，三、填空题12．已知点在抛物线上，则A到抛物线C的准线的距离为．13．已知甲盒中有三个红球和两个白球，乙盒中有两个红球和两个白球，所有小球除颜色外，其他都相同．某人先从乙盒中任取两个球，放入甲盒中，再从甲盒中任取两个球，则此人从甲盒中取到的两个球颜色相同的概率为．14．已知直线与圆交于A，B两点，若a，b，c是等差数列中的连续三项，则的取值范围是．四、解答题15．在数列中，，．(1)求的通项公式；(2)求的前n项和．16．某答题比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员答2道题，若2道题都答错，则该参赛队被淘汰；若至少答对1道题，则该参赛队进入第二阶段．第二阶段由该参赛队的另一名队员答2道题．已知某参赛队由甲、乙两名队员组成，且该参赛队在第一阶段由甲答题，第二阶段由乙答题．假设甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，且每次答题的结果相互独立．(1)求该参赛队能进入第二阶段的概率．(2)现规定在第一阶段中，该参赛队员仅答对1道题，得1分；2道题都答对，得3分；2道题都答错，得0分．在第二阶段中，该参赛队员每答对1题，得1分；每答错1题，得分．记该参赛队两阶段的总得分为X，求X的分布列与数学期望．17．如图，在三棱柱中，，，，，，D是棱的中点．(1)证明：平面平面ABC．(2)求平面与平面夹角的余弦值．18．已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程．(2)直线（，）与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，连接OD（O为坐标原点）并延长，交椭圆C于点E，交直线于点H．①若，求的值．②若，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．19．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若关于x的不等式恒成立，求a的值；(3)证明：对一切的，都有．

参考答案1．C【详解】因为向量，，且，所以，解得．故选：C2．A【详解】由不等式，可得，解得，所以，又由集合，因为，所以，则，解得，所以实数的取值范围为.故选：A.3．D【详解】先将12户居民的用电量数据从小到大排序：150，155，161，165，170，172，175，178，180，184，185，190.第75百分位数的位置：，因为整数，第75百分位数是第9项与第10项数据的平均值.第9项数据为180，第10项数据为184，故第75百分位数为.故选：D4．C【详解】以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，所以，．设异面直线AG与EF所成的角为，则．故选：C．5．B【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，即对恒成立所以，解得，所以，所以，所以，，所以，所求切线方程为，即．故选：B6．A【详解】因为，由正弦定理可得，整理可得，所以，因为，则，可得，由正弦定理可得，由余弦定理可得．因为，当且仅当时，等号成立，可得，所以，且，则，可得，所以的最大值是.故选：A.7．B【详解】设该圆柱底面圆的半径为r，高为h，则，故．设该圆柱外接球的半径为R，则，当时，R取得最小值，则．圆柱的体积，当且仅当，即时，等号成立，则，．故选：B．8．D【详解】令，则，所以，，即，.当时，当时，；当时，；当时，；要使，恰有2个零点，则要求，，所以，解得.当时，当时，；当时，；当时，；要使，恰有2个零点，所以，解得.综上，的取值范围是．故选：D.9．BCD【详解】因为，则，可知z的实部是，，，故A错误，BC正确；且z在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故D正确；故选：BCD.10．ABD【详解】令，得．又，所以.选项A：，，，A正确．选项B：因为，当且仅当时，等号成立，所以B正确．选项C：因为，所以，该函数的图象关于直线对称，而非y轴，C错误．选项D：因为，所以的图象关于直线对称，且在上单调递减，在上单调递增，则，即.当，即时，不等式无解；当，即时，不等式可化为，解得或，D正确．故选：ABD11．ACD【详解】设内切圆的半径为r，则，所以，又，所以，故，A正确．作，垂足为H，则．由双曲线的定义及切线长定理可得．又，解得，，所以，B错误．因为，所以．因为，所以，C正确．延长PG交于点M．因为，所以．由角平分线定理可得，所以，所以，解得，D正确．故选：ACD12．4【详解】因为点在抛物线上，所以，所以，所以准线方程为，所以A到抛物线C的准线的距离为，故答案为：413．【详解】乙盒取2球有三种情形：取2红：概率为，此时甲盒有5红2白，从甲盒取2同色球的概率为；取2白：概率为，此时甲盒有3红4白，从甲盒取2同色球的概率为；取1红1白：概率为，此时甲盒有4红3白，从甲盒取2同色球的概率为.所求概率为：.故答案为：14．【详解】因为a，b，c是等差数列中的连续三项，所以，所以，则直线l的方程为，即，故直线过定点．由题意可知圆的圆心为，半径，设圆心到直线的距离为，因为直线恒过圆内的定点，所以的取值范围是，即，弦长是的减函数，故的最小值为当时取得，即，的最大值为当时取得，即，故的取值范围是．故答案为：.15．(1)(2)【详解】（1）因为，所以．因为，所以，所以是以为首项，3为公比的等比数列，则，故．（2）由（1）可知，则．第（2）问还可以这样解答：设数列的前n项和为．由（1）可知是以为首项，3为公比的等比数列，则，故．16．(1)；(2)分布列见详解，.【详解】（1）记第一阶段甲答对第题为事件，，该参赛队进入第二阶段为事件，由题知，，，则.（2）依题意可知，的所有可能取值为，当，即甲答对1道题且乙答对0道题时，；当，即甲答对0道题时，；当，即甲答对1道题且乙答对1道题，或甲答对2道题且乙答对0道题时，；当，即甲答对1道题且乙答对2道题，或甲答对2道题且乙答对1道题时，；当，即甲答对2道题且乙答对2道题时，.所以的分布列为：0135所以.17．(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：因为，所以．因为，，所以，则，所以．因为，平面ABC，平面ABC，且，所以平面ABC．因为平面，所以平面平面ABC．（2）解：以A为坐标原点，AC，所在直线分别为x轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由题中数据可知，，，，，则，，，．设平面的法向量为，则,令，得．设平面的法向量为，则,令，得．设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为．18．(1)(2)①；②直线过定点【详解】（1）由题意可得，解得，，则椭圆的标准方程为．（2）设，，①当直线的斜率存在，且不为时，设直线的方程为，由，得，则，因为，所以，则直线OB的方程为，同理可得，则．故；当直线，中的一条直线斜率不存在时，另一条直线的斜率为，此时，综上，．②联立，得，则，即，则，所以，，即点D的坐标为，所以，因为，所以直线OD的方程为．由，得，则，则，由，得，即点H的坐标为，则．因为，所以，得，满足，所以直线l的方程为，则直线l过定点．19．(1)答案见解析(2)1(3)证明见解析【详解】（1）由题意可得的定义域为，且．当时，在上恒成立，则在上单调递增；当时，由，得，由，得，则在上单调递增，在上单调递减