小学三年级数学下册：理解“0”在除法运算中的意义（被除数为0及中间有0的除法）教学设计

小学三年级数学下册：理解“0”在除法运算中的意义（被除数为0及中间有0的除法）教学设计

  一、设计理念与理论依据

  本教学设计以建构主义学习理论和情境认知理论为核心指导，强调数学知识不是被动接受的，而是学习者在有意义的情境中，通过主动探索、社会性互动和意义建构而获得的。除法运算中“0”的处理规则，对于三年级学生而言，并非一个孤立的、需要机械记忆的条文，而是其已有除法概念和乘法逆运算关系在特定情境下的自然延伸与逻辑必然。因此，本设计摒弃直接告知规则的传统路径，致力于创设一个连贯、真实且富有认知冲突的“猴子分桃”叙事情境。在这个大情境中，学生将化身问题的解决者，亲历从“有桃可分”到“无桃可分”再到“分的过程遇到0”的完整探究历程。通过操作学具、图示表征、列式计算、观察比较、推理归纳等一系列数学化活动，学生自主构建起“0除以任何不是0的数都得0”以及“除法竖式计算中，哪一位上的数不够商1就商0”的核心理解。这一过程不仅指向数学知识的获得，更着力于发展学生的数感、运算能力、推理意识和模型意识，实现从具体情境抽象出数学问题，并用数学语言和符号予以概括表达的深度学习目标，充分体现数学课程标准所倡导的“四基”与“四能”。

  二、课程标准与教材分析

  本课内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域“数与运算”主题。课标在第二学段（3-4年级）明确指出，要“探索并掌握多位数的除法”，“在解决简单实际问题的过程中，理解四则运算的意义，体会运算之间的关系”。本节课聚焦的“被除数为0的除法”和“商中间有0的除法”，是三位数除以一位数笔算除法中的特殊情形和关键节点，是学生对除法意义理解深度和运算能力完整性的重要检验。在北师大版教材体系中，本课时承前启后：在此之前，学生已经牢固掌握了整十、整百数除以一位数的口算，以及两位数除以一位数（商是两位数）的笔算方法，理解了除法竖式中每一步的含义。在此之后，学生将面对商末尾有0的除法以及更为复杂的连续进位、退位的除法运算。本节课所解决的“不够商1就商0”的算理和算法，是确保后续多位数除法笔算程序正确、理解透彻的基石。教材以“猴子的烦恼”为情境原型，生动展现了从“3只猴子分306个桃子”到“3只猴子分0个桃子”的问题序列，巧妙地将“0除以一个非零数”和“商中间有0”两个难点有机融合、层层递进。本设计将深度挖掘并拓展这一情境的教育价值，使其贯穿教学始终，成为学生思维发展的主线和意义建构的载体。

  三、学情分析

  从认知基础看，三年级学生已经具备了以下关键经验：一是对除法“平均分”意义的本质理解；二是熟练掌握了表内乘除法；三是初步掌握了两位数除以一位数的笔算方法，明确了从被除数高位除起、除到哪一位商就写在哪一位、余数必须比除数小的计算规则。然而，他们的思维正从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡，遇到新问题时仍需要具体表象的支持。从潜在困难与迷思概念看，学生可能面临如下挑战：第一，对“0”参与除法运算缺乏感性认识，容易混淆“0除以一个数”与“一个数除以0”的区别，后者在本学段不予涉及但可能产生自发疑问。第二，在竖式计算中，当被除数的某一位上的数是0，或该数位上的数不够商1时，学生极易产生认知冲突：是跳过这一位？还是必须写商？写商写几？为什么可以写0？这个0占不占位？第三，受加法、乘法中“0”的特性的负迁移影响，部分学生可能错误认为“0除以任何数都得0”（忽略除数不能为0），或认为竖式中写0是多余的。因此，教学必须直面这些迷思，通过充分的直观操作、算理对比和错误辨析，引导学生穿越困惑，抵达清晰、准确的理解彼岸。

  四、教学目标

  1.知识与技能：结合“猴子分桃”的具体情境，理解“0除以任何不是0的数都得0”的道理；掌握三位数除以一位数时，商中间有0的除法笔算方法和简便写法，能正确、熟练地进行计算。

  2.过程与方法：经历探索“被除数为0的除法”和“商中间有0的除法”的算理与算法的过程，通过分物活动、直观模型（小方块图、计数器）、竖式表征之间的多重关联与转化，发展几何直观和运算能力；在观察、比较、概括、辨析等活动中，提升归纳推理和逻辑思维能力。

  3.情感、态度与价值观：在解决问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，体验探索数学规律的乐趣和成功的喜悦；养成认真计算、独立思考、勇于质疑、严谨求实的数学学习习惯。

  五、教学重难点

  教学重点：理解“0除以任何不是0的数都得0”的算理；掌握三位数除以一位数商中间有0的笔算方法，理解“不够商1就商0”的占位原理。

  教学难点：理解在除法竖式中，当被除数的某一位上的数是0或不够商1时，为什么要在这一位上商0，并能正确、规范地完成计算过程，特别是处理计算过程中的余数与下一位数合并继续除的步骤。

  六、教学准备

  教师准备：多媒体课件（包含情境动画、分物过程演示、动态竖式生成图）；实物投影仪；计数器（可演示百位、十位、个位）；磁性小方块图（代表桃子，可百十个分组）；标准除法竖式书写步骤卡片；预设的学生典型错误案例素材。

  学生准备：每小组一套学具（306个小圆片或小方块，可按百、十、个分组袋装）；计数器；课堂练习本；彩色笔（用于圈画重点）。

  七、教学过程

  （一）情境创设，孕伏问题——从“有”到“无”的认知启动

  师：同学们，花果山水帘洞今天可热闹了！看，猴王带着他的猴子猴孙们正在举行分桃大会。（课件动态呈现：3只可爱的小猴子眼巴巴地望着面前堆成小山的桃子，猴王在一旁）猴王发话了：“孩儿们，这里一共有306个又大又红的仙桃，平均分给你们3只，每只分到多少个呢？”同学们，你们能帮小猴子们解决这个烦恼吗？

  生：能！用除法计算，306÷3。

  师：非常好！306÷3等于多少呢？请同学们不要着急口算或笔算，先拿出你们的学具，这306个小圆片就代表306个桃子。请你们小组合作，先想一想，这306个桃子可以怎么平均分给3只猴子？然后用学具摆一摆，分一分，看看每只猴子最终能得到多少个桃子。

  （学生小组活动，教师巡视。预设大部分学生会模仿之前两位数除以一位数的分物经验，先分整百的，再分整十的，最后分单个的。即：将3大捆（每捆100个）平均分成3份，每份1大捆（100个）；然后将剩下的0捆（十位上是0）……这时，学生会在“十位”的分物上产生停顿和疑惑。）

  师：老师发现很多小组在分完3个百之后，遇到了点小麻烦。十位上没有桃子（0个十），我们该怎么分呢？分的过程，我们能不能用竖式清晰地记录下来呢？这就是我们今天要共同挑战的核心问题。

  （设计意图：从学生已具备解决能力的“306÷3”入手，通过动手操作唤醒“先分高位，逐级分配”的除法认知结构。在操作中自然遭遇“十位上是0，无物可分”的真实困境，制造认知冲突，将本课难点“商中间有0”的问题自然且迫切地抛给学生，激发强烈的探究欲望。情境的趣味性与问题的挑战性相结合，为深度探究奠定心理基础。）

  （二）探究建模，突破难点——多维表征下的算理贯通

  第一环节：探究“0除以一个非零数为什么得0”

  师：正当小猴子们准备享受美餐时，意外发生了！（课件演示：一阵风吹过，桃山消失，3只猴子面前变得空空如也，它们满脸错愕。）哎呀，桃子不见了！现在，0个桃子平均分给3只猴子，每只猴子分到几个？

  生：（齐答）0个。

  师：算式怎么列？

  生：0÷3=0。

  师：为什么是0？谁能结合“平均分”的意思来解释？

  生：因为一个桃子都没有，无论分给几只猴子，每只猴子都得不到任何桃子，所以分得0个。

  师：解释得非常清楚。那如果是0个桃子平均分给5只猴子呢？分给10只呢？分给100只呢？

  生：都是0÷5=0，0÷10=0，0÷100=0。

  师：观察这些算式，你发现了什么规律？

  生：0除以任何数，都等于0。

  师：等等，任何数？0÷0等于多少呢？也能说等于0吗？（稍作停顿，不要求学生深入讨论）在数学上，除数不能为0，因为这是没有意义的。所以我们今天得出的重要结论是：0除以任何不是0的数，都得0。（板书核心结论：0÷任何不是0的数=0）请同学们齐读并记住这个结论，它非常重要。

  （设计意图：从具体生动的“桃子被吹走”情境引出“0÷3”，借助生活常识直观理解结果为何是0。通过多个类似算式的列举，引导学生初步归纳规律，并及时强调“除数不能为0”这一数学规定，避免形成错误概括，确保结论的严密性。此环节为后续竖式中处理“被除数某位是0直接商0”提供了坚实的算理基础。）

  第二环节：探究“306÷3”的竖式算法——解决“商中间有0”

  师：现在让我们回到最初的难题：306÷3。刚才我们在分小圆片时，先分了百位。谁能用竖式来记录我们先分百位的过程？

  （请一名学生上台板演：先写除号，里面写306，左边写3。用3去除被除数百位上的3，商1写在百位上。1×3=3，3-3=0，表示百位分完。）

  师：百位分完了，接下来该分哪一位？

  生：分十位。

  师：请把被除数十位上的“0”落下来。（学生落0）现在我们要用3去除十位上的0。请结合我们刚刚发现的规律“0除以任何不是0的数都得0”，想一想，十位上应该商几？

  生：商0。

  师：没错！那这个0应该写在竖式的什么位置上？为什么？

  生：应该写在十位上。因为我们现在分的是十位，商就要写在十位上。

  师：非常关键！这说明了我们除法竖式的一个重要规则：除到被除数的哪一位，商就要写在那一位的上面。十位上不够分1个十，但我们必须用0来占住这个位置，表示分了0个十。（教师板书：在十位上商0）接下来，0×3=0，0-0=0。十位也分完了。

  师：最后分个位，把个位上的6落下来。用3去除6，商2写在个位上。2×3=6，6-6=0，全部分完，没有剩余。

  师：我们一起来看一下完整的计算过程（课件动态演示）。306÷3=102。我们分桃的结果是每只猴子分到102个桃子。请同学们对比一下刚才我们分小圆片的过程和竖式计算的过程，它们之间有什么联系？同桌互相说一说。

  （学生讨论后汇报：竖式的每一步都对应着分物的过程。百位商1对应先分300个桃子，每只100个；十位商0对应十位上没有桃子（0个十），每只分到0个十；个位商2对应最后分6个桃子，每只2个。）

  师：太棒了！你们找到了“形”（分物）与“数”（竖式）的完美对应。这个竖式中，十位上的0起到了什么作用？

  生：占位的作用。如果没有这个0，商就变成了12，那就完全错了。

  师：是的，这个0标志着我们思考了十位上的分配情况，虽然结果是0，但步骤不能省略。它保证了商的数位正确，102表示1个百、0个十、2个一。请同学们自己在练习本上规范地书写一遍306÷3的竖式计算过程。

  （教师巡视，强调格式和书写步骤。）

  （设计意图：此环节是教学的核心与难点。通过“分物操作—口算思考—竖式记录”三者的紧密结合，将抽象的竖式每一步都赋予具体的“分”的含义。重点突破“十位上落下的0除以3，商0”这一步骤，将前一环节的规律“0÷3=0”自然迁移应用到竖式计算中，并深刻阐释“商0占位”的必要性。通过追问“0的作用”，引导学生从数位和数值的角度理解竖式的严谨性，实现算理与算法的统一。）

  第三环节：探究“832÷4”的竖式算法——解决“不够商1就商0”

  师：分桃大会还在继续，又来了一批猴子。现在有832个桃子，要平均分给4只猴子，每只分到多少个？（板书：832÷4）请同学们先估一估，商大约是几百多？是三位数吗？

  生：商是三位数，大约200多，因为800÷4=200，所以商肯定比200大。

  师：估得有理有据。现在请大家尝试独立用竖式计算，遇到困难可以借助计数器拨一拨，或者和同桌小声讨论。

  （学生自主尝试，教师巡视，收集典型算法，特别是错误算法。）

  师：老师发现了几种不同的做法，我们一起来看看。（利用实物投影展示）

  展示正确算法：百位商2，2×4=8，8-8=0；落下十位3，用4除3，不够商1，在十位上商0；落下个位2，与十位剩下的3合并成32，32÷4=8，在个位商8。

  展示典型错误一：百位商2后，落下3，发现3÷4不够，直接跳过十位，把2落下来，用4除2，也不够，就再商0……结果混乱。

  展示典型错误二：百位商2后，落下3，3÷4不够，就在十位随便写了一个数（如1），然后1×4=4，发现4比3大，减法没法做，意识到错误。

  师：针对这些做法，我们来一场小辩论。请认为第一种做法正确的同学说说理由；也请出现后面两种困惑或错误的同学说说你当时是怎么想的。

  生（正确方）：我们从百位除起，百位分完了。分十位时，十位上是3，表示3个十。3个十平均分成4份，每份连1个十都得不到，所以十位上只能商0。这个0必须写，不然数位就乱了。然后我们把个位的2落下来，和十位剩下的3个十（其实就是30）合起来是32，表示32个一，再平均分成4份，每份8个一，所以在个位商8。

  生（错误方反思）：我当时觉得十位上不够除，就想跳过去直接除个位，没想到怎么处理那个3。

  师：谢谢你们的坦诚分享。这里的关键在于，当十位上的3除以4不够商1时，我们必须在十位上商0。这个0同样起着占位的作用，告诉我们：思考了十位的分配，结果是0个十。然后，十位上这个没被分掉的“3”（表示3个十，即30），要和下一位（个位）上的数合并起来继续分。在竖式里，我们就是把个位上的2落下来，和十位余下的“3”组成“32”，再除以4。谁能用我们桌上的计数器来演示一下这个过程？

  （学生上台演示：先在计数器百位上拨8个珠，表示800；平均分成4份，每份在百位得2个珠，分掉800，百位清空。然后把十位上的3个珠落下，表示30；想平均分成4份，每份十位得不到整珠，所以十位商0；最后把个位上的2个珠落下，与十位的3个珠（即30）合起来是32，平均分成4份，每份在个位得8个珠。）

  师：计数器演示得太清晰了！它直观地告诉我们：高位剩下的，必须和低位合起来继续分，而不能跳过。现在，请同学们修正或完善自己的竖式计算，并思考：今天学习的商中间有0的除法，和之前学习的除法，在计算方法上最大的不同点是什么？

  生：最大的不同就是，当除到被除数的某一位，如果这位上的数比除数小，不够商1时，就要在这一位上商0，然后把它和下一位上的数合起来再继续除。

  师：完美总结！（板书计算法则要点：除到被除数的哪一位，就把商写在那一位上；如果哪一位不够商1，就在那一位上商0占位，再把下一位上的数落下来，和余下的数合起来继续除。）

  （设计意图：通过更具挑战性的832÷4，将探究从“被除数某位是0”延伸到“被除数某位上的数小于除数”，完善“不够商1就商0”的认知。采用尝试计算、暴露错误、对比辨析、学具验证、总结归纳的渐进式策略，让学生亲历“困惑-冲突-反思-明晰”的完整思维过程。特别是对典型错误的剖析和计数器的动态演示，使学生深刻理解“不能跳过”、“必须占位”、“余数合并”的道理，从而内化计算法则。从特殊（306）到一般（832），学生的认知得以升华。）

  （三）分层练习，巩固内化——从“理解”到“熟练”的技能形成

  1.基础巩固练习——“森林医生”（改错题）

   出示三道竖式错误计算：

   a)609÷3=23（错误：十位没商0占位）

   b)750÷5=150（错误：十位除尽后，个位0未落直接写商，步骤缺失）

   c)424÷4=16（错误：十位上2÷4不够，未商0，且处理混乱）

   师：小动物们也在学习除法，但它们病倒了。请你们扮演数学小医生，诊断它们错在哪里，并开出“处方”（写出正确竖式）。

   （学生独立完成，重点说明错误原因及改正依据，巩固算理。）

  2.技能形成练习——“分桃子大赛”（竖式计算）

    804÷2=  636÷6=  721÷7=  525÷5=

    （要求：先判断商是几位数，再笔算。完成后同桌交换批改，并互相说说计算过程。）

  3.综合应用练习——“解决猴子新烦恼”（解决问题）

    （1）花果山快递站要包装840个仙桃，每盒装6个，可以装满多少盒？

    （2）如果每8个仙桃装一礼盒，准备100个礼盒够吗？

    （3）（拓展）猴王买了404颗一模一样的糖果，平均分给若干只小猴子，每只小猴子分到的糖果数一样多且超过10颗。分完后，还剩4颗糖果不够分。猜一猜，可能有多少只小猴子？每只分到多少颗？

    （设计意图：练习设计遵循“循序渐进、螺旋上升”的原则。“森林医生”针对常见错误进行辨析，强化易错点，深化算理理解。“分桃子大赛”提供适量、变式的笔算练习，促使技能自动化。解决问题将计算置于真实情境中，培养应用意识，第（1）（2）题巩固本课知识，第（3）题作为弹性拓展，渗透有余数除法和推理，满足学有余力学生的需求。整个练习环节注重反馈的及时性和层次性。）

  （四）总结反思，拓展延伸——从“课堂”到“思维”的持续生长

  师：同学们，今天的“分桃大会”即将落幕，我们帮助猴子们解决了烦恼，我们自己也有了丰厚的收获。现在，请大家闭上眼睛，回顾一下这节课的探索之旅，然后分享：你学到了什么？印象最深的是什么？还有什么疑问？

  生1：我学到了0除以任何不是0的数都得0。

  生2：我学会了商中间有0的除法竖式，关键是哪一位不够商1，就在那一位上商0占位。

  生3：我印象最深的是用计数器演示832÷4，让我明白了为什么不够除时要和下一位合起来。

  生4：我有一个问题，如果是4000÷8，中间有好几个0，该怎么算呢？

  师：太棒了！同学们不仅总结了知识，还提出了非常有价值的新问题。确实，当被除数中间有连续几个0，或者末尾有0时，除法计算又会有什么特点呢？这就是我们下节课要继续探索的旅程。知识就像一棵大树，今天我们在“商中间有0”这根枝干上留下了坚实的足迹。请同学们课后完成作业单，并找一找生活中哪些地方可能会用到今天学的除法知识。

  （设计意图：通过引导学生自主回顾、梳理和提问，将零散的知识点整合成结构化的认知网络。学生的分享既是学习成果的展示，也是思维过程的再现。教师通过肯定和提炼，强化本课的核心思想。以学生提出的关于“更多0”的问题作为结课点，巧妙地将本课知识置于更广阔的知识链条中，激发学生持续探究的欲望，实现了课的结束成为新思考的开始。）

  八、板书设计

  （黑板左侧为情境核心区，右侧为算理算法区，布局清晰，突出重点，体现过程。）

          猴子的烦恼——商中间有0的除法

                             （新标题）

          情境：               探究：

          306个桃→3只猴        306÷3=102

          0个桃 →3只猴         0÷3=0

          832个桃→4只猴        832÷4=208

                           核心发现：