福建厦泉五校2025-2026学年高一下学期期中联考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页福建厦泉五校2025-2026学年高一下学期期中联考数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.(1+5i)i的虚部为()A.-1 B.0 C.1 D.62.中，角所对的边分别为，若，则（

）A. B. C. D.或3.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（

）

A. B.

C.四边形的面积为 D.四边形的周长为4.如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（

）

A. B.

C. D.5.已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（

）A. B. C. D.6.已知直三棱柱()A. B. C. D.7.如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，对称中心为O，以O为圆心作半径为1的圆，点M为圆O上任意一点，则的取值范围为

（

）

A.[-6，4] B.[0，8] C.[-8，0] D.8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边△ABC，若，则AC＝（

）.​​​​​​​A.8 B.7 C.6 D.5二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知都是复数，下列选项中正确的是（

）A.若，则或 B.若，则

C.若，则是实数 D.若，则10.的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是（

）A.若，则

B.若，则是等腰三角形

C.若，则是锐角三角形

D.若，则是等腰直角三角形11.下列说法正确的是（）A.已知向量，，且，则

B.向量，，则“的夹角为锐角”是“”的充要条件

C.若，、分别表示、的面积，则

D.在中，向量与满足，且，则为等边三角形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量，的夹角为，，，则

．13.在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的顶点是圆柱的下底面中心，这个几何体的表面积为

.

14.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心，已知，则当角C取到最大值时△ABC的面积为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知复数，复数在复平面内对应的点为(1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值：(2)若复数满足，求复数的共轭复数.16.(本小题15分)已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中.(1)若，且，求；(2)若，且，求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值.17.(本小题15分)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.问题：的内角，，的对边分别为，，.已知______.(1)求；(2)若为的中点，，，求的面积.18.(本小题17分)如图是在沿海海面上相距海里的两个哨所，位于的正南方向.哨所在凌晨1点发现其南偏东方向处有一艘走私船，同时，哨所也发现走私船在其东北方向上.两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于点南偏西的点，且与相距海里，试求：(1)刚发现走私船时，走私船与哨所的距离；(2)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度？(3)若缉私艇得知走私船以海里/时的速度从向北偏东方向逃窜，立即以30海里/时的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？19.(本小题17分)现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.​​​​​​​(1)若，，求该几何体的体积.(2)若正四棱锥的侧棱长为，，（i）求正四棱锥的侧面积.（ii）若，分别是线段，上的动点，求的最小值.

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】ACD

10.【答案】AD

11.【答案】ACD

12.【答案】2

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】解：（1）由题意知，z2=3-4i,

因为复数z2是关于x的方程x2+mx+n-1=0的一个根，

所以（3-4i）2+m（3-4i）+n-1=0，

即3m+n-8-（4m+24）i=0，

即，

解得m=-6，n=26，所以m+n=20；

（2）由题意可得，

∴．

16.【答案】解：（1）因为，且，所以设，所以，解得，所以或.（2）由，得，所以，因为，，可得，因为，所以，当且仅当，时取等号.所以.设与夹角为，则此时.

17.【答案】解：（1）若选①，由正弦定理可得，因为，所以，即，因为，所以，所以，则.若选②，则，由正弦定理可得，又，所以，即，因为，所以.若选③，则，由正弦定理可得，即，所以，所以，又，所以，因为，所以.（2）因为为的中点，所以，因为，所以，即，解得或（舍去），所以.

18.【答案】解:(1)由C在A的南偏东,在B的东北偏方向,ABC=,CAB=,ACB=,由正弦定理得=,=,=(+)=+=,代入上式得:AC=10海里,答:走私船C与观测点A的距离为10海里;(2)ABC中,AC=10海里,AC=20海里,DAC=,=+-2ADAC,=300+1200-21020,=900解得DC=30海里,易知ADC=,故刚发现走私船时,走私船距缉私艇30海里,在缉私艇的北偏东方向上.

(3)设t小时后缉私艇在M处追上走私船,则MC=10t,DM=30t,

DCM=+=,

在CDM中,由余弦定理得=+-2DCMC,

=+900-210t30,化简得-t-3=0,

解得t=.

​​​​​​​故缉私艇至少需要小时追上走私船.

19.【答案】解：（1）由条件可知，正四棱柱的高O1O=8，

所以正四棱柱的体积为6×6×8=288，

三棱锥P-A1B1C1D1的体积为，

所以该几何体的体积为288+24=312；

（2）（i），

所以，

正四棱锥P-A1B1C1D1侧面的高为，

所以正四棱锥的侧面积为；

（ii）如图，将长方形ABB1A1，△P