福建省莆田市城厢区擢英中学2025-2026学年九年级下学期模拟考试卷数学试题（含答案）

2025-2026学年擢英中学九年级下模拟考试卷数学试题一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.-4的倒数是（）A.B.4C.D.-42.下列图案中，不是中心对称图形的是（）A.B. C. D.3.稀土是加工制造国防、军工等工业品不可或缺的原料.据有关统计数据表明：我国已探明稀土储量约4400万吨，居世界第一位.用科学记数法表示44000000为（）A.44×10⁶B.4.4×10⁷C.4.4×10⁸D.0.44×10⁹4.将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体可以是（）A.B.C.D.5.下列计算正确的是（）A.a³+a²=a⁵B.[(-a)²]³=a⁶C.3a+2a=5a²D.a³·a³=a⁹6.一个正比例函数的图象经过点A(6,a)和点B(b,9).若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（）A.B.C.D.7.滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm,当重物上升6πcm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为（）A.36°B.54°C.72°D.108°第7题8.如图，在一块长15m,宽10m的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为xm.若种植花苗的面积为112m²,依题意可列方程为（）A.10x+15×2x=150-112B.10×2x+15x=150-112C.(10—2x)(15—x)=112D.(10—x)(15—2x)=112第8题9.如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE,点D恰好在BC上.若∠CAE=54°,则∠ADE的度数为（）A.45°B.54°C.60°D.63°10.如图，下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子，按照此规律排列下去，第图⑨的棋子数为（）A．53 B．69 C．85 D．100二．填空题（每题4分，共24分）11.若代数式有意义，则实数x的取值范围是.12.已知反比例函数若它的图象在每个象限内y随x的增大而增大，写出一个符合条件的a的值：.13.一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12,9,11,8,则第5组的频率是.(用小数表示)14.如图，为了测量河宽AB(假设河的两岸平行),在河的彼岸选择一点A,在点C处测得∠ACB为30°,点D处测得∠ADB为60°,若CD=60m,则河宽AB为m.(结果保留根号)第14题图第16题图15.已知点A(-3,y₁),B(2,y₂),C(3,y₃)在抛物线y=x²-2x+c上，则y₁,y₂,y₃的大小关系是.16.如图，在矩形纸盒ABCD中，恰好能放进两个外切且均以r为半径的圆形纸片，已知⊙O₁与AD,AB相切，⊙O₂与CB,CD相切，其中AB=9,AD=8,则r的值为.三、解答题(9小题，共86分）)17.（8分）计算：18.（8分）如图，已知点A,E,F,C在同一直线上，AF=CE,∠B=∠D,AD//BC,求证：AD=BC.19.（8分）先化简，再求值:，其中是满足条件的合适的非负数.20.（8分）某校甲、乙两班联合举办了“趣味数学”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据(成绩)进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息.【收集数据】甲班10名学生竞赛成绩：85,78,86,79,72,91,79,71,70,89乙班10名学生竞赛成绩：85,80,77,85,80,73,90,74,75,81【整理数据】班级70≤x<8080≤x<9090≤x≤100甲班631乙班451【分析数据】班级平均数中位数众数方差甲班80ab51.4乙班808080,85C【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：(1)直接写出：a=,b=,并计算c的值；(2)请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由；(3)甲班共有学生45人，乙班共有学生40人，按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少?21.（8分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AD>AB.(1)作∠BAD的平分线交BC于点E,在AD上截取AF=AB,连接EF;(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)写出四边形ABEF的形状并证明.22.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,以AB为直径作⊙O,过点C作直线CD交AB的延长线于点D,使∠BCD=∠A.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DE平分∠ADC,且分别交AC,BC于点E,F,当CE=2时，求EF的长.23.(10分)已知抛物线y=ax²—4ax+12(a为常数，a≠0).(1)求该抛物线的对称轴；(2)若抛物线与x轴的两个交点分别为点A,B(点A在原点O的左侧),OB=3OA.①求a的值；②设m<2<n,抛物线的一段y=ax²-4ax+12(m≤x≤n)夹在两条均与x轴平行的直线l₁,l₂之间.若直线l₁,l₂之间的距离为9,求n-m的最大值.24.(12分)阅读材料，回答问题.由自然数1,2,3,4,…,n组成的一列数称为一个排列，一个排列的形式可以是递增、递减或随机无序的.我们把按从小到大的递增排列叫做顺序排列，如：1,2,3,4,…,n就是一个顺序排列.显然，随机给定一列数，它的顺序排列是固定且唯一的.对于不是顺序排列的一列数，它必然存在数;排在;之前但是>,此时我们称(a,a)为一个反序对.一个排列a₁,a₂,a₃,…,a的所有反序对的总个数称为这个排列的反序数，记为N(a₁,a₂,a,...,a),例如，N(4,3,1,2)=5.若一个排列的反序数是奇数，则称这个排列为奇排列；若反序数是偶数，则称这个排列为偶排列.(1)N(4,1,3,2)=;它是一个排列；(2)在以1,2,3组成的所有排列中随机抽取一列，求抽取的排列满足反序数大于1且为偶排列的概率；(3)将排列中相邻的两个数互换位置称为相邻对换.排列(4,1,5,3,2)至少要通过多少次相邻对换才能得到顺序排列?请简要说明；(4)证明：在一个有n个数的排列中，如果将任意两个数互换位置，其余数不动，则该排列的奇偶性一定发生改变。25.(14分)在△ABC中，∠ACB=90°,将△ABC绕点C旋转得到△DEC,点A的对应点D在边AB上，连接BE.(1)如图1,求证：△BCE∽△ACD;(2)如图2,当BE=4,BD=3时，求AC的长；(3)如图3,过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F,连接DF交BC于点K.①求证：△EFC≌△BDC;②当时，求的值.图1图2图32025-2026学年擢英中学九年级下模拟考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题题号123456789CDBABDDCDC二、填空题11.x>212.12.-1(答案不唯一)13.0.214.3015.y₁>y₃>y₂16.2.5解：连接,则=2r根据勾股定理（9-2r）+（8-2r）=（2r）4r-36r+145=0r=2.5三、解答题17.解：原式=1-21+3-3+1+1=1818.证明：∵AD//BC∴∠A=∠C在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE(AAS)19.解：∵x≠0且x—2≠0∴x≠0且x≠2∴x=120解：(1)79,79乙班的方差为(2)乙班成绩比较好，理由如下：两个班的平均数相同，乙班的中位数、众数高于甲班，方差小于甲班，代表乙班成绩比甲班稳定，所以乙班成绩比较好(3)(人)答：估计这两个班可以获奖的总人数大约是42人21.如图,EF即为所求(2)四边形ABEF是菱形，证明如下：∵AE平分∠BAD∴∠BAE=∠DAE∵四边形ABCD是平行四边形∴AD//BC∴∠BEA=∠DAE∴∠BEA=∠BAE∴BE=AB∵AF=AB∴AF=BE又∵AF//BE∴四边形ABEF是平行四边形又∵AF=AB∴平行四边形ABEF是菱形.22.(1)证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°,以AB为直径作⊙O∴点C在⊙O上如图，连接OC∵∠ACB=90°∴∠A+∠ABC=90°∵OC=OB∴∠ABC=∠OCB又∵∠BCD=∠A∴∠BCD+∠OCB=90°即∠OCD=90°∵OC是⊙O的半径∴CD是⊙O的切线；(2)解：∵DE平分∠ADC∴∠CDE=∠ADE又∵∠BCD=∠A∴∠A+∠ADE=∠BCD+∠CDF即∠CEF=∠CFE∴CE=CF=2∵∠ACB=90°∴EF=23.解：(1)∴该抛物线的对称轴为直线x=2;(2)①令y=0,则y=ax²—4ax+12=0设该方程的两根为x₁,x₂(x₁<x₂)∵点A在原点O的左侧，OB=3OA∴x₂=-3x1∴x₁+x₂=4,即x₁+(-3x₁)=4∴x₁=-2,x₂=6把(-2,0)代入y=ax²-4ax+12得a(-2)²-4×(-2)a+12=0解得a=-1;②∵a=-1∴该函数的表达式为y=-x²+4x+12=-(x-2)²+16∴该抛物线的顶点坐标为(2,16)∵该抛物线的一段y=-x²+4x+12(m≤x≤n)夹在两条均与x轴平行的直线l₁和l₂之间，且m<2<n如图，上方的平行线不能在顶点(2,16)下方∵直线l₁和l₂之间的距离为9∴要使n—m最大，则直线l₁经过顶点(2,16)此时直线l₂为y=16-9=7当y=-(x-2)²+16=7时解得x₁=-1,x2=5∴n—m的最大值为5-(-1)=6.24.(1)4,偶(2)解：易知1,2,3可以组成六个排列，其反序数及奇偶性分别为：①N(1,2,3)=0,为偶排列；②N(1,3,2)=1,为奇排列；③N(2,1,3)=1,为奇排列；④N(2,3,1)=2,为偶排列；⑤N(3,1,2)=2,为偶排列；⑥N(3,2,1)=3,为奇排列所以(3)解：至少要经过6次相邻对换(4,1,5,3,2)中将5向右做2次相邻对换得到(4,1,3,2,5);再将4向右做3次相邻对换得到(1,3,2,4,5);再将3向右做1次相邻对换得到顺序排列(1,2,3,4,5);(4)证明：设对换位置的两个数为a,b,则这两个数有相邻和不相邻两种情况：I.若这两个数相邻，即将排列(…,a,b,…)变成新排列(…,b,a,…)通过观察可知，变换后的排列，其反序对的变化与a,b之外的数无关①若a<b,则变换位置后，反序对增加1,新排列的反序数增加1,奇偶性改变②若a>b,则变换位置后，反序对减少1,新排列的反序数减少1,奇偶性改变所以可以得到结论：经过一次相邻对换，排列的奇偶性一定发生改变Ⅱ.若a,b不相邻，设中间有k个数即将排列(...,a,C₁,C₂,C₃,...,Ck,b,...)变成新排列(...,b,c₁,C₂,C₃,...,Ck,a,...),可以分为以下两步：①将a向右进行相邻对换，通过k+1次相邻对换得到(…,C₁,C₂,C₃,…,Ck,b,a,…),②再将b向左做相邻对换，通过k次相邻对换到达a原来的位置，得到最终的排列(…,b,c₁,C₂,C₃,…,Ck,a,…)总共进行了k+1+k=2k+1次相邻对换，易知2k+1为奇数上述已经证明结论：每经