平行四边形的判定课件2025-2026学年数学人教版八年级下册

平行四边形的判定(1)

21.2.2平行四边形的判定∵AD＝CB，AB＝CD，BD＝DB，

∴△ABD≌△CDB(SSS). ∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD. ∴AB∥CD，AD∥BC. ∴四边形ABCD是平行四边形．【推导】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD.求证：四边形ABCD是平行四边形．

证明：如图，连接BD. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AD＝CB，AB∥CD，∠A＝∠C. ∵AE＝CF，∴△ADE≌△CBF(SAS).∴DE＝BF. ∴AB－AE＝CD－CF，即BE＝DF. ∴四边形DEBF是平行四边形．

如图，在▱ABCD中，E，F分别在边AB，DC上，且AE＝CF.求证：四边形DEBF是平行四边形．证明：∵∠A＋∠C＋∠B＋∠D＝360°，

又∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，

∴2∠A＋2∠B＝360°，即∠A＋∠B＝180°. ∴AD∥BC.同理得AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形．

【推导】如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠D＝∠B.求证：四边形ABCD是平行四边形．

若四边形ABCD是平行四边形，则∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能为()A．1∶2∶3∶4B．1∶2∶4∶3C．1∶2∶2∶1D．1∶2∶1∶2D证明：∵OA＝OC， ∠AOD＝∠COB，OD＝OB，

∴△AOD≌△COB(SAS). ∴AD＝BC. 同理可证，AB＝CD. ∴四边形ABCD是平行四边形．【推导】如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD.求证：四边形ABCD是平行四边形．(RJ八下P60例4·改编)如图，在四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且E，F分别是OA，OC的中点，四边形BFDE是平行四边形．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵四边形BFDE是平行四边形，

∴OE＝OF，OB＝OD. ∵E，F分别是OA，OC的中点，

∴AE＝OE＝OF＝CF. ∴OA＝OC. 又∵OB＝OD，

∴四边形ABCD是平行四边形．

1.如图，在四边形ABCD中：

(1)如果AB∥CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是_____________．

(2)如果∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝a∶b∶a∶b(a，b为正数)，那么四边形ABCD是_____________．

(3)如果AB＝5cm，AD＝9cm，那么当CD＝____cm，BC＝____cm时，四边形ABCD是平行四边形．

平行四边形9平行四边形52.(RJ八下P61T2·改编)如图，AB＝DC＝EF，AD＝BC，DE＝CF.下列说法不一定正确的是()A.AD∥BCB．DE∥CFC．AC＝BDD．AB∥EFC3.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝CD，添加条件________________________，可得四边形ABCD为平行四边形(只需添加一个条件). AD＝BC(答案不唯一)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD. 又∵∠1＝∠2，∴∠B＋∠1＝∠D＋∠2，

∠BAD－∠1＝∠BCD－∠2，

即∠AEC＝∠AFC，∠EAF＝∠ECF. ∴四边形AECF是平行四边形．

4.如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是边BC，AD上的点，∠1＝∠2.求证：四边形AECF是平行四边形．证明：∵△ABD和△BCE都是等边三角形，

∴AB＝AD＝BD，BC＝BE， ∠DBE＋∠EBA＝∠ABC＋∠EBA＝60°. ∴∠DBE＝∠ABC. 在△ABC和△DBE中，5.(创新意识·核心素养)如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．求证：四边形ADEF是平行四边形．

∴△ABC≌△DBE(SAS).∴AC＝DE. 又∵△ACF是等边三角形，

∴AF＝AC.∴DE＝AF. 同理可证△ABC≌△FEC(SAS)，

∴AB＝FE.∴AD＝EF. ∴四边形ADEF是平行四边形．

平行四边形的判定(2)【推导】(RJ八下P61思考·改编)如图，在四边形ABCD中，ABCD.求证：四边形ABCD是平行四边形．

∵AB∥CD，∴∠1＝∠2. 又∵AB＝CD，AC＝CA，

∴△ABC≌△CDA(SAS).∴BC＝DA. 又∵AB＝CD，

∴四边形ABCD是平行四边形．证明：如图，连接AC. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC. ∵E，F分别是边BC，AD的中点，

∴AF＝CE. 又∵AF∥CE，

∴四边形AECF是平行四边形．

(RJ八下P62例5·改编)如图，在▱ABCD中，E，F分别是边BC，AD的中点．求证：四边形AECF是平行四边形．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别在BA，DC的延长线上，且AE＝AB，CF＝CD.求证：AF∥CE.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD. ∵AE＝AB，CF＝CD，

∴AE＝CF. 又∵AE∥CF，

∴四边形AECF是平行四边形．

∴AF∥CE.如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD边于点E，DF平分∠ADC交BC边于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？解：四边形BFDE是平行四边形．理由如下：

在▱ABCD中， ∠ABC＝∠ADC，∠A＝∠C. ∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，

∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，

∠CDF＝∠ADF＝∠ADC. ∴∠CDF＝∠ADF＝∠ABE＝∠CBE. ∵∠DFB＝∠C＋∠CDF，∠BED＝∠A＋∠ABE，

∴∠DFB＝∠BED. ∴四边形BFDE是平行四边形．

1.如图，要使四边形ABCD为平行四边形，则需要添加的条件是()A.∠B＝∠AB．AD＝BCC．AB＝DCD．∠B＋∠C＝180°C证明：∵∠A＝∠C， ∠1＝∠2，BD＝DB，

∴△ABD≌△CDB(AAS). ∴AB＝CD，AD＝CB. ∴四边形ABCD是平行四边形．

2.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是平行四边形．

3.如图，在▱ABCD中，E，F分别是边BC，AD上的点，有下列条件：①AE∥CF；②BE＝FD；③∠1＝∠2；④AE＝CF.若添加其中一个条件，使四边形AECF一定是平行四边形，则添加的条件可以是__________(填序号). ①②③4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF＝DE，连接AF，CE.求证：AF∥CE. 证明：∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AB＝CD，AB∥CD. ∴∠ABD＝∠CDB. ∴∠ABF＝∠CDE. 又∵BF＝DE，∴△ABF≌△CDE(SAS). ∴∠AFB＝∠CED.∴AF∥CE. 5.(创新意识·核心素养)如图，在四边形ABCD中，E，F在BD上，且AE∥FC，AB∥CD，BE＝DF. (1)证明：∵AE∥FC，

∴∠AEF＝∠CFE. ∴∠AEB＝∠CFD. ∵AB∥CD，

∴∠ABE＝∠CDF. 在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF(ASA). ∴AB＝CD. ∴四边形ABCD是平行四边形．

(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；

(2)解：由(1)知，四边形ABCD是平行四边形，

∴BC＝AD＝3，