2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷【测试范围：湘教版必修第二册第1~2章】（全解全析）

高一数学下学期第一次月考卷（湘教版）

全解全析

（考试时间：120分钟，分值：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题KJL。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡匕写在本试卷I:无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：湘教版必修第二册第一章〜第二章。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.若sin（a+2）=；,贝心而（2"用=（）

A2。77n4加

A.-B.—C.-D.

9999

1.【答案】C

【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式求解.

【详解】因为sin（a+升;，

一兀）一⑴7

=l-2snra+—=l-2x—=—,

【⑴9

故选:C

2.如图，在△48。中，荔=4而，尸为CO的中点，则而二（）

C

ADB

A.--~AB-^-7CB.--AB+-7C

4243

C.—ABH—ACD.--AB+-AC

8283

2.【答案】C

【分析】运用平面向量线性运算及共线向量关系即可求解.

【详解】由题意知

ffP=BD-i-DP=--7ff+-DC=--7B+-（AC-7b）=--^B-h-7C---7B=--7B+-AC.

4242、,422482

故选：C.

3.要得到函数y=cosb；v+g］的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）

A.向左平移专个单位长度B.向左平移卷个单位长度

C.向右平移自个单位长度D.向右平移普个单位长度

3.［答案】B

【分析】由诱导公式化为同名函数,然后由图象平移变换求解.

【详解】因为函数%sin2x=cos2x-g

l2

所以要得到函数'=85（2^+5］的图象，只需将函数y=sin2x的图象向左平移得个单位长度.

故选：B.

4.在△48C中，内角44c所对的边分别为〃也%若a：b:c=l:2.行,则其最大角为（）

71n7Tc2兀C5元

A.§B,-C.yD.-

4.【答案】C

【分析】根据三角形大边对大角原则和余弦定理直接求解即可.

【详解】设。=3则方=2%,c=y/7k,

c>b>a,NC最大，

,cc（O㈤，，八等.

2ab4k223

故选：C.

5.已知tana=2,则cos2a+3sin%=()

5.【答案】D

【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.

【详解】•.,tana=2,

c.2cos2«-sin2<z+3sin2acos2tr+2sin2a

：.cos2a+3sin-a=----------；---------；--------=------；--------；——

cos'a+sin"acos'a+sina

_1+2tan2a_1+2x4_9

1+tan2a1+45

故选：D

6.已知向量满足。=(-2,1)3=(-1,3),贝K在万上的投影向量为()

A.(—2,1)B.(—2,3)C.[D.(-1,3)

6.【答案】A

【分析】根据投影向量的定义求解.

【详解】由题意7B=-2x(—l)+lx3=5,同=逐,

aba5(-2,1)....

所以B在。上的投影向量为■^■京二石一^二㈠』),

故选：A.

3.

7.已知sin(a+/7)=《,tana=2tan/7,则sinacos/=()

A.：B.*C.y2

D.

5

7.【答案】D

【分析】由两角和的正弦结合弦切互化化简即可.

【详解】vsin(a+/?)=1,sinacos/?+cosasin/7=-,

乂由tana=2tan/7,得sinacos/?=2cosasin〃，即cosasin/?=-sinacos/7,

—sintzcos/?=—,即sinacosW=1.

故选：D

8.函数〃x)=/sin(5+e)(力＞0,。＞0,0＜0＜兀)在一个周期内的图象如图所示，则下列说法中正确的是

()

A./(O)=1

B.该函数的解析式为/(#=2疝佶%+外

C.将函数/(X)的图象向右平移g个单位得到的函数是奇函数

・■

D.函数/(x)的减区间为:十2〃7iq兀十2*兀,kuZ

8.[答案】C

【分析】由图象可以得出振幅和周期，进而求得力和切，且有取最大值，结合正弦函数的图象性质,

结合0＜9〈兀，可解得夕=不进而求出/(x)=2sin(，+：],以此判断ABD,对于C,将函数/")的图

象问右平移g个单位可得/(x-T]=2sin,x，易得2sin：x为奇函数，故C正确.

【详解】对于AB,由图象，易得4=2,T=4X(L：)=3兀吟，解得口=|,

则/(x)=2sin(gx+e(0＜/＜兀)，

因为D=2sin仔弓+*]=2,则有,q+@=B+2hr,"Z,

\4J134J342

即9=1+2E,kwZ,因为0＜夕＜兀，所以°=4，

33

(2冗、

则J(x)=Zsinljx+R,故B错误;

〃C)=GH1,故A错误，

而于C,将函数/(X)的图象向右平移/个单位，即/(x-])=2sin[g(x—5)+g=2sin|x,

2

易得2sin：x为奇函数，故C正确；

对于D,若求/（x）=2siH+m）的单调递减区间，

则有—+2kli<—x+—<—+2kn,keZ,

2332

解得2+3祈VxW乂+3E,%eZ,

44

即/（X）的减区间为：+兀+3而，keZ,故D错误.

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.对于非零向量G,尻1,下列命题中不正确的是（）

A.（ci-b）-c=a-（b-c）B.着G•B=G•1，则B=2

C.\a-b\=\a^b\^>d//bD.a2=b2^则G=5或3=工

9.【答案】ABD

【分析】举反例）=（1,2）3=（2,3）3=（3,4）即可判断A；举反例方=（1,-1）3=（2,3）,1=（3,4）即可判断B；

利用数量积的定义得出cos5,^=1即可判断C；举反例1=（1,2）,5=（-1,2）即可判断D选项.

【详解】对于A,令1=。,2）$=（2,3）忑=（3,4）,

则件孙1=（24,32）,（时3=（18,36）,故（鼠孙2"0句4,A错误;

对于B,令5=（1,—1）,5=（2,3）,5=（3,4）,则".方=彳.？=—1,但故B错误；

对于C,若卜•可=同网cosRW=同网，则cos他可=±1,

因九BW[0,7T],则7B=0或兀，故

反之，若刃质，则G,B=O或兀，则卜同例cosRE卜同斗故c正确；

令3=（1,2）方=（-1,2）,满足严=户=5,但万工人万工-B，故D错误.

故选：ABD

10.下列各式中，化简结果为仃II勺是（）

Al+tanl50

A.-------------

1-tan15

B.cosl5:-\/3sinl5

C.tan25+tan35：+>/3tan25:an35

D.16sinl0cos20cos30cos40

10.【答案】ACD

【分析】利用两角和的正切公式判断A、C,利用两角差的正弦公式判断B,利用二倍角公式化简求值判断

D.

【详解】对于A：、tanl5=tar45+tan15=tan（45。+15。）=5故A正确；

l-tan15"1-tan45tan15°v）

对于B：cos15->/3sinl5:=2—cosl5:--sin15

122J

=2（sin30cosl5-cos30sin15）

=2sin（3O--15°）=2sin（45°-30°）

=2（sin45;cos30;-cos45°sin30J）=2jxx1=页,故B错误;

对于C：因为3（25。+35。）=空旦士四竺=6，

''1-tan25tan35

所以tan250+tan35°+tan250tan350=,故C正确；

对于D：16sin10cos20cos30cos40

_16sin10cos10cos20cos30cos40_8sin20cos20cos30cos40

cos10cos10

4sin40cos30cos40"2sin80cos30°_2sin（90-10）cos30

cos10coslOcos10

_2cos10cos30=2cos30'=G，故D正确.

cos10

故选：ACD

11.在△4水;中，内角4民。的对边分别为4也。，力为锐角，若2asin3=屉,且〃+。=4及总加、=4回，

A.a=4

B.47=473

C.△/日?的外接圆的半径为4

D.的外接圆的半径为46

11.【答案】BC

【分析】由正弦定理采用边角互化得sin4=立，又由力为锐角得力=三，再由面枳公式可得加=16,由余

弦定理求出。的值，从而判断A,B的正误；

再由正弦定理求出△48C的外接圆的半径，从而判断C,D的正误.

【详解】解:因为2as\nB=>/3b，

由正弦定理可得2sin4sin8=JJsinB,sinB/0

所以2sin4二百nsin力=,

2

又因为4为锐角，

所以4=(,

又因为

所以IbcsinJ=4\/3,

2

所以从=16,

又因为〃+c=4\%,

由余弓玄定理可得；a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc=(4K)；-48=48,

所以。=4\/§♦

故A错误，B正确；

a4百

由正弦定理可得2R=/T7="^=8nR=4,故c正确，D错误.

T

故选:BC.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知1=(1,-1)花=(41),若£与坂的夹角为钝角，则实数九的取值范围是.

12.【答案】(―g,—l)U(—W)

【分析】根据两向量夹角为钝角列不等式，求解/的取值范围即可.

a-b=\xA+(-\)x\=Z-\<0

【详解】因为［与B的夹角为钝角，所以

-1x2*1x1

解得/1<1且2工-1,即实数义的取值范围是(f,-1)U(-1,1).

故答案为：(e,-1)5-1，1)

13.若「n(a-/7)co$a-cos(/7-a)sina=2,则COS(2£-TT)=

5

7

13.【答案】一元/-0・28

【分析】先利用两角和差的正弦公式化简题干中式子，再利用诱导公式以及二倍角公式化简cos(2〃-兀)求

解即可.

[详解】sin(a-/7)cosa-cos(J3-a)sina=sin(a-fl)cosa-cos(a-fi)sina=—

=sin[(a-//)-a]=-sin/7=^,BPsin//=-^,

7T

则cos(2^-n)=-cos2〃=2sin2p~\=2x

7

故答案为：

14.已知△例?是面积为46的等边三角形，且而=x：S+y元其中实数可满足x+^=l,则加灰

的最小值为

14.【答案】5

【分析】延长力。至使得点7=2；^，化简所给条件可知氏。，初三点共线，取线段4c的中点O,连

接。。，利用向量的加法减法及数量积运算化简，转化为求|诙|的最小值.

【详解】依题意曰|力*=46,解得|力却=4,延长/1C至"，使得而=2祝，如图,

闪为AD=xAB+yAC=AAB+(2-2x^AC=xAB+(\—x)AM,

所以点。在宜线aw上，取线段水?的中点O,连接0。,

则加衣=（55+次）（皮-方）=皮2-凉=加2-4

显然当OO_L8M时，„有最小值,

又易知/OMO.,|。必|二6,所以|诙|的最小值为6si吟=3,所以万/岚=92一4之5,

故方•灰的最小值为5,

故答案为：5.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

/、sin(3兀+x)sin(x-兀)cos(兀+x)

已知/(”=一

37rl

C0S(7C-X)C0Ssin

k2)

/«、口//\sin<7-cos<z

(1)若/(。)=2,求^---------的值.

sina+cosa

⑵若/("£)=-：J(a)=-；,求tan(2a-Q)的值.

15.（13分）【答案】（1）3（2）1

【分析】（1）先应用诱导公式化简得出/（x）=Taiu,再弦化切计算求解;

（2）应用两角和的正切公式计算求解.

,、sin(37u+x)sin(x-7c)cos(7c+x)(-sim)(-siiu)(-cosx)

=-tanx

1*"/(n}-(3兀)(一cosx)(-sinx)cosx

cos(7t-x|cos—+xsinx-----v八7

(2J\2)

/(a)=2,「.tana=-2,

；-s-i-n--a-----c-o--s--a=--t-a--n--«---l=----2----1--=3..

sina+cosatana+1-2+1

(2)依题意，由==可得tan(a-〃)=；,tana=；,

\_£

c、->tan(a-£)+tana

a-^)+al=------------------=--^-=116.(15分)

K」1-tan(a-p)tana,__

-6

16.(15分)

如图，在平面四边形力8。。中，=y,s△例.=2,NB4C=ND4C,CD=2AB=4.

（1）求线段8c的长度；

（2）求线段4c的长度；

（3）求sin乙40c的值.

16.（15分）【答案】⑴2庭（2）2石（3*

【分析】（I）利用三角形的面积公式即可求解；

（2）利用（1）的结论及余弦定理即可求解；

（3）利用（1）（2）的结论及正弦定理即可求解.；

【详解】（I）因为=：•,S^ABC=2，AB=2,

4

所以S“火=g/18dCsin/48C=g-28C・sin空=2,解得8c=20，

所以线段AC的长度为2JL

（2）由（1）知，8c=2收,

在△力8c中，由余弦定理可得

AC1=AB2+BC2-2-AB-BCcos^ABC=4+S-2x2x2>/2x--=20,

X2z

解得月。=2后，

所以线段力。的长度为2折

（3）由（1）（2）知BC=2&AC=2后,

在△/出C中，由正弦定理可得

BeAC25/2_2>/5<7

•/D4r=cin/ARC'即sinZ.BAC-‘不｝sin/.BAC=—'

smsinX,ADCsin—5

4

又因为/84C=ND4C,

所以sinNDAC=sinNBAC=—.

5

在小CO中，由正弦定理可得

（，/）4二2亚

[“二./'Z即正一嬴?2标得sin/血下

sinZD/4CsmZ.ADC—2

5

故3in/4OC的值为

17.（15分）

如图，在△力8c中，荏=丽，丽=2丽，点。为和CE的交点，设互3=口元=3.

⑴若BO=xd+而,求x,y的值;

⑵若同=2,忖=3①与另的夹角为不

(i)求ABO。的面积；

(ii)求/〃加的余弦值.

17.(15分)

21

【答案】(l)x=W,y=g

6/x2A/111

(2)(i)——：(ii)-----

537

【分析】⑴设的=2反，而=〃而，根据平面向量线性运算及平面向量基本定理即可求解;

(2)(i)根据三角形面积公式即可求解力。。的面积；(ii)根据平面向量线性运算分别表示出前，夕，再

根据平面向量数量积的运匏律及向量夹角公式即可求解.

【详解】(1)设的=2反，粉

则防=瓦5—筋=丸(脏一后后)，示5=及5—互5=〃(4万一瓦5)

又前=丽，丽=2痂，

所以而=4防+/1沅，的=（1一〃）加+!〃就，

23

[1-/1,f；1

所以2.解得《:.

[3-[，5

—2—1—21-

所以40=—44+—5。=-2+—/）,

5555

____2]

又A。=xd+yB,所以x=w，'=W.

（2）（i）S=—BABDsin^ABD=—x2x\xsin—=—

“即2232

/\—3——2—

由(1)知，AO=^ADt所以OQ=(4Q,

JJ

所以ABOD的面积SADBOUD=—5S6人.BD=5.

(ii)由(1阿=,加+(庶=如¥,

OA=~BA-~BO=a-\-a+-b\=-a--b,

[55)55

q=2，W=3R与石的夹角为

贝IJ/=4,62=9,刁/=2x3xg=3,

网=颗22+0=¥%2+点+4小3=?J16+9+l2=呼,

研二^y/(3a-b)2=^yl9a2+b2-6ah=936+9—18=苧,

OAOB=-\-a--b

(5525252525

竺

-OAOB一行H

cosN力OB=-H-J-=-3=---^="=--2-V---T-

制画3V3..V3737•

18.(17分)

己知函数/(x)=2cos2xsin2x+；也

~T

(1)求/(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)洛〃x)的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得到函数g(x)的图象，当

xj。,外时,求不等式g(x)>,的解集.

18.(17分)

,凭安T/i、71「履3兀kn7t-|

【答案】⑴5；［爹-市爹+司z

(2)KJ

【分析】(1)利用二倍角公式结合辅助角公式化简原函数，再利用周期性的定义求解最小正周期，最后结

合整体代入法求解单调区间即可.

(2)利用正弦函数的性质结合给定条件求解不等式即可.

【详解】(1)因为/(x)=&cos2x(sin2x+cos2x)-,

=\2sin2xcos2x+>j2cos22x-sin4x+^y--(2cos22x-l),

22

旦sm©+qcos4)x=si•nI4x+-兀)

22I4J

则f(x)的最小正周期是7'=^=^,

^-2kit--<4x+—<2kTt+—,keZ,---<x<—+—,kwZ,

242216216

故〃x)的单调递增区间是佟T，"+』，A“eZ.

2Io2lo

(2)因为将/(x)的图象上各点的横坐标变为原来的2倍,

纵坐标变为原来的3倍，所以经过变换可得g(x)=3sin(2x+；

由题意得g(x)=3sin(2x+：>|,

即£访(2工+工