2025-2026学年人教A版高一数学上学期期末必刷常考题之对数的运算

2025-2026学年上学期高一数学人教A版期末必刷常考题之对数

的运算

一.选择题（共6小题）

1.2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000。尸（千亿亿

次浮点运算每秒）.截止到2025年，OeepSe"的算力已提升至2250PR按照技术规划，QeepScH的算

力将每年增长50%.按此计•划的算力将在年首次突破1X6?兄（参考数据:蛇-0.301,

0.477)()

A.2032B.2033C.2034D.2035

2.计算强+27^x9+，。。212-，。923-5'"s6的值为（

A.1B.2C.3D.25

115

3.己知•研+诟嬴=§'贝段一（)

A.3B.9C.27D.81

23

4.4(3—71)6+(襟尸一22胸2=()

A.7T+方15

B.--nC.3-7TD.TT-3

2

5.若x,y满足历（3x+y）=InxHny,则x+3y的最小值为（

A.10+25/6B.10-2V3C.12D.16

6.已知正实数a,6满足cd-2=e2025和方（卜由-2）=e2029.则劭的值为（）

A.*29B.央C.产D.*26

二.多选题（共3小题）

（多选）7.已知a,b,。都是实数，下列命题是真命题的是（)

A.若a>0,b=2,贝1］心+晶=4

若，则

B.a=46=27,Iog3a+log36=2

若（、＞（护贝Q6

C.

D.若a>6>0,c<0»则一

ab

1

(多选)8.己知a=log210，b=log3-^,则()

A.ah<0B.4"・9'=】

1

Ca~i>1D.log*=诉

(多选)9.下列结论正确的有()

A.2gxV27+40=7

B.(0.64)4-(I)2=1

C.(/g2)2+/g2-/g5+/g50=10

m

D.若4>0且aWl,d”=3,an=2,贝i」2m=3

三.填空题(共3小题)

10.若Iog2[log4(x+1)]=1,则工=.

11.已知log23=k,则】ogi29=.(用上表示)

12.已知log32=a,则log248=.(请用含。的代数式表达)

四.解答题(共3小题)

111

13.(1)已知共+工7=3,求汇+上的值；

(2)化简：16；+21。923一肥4一2，。5；

(3)2x(V2xV3)6++(-1024)°.

14.计算求值.

⑴口算(芬-3+1(-1)2+2"'。"+2luyls3+驿g9；

(2)已知2lg(ni-4/?)=lg(2m)+/g〃，求一的值.

n

15.求下列各式的值.

11

53

-+-X1

8.

2

(2)leg户—leg232+2‘°923+log2^-log34.

2

2025-2026学年上学期高一数学人教A版（2019）期末必刷常考题之对数

的运算

参考答案与试题解析

一.选择题（共6小题）

题号123456

答案DACDDA

二.多选题（共3小题）

题号789

答案BDABDABD

一.选择题（共6小题）

1.2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000户「（千亿亿

次浮点运算每秒）.截止到2025年，OeepSe"的算力已提升至2250P凡按照技术规划，DeepSeek的算

力将每年增长50%.按此计划,。eepSed的算力将在年首次突破1X1（）5*7.（参考数据:侬比0.301,

恁3-0.477）（）

A.2032B.2033C.2034D.2035

【考点】对数运算求值.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】。

【分析】根据己知条件，列出不等式，再结合对数的运算法则，即可求解.

【解答】解：设2025年为第。年，算力为2250P汽

每年增长50%,则2250X（1.5）w>105,即二衅，

..（挈）2/g2+2/gl0-2/g32x0.301+2-2x0.477Q__

以“〉lgL5=193Tg2"0.477-0.301"9.17'

因此,n=10,对应年份为2025+10=2035年.

故选：D.

【点评】本题主要考资对数运算求值，属于基础题.

3

2.计算强+27Tx9+log212-log23-5他16的值为（）

A.1B.2C.3D.25

【考点】对数的运算性质.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】A

【分析】结合指数、对手的运算法则，即可求解.

【解答】解：原式=2+*9+/0。24—6=2+3+2・6=1.

故选：A.

【点评】本题主要考查指数、对数的运算法则，属于基础题.

115

3.已知■;——+;----=T,则1=（）

Log9alog27a3

A.3B.9C.27D.81

【考点】对数运算求值.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】C

【分析】利用换底公式转化，进行求解即可.

115

s

【解答】解：----+:------=，。%9+loga27=loga3=

log（）a10927a3

所以点=3S,则。5=（35）3=275,解得a=27.

故选：C.

【点评】本题主要考查对数的运算，属于基础题.

4..（3二兀）6+（摄）4—2?端=（）

315

A.兀+讶B.--71C.3~TTD.n-3

【考点】对数的运算性质；有理数指数塞及根式化简运算求值.

【专题】整体思想：综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】。

【分析】由已知结合指数及对数运算性质即可求解.

【解答】解:V（3-7T）6+（^）4-22103^=ir-3+11=1T-

故选：D.

4

【点评】本题主要考查了指数运算及对数运算性质，属于基础题.

5.若x,y满足C3x+y)=/〃x+/伙则x+3y的最小值为()

A.10+2V6B.10+275C.12D.16

【考点】对数的运算性质：基本不等式及其应用.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】。

【分析】先利用对数的运算性质进行运算，再利用基本不等式求解即可.

【解答】解：因为x,y满足友(3x+y)=lnx+lny,

所以3x+y>0,x>0,y>0,

所以bi(3x+y)=bix+lny=Inxy,

所以3x+y=.xy,

所以之+-=1»

yx

所以6+3)(%+3/=1+9+1+率10+2杵亨=16,

当且仅当士=2即x=y=4时取等号，

yx

故x+3y的最小值为16.

故选：D.

【点评】本题考查了对数的运算性质，涉及到基本不等式的应用，属于基础题.

6.已知正实数a,6满足和6("力-2)=e2029.则。力的值为()

A.*29B.*28C.*27D.*26

【考点】对数的运算性质；函数的单调性.

【专题】整体思想：综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】A

【分析】根据指数与对数的运算法则对已知条件进行变形，利用变形后等式的特点构造函数，再根据函

数的单调性确定4,8的关联，最后结合题给条件求解时.

［解答］解：*"-2=*25,

In(aea2)=///e2025»即/〃。+/〃尸2=/〃e2°25n/〃q+a=2027,

*：bClnb-2)=?029,

两边同时取对数，可得加［6(bib-2)］=/w？029,BPlnb+ln'Jnb-2)=2029,

贝ij(bib-2)十/〃Club-2)=2027,

5

f（x）在（0,+8）上单调递增，

J方程/（x）=2027有唯一解，/（a）=/（。力・2）,

:.a=lnb-2»

：.ab=（lnb-2）b=e2Q2<）.

故选：A.

【点评】本题主要考查了函数单调性的应用，属于中档题.

二.多选题（共3小题）

（多选）7.已知a,b,c都是实数，下列命题是真命题的是（）

A.若a>0,6=2,贝lj/+y=4

B.若Q=/6=27,则Iog3a+log36=2

C.若（与则4>人

D.若cVO,则

ab

【考点】对数运算求值；等式与不等式的性质.

【专题】转化思想：转化法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】BD

【分析】利用指数哥的定义计算求解判断选项4根据对数的运算法则计算判断选项从根据指数函数

性质结合特殊值验证判断选项G利用不等式性质，两边同时乘以负数时，不等号方向改变判断选项n

【解答】解：对力，若40,%=2时，则a°+Z）2=l+4=5>4,故力错误：

对8,若。=/，6=27时,log36r+log3Z>=log3^+log227=-1+3=2>故5正确;

对C,若（/>（/，当a=b=l时，:但a=b,命题不成立，故C错误；

Z3

11cc

对。，当a>b>0时，-<—»又c<0,所以一>71，故。正确.

abab

故选；BD.

【点评】本题考查对数的运算及性质，不等式的性质，属于基础题.

（多选）8.已知a=log210，b=log3^,则（）

A.abVOB.4"・9〃=1

11h—n

cD.log”语

【考点】对数运算求值.

6

【专题】函数思想：综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】ABD

【分析】对数函数的单调性判断。，6符号可判断人利用对数的运算计算可判断4,根据换底公式及

对数的运算可判断CD.

【解答】解：对于a=，。0210>，。。21=0，匕=，。。3心=0，所以HV0,故4正确；

对于8,因为q=k)g210,b=log3^,

所以4a-9b=4的21。・9，。。3a=⑵。取1。•3.3$)2=a。x±)2=1,故4正确；

对于C,因为a=log210,b=log3^

所以工一：=-(-仞3)=®6<7gl0=1,故C错误；

ab

1

对于。,因为a=log210,b=log?而，

1_1

所以、-亍=7==77=^56»故D正确.

ab-bi--l-lg2IgS'

a

故选：ABD.

【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题.

(多选)9.下列结论正确的有()

A.2V3xV27+40=7

B.(0.64)4-(1)2=1

C.(/g2)2+/g2・/g5+/g50=10

m

D.若a>()且aXl,a'"=3,a"=2,则2亢=3

【考点】对数运算求值：有理数指数基及根式化简运算求值.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】ABD

【分析】结合指数哥及对数运算性质检验各选项即可判断.

【解答】解：2gx短7+4°=2x3+1=7,故4正确；

(0-64)4-(1)2=(1)2x^-i=故5正确;

(Zg2)2+/g2・/g5+/g50=/g2(/g2+/g5)+/g50=/g2+/g50=/g100=2,故C不正确；

由a"'=3得〃?=log«3,由。"=2得n=Iog2,

7

mlOQ3m

则一=产n1=/0923,所以2记=3,故力正确.

nloga2

故选：ABD.

【点评】本题主要考查了指数及对数的运算性质的应用，属于基础题.

三.填空题（共3小题）

10.若Iog2[log4（x+1）]=1,则/=15.

【考点】对数运算求值.

【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】15.

【分析】利用对数的运算性质计算即可.

【解答】解：由题意得，10g4（x+1）=2,所以X+1=42,解得X=15.

故答案为：15.

【点评】本题考查了对数的定义与运算，是基础题.

2k

11.已知log23=%,贝1J108129=_丁7_.（用A表不）

【考点】对数运算求值.

【专题】转化思想：定义法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案嗟・

【分析】利用换底公式即可求解.

【解答】解：因为Iog23=*!=k,所以磔=他2,

lg9_2lg3_2klg2_2k

I——-=­.

Igl2~Lg4+/g3-21g2+klg2~2+k，

故答案为：示.

【点评】本题考查了对数的定义与运算，是基础题.

12.已知log32=a,则log248=_4+j_.（请用含a的代数式表达）

【考点】对数的运算性质.

【专题】转化思想：转化法；函数的性质及应用：运算求解.

【答案】见试题解答内容

【分析】结合对数的运算性质，即可求解.

【解答】解：Iog32=a,

8

1

则Iog248=log2(16X3)=log216+log23=44-

故答案为：4+：.

v-V

【点评】本题主要考查对数的运算，属于基础题.

四.解答题(共3小题)

1_i1

13.(1)已知%2+%2=3,求％+.的值；

1

(2)化简:162+2'。923一S4一2加5：

(3)2x(V2x75)6+(7^)5+(-1024)°.

【考点】对数运算求值；有理数指数幕及根式化简运算求值.

【专题】对应思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】(1)7；

(2)5；

(3)219.

【分析】(1)由％+*1=(显1+无-21)2—2即可求解；

(2)由指数和对数的运算性质即可求解；

(3)由根式与分数指数幕的转换结合指数的运算性质即可求解.

【解答】解：⑴因为1+14=3,

111

所以x4--=(x2+x-2)2-2=32-2=7；

1

(2)162+2，。以3-恁4-2/g5

=4+3-Ig(4X25)=4+3-2=5；

(3)原式=2(2?x3如+[(2吗帚+1

=2X22X33+2+l=219.

【点评】本题考查有理指数哥的运算性质，考查运算求解能力，是基础题.

14.计算求值.

(1)计算(4)-3+J(-1尸+21+/0^3+210gl83+国弊g9；

(2)已知21g(〃？-4")=lg(2m)+lgn,求一的值.

n

【考点】对数运算求值；有•理数指数塞及根式化简运算求值.

9

【专题】转化思想：综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】(1)16；

m

(2)—=8.

n

【分析】(1)分数指数耗的运算性质和对数的运算性质求解却可；

(2)利用对数运算性质化简变形可求得答案.

【解答】解：(1)原式=8+l+2X3+logi89+黑

=15+logi89+logi82=15+1=16；

(2)由条件机>4〃>0,m>4n>0,—>4.

n

由2/g(.m-4n)=lg(2w)+ign,得Ig(阳-4〃)2=lg(2mn)»

所以(〃？・4〃)2=2mn,化简得〃J・1Omw+16/J=0,

所以(m-2n)(m-8/z)=0,

得〃?=8〃或"7=2〃(舍去)，

从而可得巴=8.

n

【点评】本题考瓷了对数以及有理数指数幕的运算性质，考育了学生的运算求解能力，属于基础题.

15.求下列各式的值.

(1)4尸+(私经;

忌)2

(2)log49—log?^2+2'"923+Zo^23,

【考点】对数运算求值；有理数指数事及根式化简运算求值.

【专题】转化思想：综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】(1)-TT；

(2)10.

【分析】(1)根据指数塞的运算性质计算即可；

(2)根据对数的运算性质计算即可.

1n

【解答】解：(I)原式=4—兀+(—2)X号二-7T：

s

(2)原式=log?3-log23+log232+3+x=log22+~^2+3=5+2+3=10.

【点评】本题考查对数运算，指数运算，属于基础题.

10

考点卡片

1.等式与不等式的性质

【知识点的认识】

1.不等式的基本性质

(I)对于任意两个实数b,有且只有以下三种情况之一成立：

①-/>>()；

②aV/jo”-/><0；

③a=boa-b=0.

(2)不等式的基本性质

①对称性：QbobVa；

②传递性：a>b,b>cna>c；

③可加性：a>b=>a+c>b+c.

④同向可加性：a>b,c>d=>a+c>h+d：

⑤可积性：a>b,c>0=ac>bc；a>b,c<0^ac<ba

⑥同向整数可乘性：a>b>0.c>d>0=>ac>hd；

⑦平方法则:a>b>()=>an>hn(n€N,且〃>1)；

⑧开方法则：t?>/)>0=>Va>Vb(«GN,且〃>1).

2.基本不等式及其应用

【知识点的认识】

基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式.其互表述为：两个止实数的儿何平均数小「或

等于它们的算术平均数.公式为：早之倔(。20,b20),变形为MW(岑)2或者。+心2病.常

常用于求最值和值域.

实例解析

例1:下列结论中，错用基本不等式做依据的是.

力：人均为负数，则学+~~>2.8：:+2>2.C：sinx+」一>4.D：aER+,(3-a)(l——)<0.

b2ayjx2+lsinxa

解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知4、仄。均满足条件.

对于C选项中sinxW±2,

不满足“相等”的条件，

再者sim•可以取到负值.

11

故选：c.

月选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一-个组成元素；8分子其实可以写成

?+1+1,然后除以分母就可换成基本不等式.这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，

而且求最值也很方便.

例2：利用基本不等式求y=品的最值？当OVxVl时，如何求y=段的最大值.

解：当人=0时

当e时一=缶=京,

用基本不等式

若x>0时，0<V<

若xVO时，—?1WpVO,

综上得，可以得出—半¥，

'y二W五的最值是一苧与f•

这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0,没有明确表示的话就需要讨

论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素(了数)相加，而他们的特点是相乘后为常数:

最后套用基本不等式定理直接求的结果.

【解题方法点拨】

基本不等式的应用

1、求最值

例1:求下列函数的值域.

⑴)=3炉+*(2)v=x+1

(1)V=3X^+^3>2^3X*~3=*二.值域为［加，田)

(2)当x>0时，尸x+；之叭=2;

当x<OB寸，y=x+^=-(-x-^)<-2^x=-2

，值域为(-8,-21UR,+oo)

2、利用基本不等式证明不等式

12

例2：已知a、b、ceR',且a+b+c=l。求证：j--1^-1--1j>8

分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又

工_1=4="£之也，可由此变形入手。

aaaa

..,_.1.1«1-ab^c2-Jbc（=1i,l^Jac1«、

:.Q\b\ceRfa+b+c=l。..——1=---=----之------o1a1Hf里B一一12----,——12-----。

aaaabbcc

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

2-1）2手■平.马合.8。当且仅当a=b=c=^时取等号。

3、基本不等式与恒成立问题

10

例3：已知x>O：y>0且一+-=1,求使不等式x+N之力恒成立的实数次的取值范围。

xy

加八、.门cI91x+v9x4-9v110v9x,

解：令x+u=£x>0j>0,—+-=1,——-+-----=1./.—+—+—=1

x■vrkxk5vkkxk5v

ina

.\1-->2--oA:>16,W6(-XS16]

4、均值定理在比较大小中的应用

例4：若a>6>LP=Jlg&lgb，2=W(lga+lgb),K=lg(『),则尸,。,我的大小关系是______.

分析：/.lga>0,lg6>0

Q=；(IgaIlgb)>Jiga-1g6=p

R=lg(3：，)>1g4ab=gigab=Q:'R>Q>P。

【命题方向】

技巧一：凑项

例1：已知x<H求函数v=4x-2--!—的最大值。

44x-5

解：因4x-5<0,所以苜先要•调整甯号，又（以-2）・二一不是常数，所以对4、-2要进行拆、凑项;

4x-5

vx<!，.-.5-4x>0，...尸4x-2+^^=一；5-4x+y^-；+34-2+3=l

当且仅当5-4x=J—,即x=l时，上式等号成立，故当x=l时，外数=1。

点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值.

技巧二：凑系数

13

例2：当0VxV4时，求y=x(8・2x)的最大值.

解析：由0VxV4知，8-2Y>0,利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积

的形式，但其和不是定值.注意到2x+(8-Zv)=8为定值，故只需将y=x(8-2v)凑上一个系数即可.

112x+8-2x,

y=x(8-2AO=^［2x*(8-2x)］<^(——-——)2=8

当2x=8-2x,即x=2时取等号：当x=2时，y=x(8-x2)的最大值为8.

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值.

技巧三：分离

例3：求y="普(%>一1)的值域.

解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有Cv+I)的项，再将其分离.

22

X+7X+10(X+1)+5(X+1)-4..x,4,c

>y=----x-+-1n=--------x--+n1——=(x+1)4—x+n1r+5，

当人>-1,即八十l>0时，y^2J(x+1)x*+5=9(当且仅当x=l时取号)

技巧四：换元

对于上面例3,可先换元，令f=x+l,化简原式在分离求最值.

技巧五：结合函数/(x)=x+?的单调性.

例4:求函数):『=的值域。

VX2+4

解：令6+4=g2),则、-£-5=,」("？)

百+4Jx，+41

因但”;解得"±1不在区间［2+8),故等号不成立，考虑单调性。

因为y=r+；在区间［L+8)单调递增，所以在其子区间［2：+X)为单调递增函数，故7之：。

所以，所求函数的值域为！，田；。

技巧六：整体代换

14

19

例5：已知x>0j>0,且±+-=1,求x+y的最小值。

xy

x>Q,y>0f且工+2=1,，x+）.F-N,（x+}22■12故（x+y）为三=12°

错因：解法中两次连用基本不等式，在x+y22而等号成立条件是x=y,在白+222任等号成立条

xy\xy

件是41=1Q即>,=9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等

%y

号成立条件是解题的必要步骤，而且是检蛉转换是否有误的一种方法。

iEB：vx>0,v>0,-+—=B/.v=（x-y）；-J-+—=----10>6-10=16

“xy\xyJxy

QY19

当且仅当匕=三时，上式等号成立，又一+—=1,可得x=4j=12时，（x+v）ffi^=16。

xyxy

点评：多次连用最值定理求最值F寸，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错.

技巧七：取平方

例6：求函数1=二I+收石《—4）的最大值。

解析：注意到2X-1与5-2x的和为定值。

y2=（J2x-1+j5-2x）?=4+27（2X-1）（5-2X）<4+（2x-l）+（5-2x）=8

Xy>0,mO<y<2V2

当且仅当2X—1=5-2X,即上=:时取等号。故％故=20。

点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件.

总之，我们利用基本不等式求最苣时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积

极划造条件利用基本不等式.

3.函数的单调性

【知识点的认识】

一般地，设函数/G）的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间。上的任意两个自变量xi，X2，

当X1VX2时，都有/（XI）</（A-2）,那么就说函数/（X）在区间。上是增函数；当X1VX2时，都有/（XI）

>.f（X2），那么就说函数/«）在区间。上是减函数.

若函数/（X）在区间。上是增函数或减函数，则称函数/（X）在这一区间具有（严格的）单调性，区间。

叫做y=/（x）的单调区间.【解题方法点拨】

判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵

循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法.

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单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“U”

联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结.

设任意XI，X2G［«,久且X1WX2，那么

①〉0o/.（X）在口，切上是增函数；

%1一均

/Q1'‘（"2）V0o/（X）在口，句上是减函数.

xi-x2

②（X1-X2）［/（XI）-f（X2）］>0<=>/（x）在⑷切上是增函数;

（XI-X2）［/（XI）-/（X2）］<0of（X）在［。，<上是减函数.

的数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间.

【命题方向】

函数的单调性及单调区间.是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调

性定义证明考查大题的可能性比较小.从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最

值诃题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单

调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、意要方法的基础匕又注重考