2026高考数学复习-基本立体图形

立体几何与空间向量

基本立体图形

，考试要求

1.了解柱体、锥体、台体、球及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生

活中简单物体的结构.

2.知道球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问

题.

3.能用斜二测画法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的

直观图.

陞备知识回顾自主学习•皋啾回扣

教材回扣

1.棱柱、棱锥、棱台

项目棱柱棱锥棱台

长一顶点

介'上底也

债棱侧面

分瞿念黑

图形恻面-::底面

4

A原点-----BM——圻帐面

有两个面互相平行,其余各面都有一个面是多边形，其用一个平行于棱棒底

是四边形,并且相邻两个四边形余各面都是有一个公共出的平面去截棱锥，

定义

的公共边都互相平行,由这些面顶点的三角形,由这些底面和截面之间那部

所围成的多面体面所围成的多面体分多面体

上、下底面互相平行

底面互相平行且全置；侧面都是底面是一个多边形；侧

结构且相似;各侧棱延长

平行四边形;侧棱都相等且互相面都是三角形;侧面有

特征线交于一点；各侧面

平行一个公共顶点

为梯形

2.圆柱、圆锥、圆台、球

项目圆柱圆锥圆台球

A南A球心二轴

/「、上底面

母线-7T侧

图形母线于二号-轴

：H直径

:下底面

以五角三角形的以半圆的直径所

以矩形的一一边所

一条直角边所在用平行于圆锥底在直线为旋转

在直线为旋转

宜线为旋转轴，面的平面去截圆轴，旋转一周形

定义轴，其余三边旋

其余两边旋转一锥，底面与截面成的曲面口L做毯

转一周形成的面

周形成的面所围之间的部分双，球面所围成

所围成的旋转体

成的旋转体的旋转体

母线互相平行且母线相交于二母线延长线交于

相等，并垂首于A：轴截面是全—；轴截面是

结构

底面：轴截面是等的等腰三角全等的等腰梯截面是其

特征

全等的矩形;侧及；侧面展开图及；侧面展开图

面展开上是矩形是扇形是扇环

简单组合体：由简单几何体组合而成的几何体叫简单组合体.其构成形式主要有：由简

单几何体拼接而成,或由简单几何体截去或挖去一部分而成.

3.直观图

（1）画法：常用斜二测画法.

（2）规则:

①原图形中x轴、），轴、z轴两两垂直，直观图中V轴与V轴的夹角为45。或135。，7轴

与V轴的夹角为塑.

②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别以行于坐标轴,平行于x轴和z轴的

线段在直观图中保持原长度不变,平行于），轴的线段，长度在直观图中变为原来的一半.

4.简单几何体的表面积与体积

体积（S是底面积，

几何体表面积

h是高）

柱体（楂柱

Sn=S倡+25尺V=Sh

和圆柱）

锥体（棱锥y的

S表=S例+S.此

和圆锥）

台体（棱台Sn=SV=|(Sf-+

和圆台）S上+S下S下十遍云）h

球（R是4

S&=4止V=Tn/?3

半径）3--

5.常见四棱柱及其关系

底血是平网校塞H百

平

行四边胫平行「底而正

各

聘

枝长

底

而是

长

*六面体.止

行

都

相

等

正

形

方

四

方

方

六

棱

体

侧棱垂直自四底面是平体

面

于底面.行四边形柱

体

VLJ教材拓展

1.与体积有关的几个结论

（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.

（2）夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截

得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等（祖胆原理）.

2.水平放置的平面图形的直观图与原平面图形面积间的关系：SH况因=原印％,S取田后

=2y[2S直R.HL

基础检测

W-----

1.判断（正确的画“J”，错误的画“X”）

（1）水平放置的菱形的直观图仍是菱形.（X）

（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.（X）

（3）用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.（X）

（4）锥体的体积等于底面积与高的积.（X）

2.如图，三角形人EC是水平放置的三角形/18C的直观图，则三角形/WC的面积是我.

解析：由直观图画出原图，如图，可得三角形A4C是等腰三角形，且3c=6,04=6,

所以三角形A8C的面积S=[x6X6=18.

3.（人教A版必修第二册PI19练习TI改编）圆锥S。的母线与底面所成角为60。，高为

3小，则该圆锥的侧面积为也.

2

解析：如图，由题可知S4=^^=6,OA=^SA--SO=3f所以该圆锥的侧而积为

7tX3X6=18兀

4.（人教B版必修第四册P85例2改编）已知正四棱台ABCD-AiBiCiDi的高为6,且A\Bx

=2/W=4,则该四棱台的体积为也.

解析：根据棱台的体枳公式可得VAI3CD-AiB\CiD\={x(224-42+^/22X42)X6=56.

母键能力提升互动悚究•考点精讲

考点1基本立体图形

命题角度1结构特征

【例1】（多选）下列说法正确的是（AD）

A.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱

B.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台

C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥

D.如果一个楂柱的所有面都是长方形，那么这个楂柱是长方体

【解析】若底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直，则该四棱柱底面为正方

形，且侧棱垂直于底面，所以该四棱柱为正四棱柱，故A正确：棱台是由棱锥被平行于棱锥

底面的平面所极而用的，用有两个而平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是核

台，因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故B错误；当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和

是360。时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；若棱柱的每个侧

面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确.故

选AD.

命题角度2直观图

【例2]（多选）如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形A'B'CD\

已知49=4,。。=2,则下列说法正确的是（CD）

A.AB=2

B.Ariy=2y[2

C.四边形ABC。的周长为6+2也+2小

D.四边形A8C。的面积为6n

【解析】如图，过作。'七_LO'夕交0b于点以由等腰梯形ATTC'。'中，NZZATT

=45°,45=4,CD'=2,可得是等腰直角三角形，即477=啦4/=/乂(4一

2)Xy[2=y[2,故B错误;

还原平面图如图，则A6=A7T=4,CQ=CQ'=2,AQ=2A'Q'=2啦，故A错误：在原

图形中，过C作CRL/IB交人B于点凡!!!']AF=DC=2t由勾股定理得耳冠方=

2小，故四边形43co的周长为4+2+2啦+25=6+2立+2巾，故C正确；四边形A4co

的面积为:X(4+2)X2，5=6V5,故D正确.故选CD.

命题角度3展开图

【例3]一座山峰的示意图如图所示，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为Ikm,

峰底A到峰顶S的距离为4km,B是一条笔直的山路弘的中点.为了发展当地旅游业，现

要建设一条从A到4的环山观光公路，当公路长度最短时，公路距山顶的最近距离为(D)

A.2km

C.2小kmD."J-km

J

【解析】以SA为分界线，将圆锥的侧面展开，可得其展开图如图.则从点A到点8

的最短路径为线段A归，/筋，=2兀Xl=27t(km),所以44'5工=华岩.过S作SP_L/V4于点P,

则公路距山顶的最近距离为SP,因为48=]齐声=2小(km),所以跌若=&=芈

(km).故选D.

A

,规律总结

1.辨别空间几何体的两种方法

(1)定义法：紧扣定义进行判定.

(2)反例法：要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可.

2.在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段：平行于x轴的线段平行性不变，长度不

变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.

3.在解决空间最短距离问题时，一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题

平面化.

【对点训练1】⑴(多选)下面关于空间几何体的叙述正确的是(CD)

A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥

B.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形

C.长方体是直平行六面体

D.存在每个面都是直角三角形的四面体

解析：顶点在底面的投影是正多边形的中心的棱错才是正梗错，故A不正确；当平面与

圆柱的母线垂直或平行时，横得的截面才为圆或矩形，否则为椭圆或椭圆的一部分，故B不

正确；长方体是直平行六面体，故C正确；如图，正方体43CO-A151GQI中的三棱锥G-A4C,

四个面都是直角三角形，故D正确.故选CD.

(2)如图，水平放置的△48C的斜二测直观图为AA，9C,已知40=夕0，=。。，=1,则

△ABC的周长为(C)

C.2+2小D.2十4小

解析：根据题意，作出原图△ABC,如图，由斜二测画法，在原图中，CO=2CO'=2,

40=80=1,所以BC=4C=小，故△48C的周长为2+2小.故选C.

（3）如图，在长方体ABCQ-AliGG中，AB=AD=\,A4=26，E为4B上的动点，则

小七十CE的最小值为（D）

A.5

B.<15

C.2+2也

D.行

解析：将四边形A8CD绕A8翻折到与四边形A8GG共面，平面图形如图所示，连接

CDi,则CD）的长度即为DiE+CE的最小值，因为AB=AD=],44=2吸，所以AD\=

5+曜巾p=3,所以。功=4,所以CD】=712+42="j,即。iE+CE的最小值为"Fj.故

选D.

考点2空间几何体的表面积

【例4】（1）（2024.辽宁大连一模）陀螺起源于我国，最早出土石制陀螺的是山西夏县发

现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知底面圆的宜径人4=12cm,

圆柱体部分的高BC=6cm,圆锥体部分的高CD=4cm,则这个陀螺的表面积（单位：cm2）

是（C）

A.(72+12仃)兀B.(84+24^13)71：

C.(108+12^13)71D.(108+24^13>

【解析】由题意可知，圆锥的母线长为产话=2回（cm）,所以这个陀螺的表面积

是7tX62+2nX6X6H-7rX2VT3X6=（108+12，B）7i（cm2）.故选C.

（2）（2024・陕西安康模拟）已知正三棱台ABC-A\I3\Ci的上底面积为小，卜底面枳为4小，

高为2,则该三棱台的表面积为（A）

A.5<3+3^39B.3-739

C.5巾+18D.18

【解析】由题意可得正三棱台上、下底面边长分别为2和4,设G在底面ABC内的

射影为“，作“QJ_8c于点Q,连接C”，GQ,如图所示，则CiH_L平面ABC,ECu平面

ABC,则有G，_L8C,又HQ工BC,JHCHQ=H,C、H,"Qu平面Ci"Q,所以4C_L平面

CiHQ,因为CiQu平面G〃Q,所以8CJ_GQ,由8C=4,41G=2,BB产CC、,得CQ=1,

又ZHCQ=^,所以〃Q=平，则GORC阳2+HQ?=呼,故该三棱台的侧面积为与三义零

X3=3，而，表面积为5#+3啊.故选A.

规律总结k

空间几何体表面积的求法

（1）旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与

对应侧面展开图中边或弧之间的关系.

（2）多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.

【对点训练2】（1）（2024.山东青岛三模）在母线长为4,底面直径为6的一个圆柱中挖

去一个体积最大的圆锥后，得到一个儿何体，则该几何体的表面积为（C）

A.33兀B.39n

C.48兀D.57兀

解析：设圆柱的底面半径为r,高为儿体积最大的圆锥的母线长为/=护”=声不孕

=5,贝IS&=S（8”.,+S®u&+S图怪例=2方%+兀尸+兀”=24兀+9兀+15兀=48兀故选C.

（2）底面边长为2吸，且侧棱长为2小的正四棱锥的体积和侧面积分别为（A）

A.学24B.学6

C.32,24D.32,6

解析：由正四枝锥底面为正方形，且底面中心为顶点在底面上的射影，结合题设，得底

面对角线长为4,则正四棱锥的高为叱2小户-22=4,斜高为叱2小>一（6>=36,所以正

四棱锥的体积为:X4X2/乂2小=深，侧面积为：X3rX2啦X4=24.故选A.

考点3空间几何体的体积

[例5]（1）（2024♦山东潍坊三模）某同学在劳动课上做了一个木制陀螺，该陀螺是由两

个底面重合的圆锥组成.已知该陀螺上、下两圆锥的体积之比为1:2,上圆锥的高与底面半

径相等，则上、下两圆锥的母线长的比值为（A）

A.乎B.1

【解析】设上、下丙圆锥的底面半径为r,高分别为仙，鱼，体积分别为V,,V2,因

的母线长为4"+后=、户+户=立厂,下圆锥的母线长为，/1+优=中户+亦二小厂,所以上、

下两圆锥的母线长的比值为卷=华.故选A.

（2）（2024・天津卷）如图，一个五面体ANC-DEE已知4O〃BE〃b,且两两之间距离为1,

40=1,BE=2,Cr=3,则该五面体的体积为（C）

正

当

【解析】方法一如图，延长AQ到G,使DG=BE,延长4£到〃，使连

接GH,HF,GF,AF,BF,可得AG=BH=CF=3,结合AG//BH//CF,可知ABC-GHF

为三棱柱，因为四边形48EO与四边形，GOE全等，所以VF.ABED=V.HGDE=；VABGGHF,由

AG//BH//CF,且它们两两之间的距离为1,可知当ABC-G”尸为正三棱柱时，底面边长为1,

高为3,此时LBC-G〃「=*X12X3=¥.根据棱柱的性质，若4BC-G”广为斜三棱柱，则由

体积公式可得其体积也是3,,因此，VF-HGDE—VABCGHF=＞可得该五面体的体积V=

^ABC-GHF-VF-HGDE=^'.故选C.

方法二如图，用一个完全相同的五面体与该五面体相接，因为AD〃BE〃。匕E两两

之间距离为1,AQ=1,BE=2,CF=3,则膨成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截

面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1+3=2+2=3+1=4,VARC-DEF

=^VABC-HIJ=^'X^1X1义乎X4=^.故选C.

H,

B

规律总结

求空间几何体的体积的常用方法

公式法规则几何体的体积，直接利用公式

把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成

割补法

规则的几何体

等体通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体

积法积

【对点训练3】（1）（2024•江西九江二模）如图，在直三棱柱A8CA山Ci中，AB=AC=

A4i=2,ZBAC=^,P,E分别为棱AC，4Al上的动点（不包括端点），若AE=4P,则三

棱锥历-A/E的体积的最大值为（D）

解析：在直三棱柱ABC-AiSG中，A4_L平面ASG,故4E为三棱维E-AiSP的高，

设AE=A/=f,/e（0,2）,则4E=2-f,由NBA。4,得A8JLAC,故4B1JL4G,则5网W

=；4PXAiBi=r,故对八产=心产产=聂”［氏人|£=；42—/）=—：（/—1）2+；,故当t=\时,

三楂锥B\-A\PE的体积有最大值故选D.

（2）（2024.北京卷）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是命、合、升、斗-、斛五量合一的标准量器，

其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10

的等比数列，底面直径依次为65mm,325mm,325mm,且斛量器的高为230mm，则斗量

器的高为21mm,升量器的高为“直mm.（不计量器的厚度）

解析：设升、斗、斛量器的容枳分别为V\mm\V2mm\匕mm）由题意得匕=兀乂（与5

\230,则一/X

X23,所以斗量器的高为23mm:设升量器的高为"mm,

则-==匕=兀＞＜（拳）X2.3=TCX（与）4，解得力=57.5,所以升量器的高为57.5mm.

|高考创新方向深度理解概念

【例】（2024.山西晋城一模）若一个正〃棱台的棱数大于15,且各棱的长度构成的集合

为{2,3},则"的最小值为该棱台各棱的长度之和的最小值为它.

【解析】根据正棱台的结构特征可知，正〃棱台的总棱数为3〃（〃亍3,〃£N"）,则3心15,

解得〃＞5,所以〃的最小值为6.要想各棱长之和最小，则棱数总和要最小，故〃=6,又因为

棱台的上、下底面边长不相等，所以可取上底面边长为2,下底面边长为3,要使各棱长之和

最小，则侧棱长取2,故该棱台各棱的长度之和的最小值为2X12+3X6=42.

创新解读

本题考查棱台的几何特征，看似是求最值的题目，但是抓住正棱台上、下底面相似，侧

棱相等这些特征，题目瞬间可解.在复习过程中要重视对基础概念、基本知识的掌握和理解.

课时作业44

星基础巩固.

I.（5分）下列四个命题中正确的是（C）

A.每个面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥

B.所有校长都相等的四棱柱是正方体

C.以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做

圆柱

D.以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转

体叫做圆锥

解析：如图所示，在三棱锥A-BCO中，有4A=BC=CO=4D=〃，AC=BD=b,a^b,

满足每个面都是等腰三角杉，但该棱雄不是正三棱锥，A错误；底面为菱形的直四棱柱，其

侧棱与底面边长相等，该四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，B错误；以矩形的一边

所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，C正确：以直角

三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆

摊.，D错误.故选C.

2.（5分）在高为6的三棱柱ABC-A\B\C\中，秒C是底面△A8C的水平放置的斜二

测直观图，如图，00=06=2,OC=小，则三棱柱A8C-A3G的体积为（D）

A'O'B'

A.6小B.8小

C.12V5D.2473

解析：直观图△AbC对应的原图形为如图所示的△ABC,其中O4=07V=2,OB=O'Bf

=2,0C1AB,OC=2O'C'=2#,因此△ABC的面积5,，以腕=88。。=4小，所以三棱柱

A4CA出G的体积为V=SA八BCX6=24，5.故选D.

3.（5分）（2025・八省联考）底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（A）

A.当itB.n

C.2nD.3兀

解析：由题可知圆锥的底面半径R=l,母线长/=2,则高〃=花次=4尹？=小，

所以圆锥的体积为V=/i/?2/?=W兀.故选A.

4.（5分）在高为3的直三棱柱ABC-ABiG中，△ABC是以C为直角的等腰三角形，

且/W=2也，其中。为棱81G的中点，”为线段8C上的匆点，则AM+M。的最小值为（B）

A.3+小B.y/26

C.2+VlbD.5

解析：将等腰直角三角形A8C沿8c翻折到与矩形8CGS共面，如图所示，AM+MO

的最小值为AD,由于4。=8。=2W乂乎=2,GD=1,所以4D=d（2+3由+）=/.故选

B.

5.（5分）（2024.天津北辰区三模）我国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有

3个国家能够独立开展载人航天活动.从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九

天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百年来，中国人以穴同的方式表达着对未知领域的探索

与创新.如图，可视为类似火箭整流.罩的一个容器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱

组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2,圆柱的面为6,圆锥的高为4.若将其内部

注入液体，已知液面高度为7,则该容器中液体的体积为（A）

A.喑

215兀

C.~9~

解析：由题意可知容器中液体分为两部分，下部为圆柱，上部为圆台，取轴极面，如图

所示，Oi,02,。3分别为A8,CD,EF的中点、,AB//CD//EF,且。用=QC=2,O\Oi

=6,02P=4,。2。3=1,则。3P=3,可得1=3竽=；，即。3r=:，所以该容器中液体的

体积为7tX22X64-1x7tX224-7rXX,-325H

XI-12，.故选A.

6.（5分）（2024.新课标I卷）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的

高均为，5，则圆锥的体积为（B）

A.2小兀B.3小冗

C.日5兀D.州3兀

解析：设圆锥的底面半径为几则圆锥的母线长为木可，由圆柱和圆锥的侧面积相等,

可得2小仃=”义13+户,解得/=3,圆锥的体积为（义兀乂32义小=3小兀.故选B.

7.（5分）（2024.湖南衡阳三模）已知圆锥SO（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）

的母线长为由，高为小，P,Q为底面圆周上任意两点（P,O,Q三点不共线），则三棱锥

O-SPQ体积的最大值为（A）

A基B基

/A'3D•3

C.2小D.4小

解析：如图，圆锥的底面半径为4（巾/一（小户=2,则SAS"=；XSOXOP=^X于X2

=小，要使三棱锥O-SPQ的体积最大，需使底面AS。尸上的高最大，故需使OQ_L平面SOP,

因为平面SOP_L底面圆。，且交线为0P,所以只需使OQ1OP即可，此时（VaSP°）max=

(VQ-S")max=(xS&S0pXOQ=；X小X2=^^^.故选A.

s

p

8.（5分）（2024.湖北武汉二模）灯笼起源于我国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人

们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图I,某灯笼的轮廓由三

部分组成，上、下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.

如图2,“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于

截面的直径被截得的•段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为V=^3R-h）h2,其中A是

球的半径，力是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm,圆柱的高为4cm,圆柱的底面圆直径

为24cm,则该灯笼的体积约为（参考数据：兀*3）（B）

图1图2

A.32000cm3B.33664cm3

C.33792cm3D.35456cm3

解析：该灯笼去掉圆柱部分的高为40—8=32（cm）,设灯笼球缺的高为小cm,球缺所在

32

球的半径为Ricm,则凡一加=卞=16,由圆柱的底面圆直径为24cm,则有（RL〃I）2+12?

=/?T,即162+122=/?T,解得R=20,则力尸4,该灯笼的体积V=2V«u+V^~2V=

4jr

2X4X122X7u+^XnX203-2X^X（60-4）X42^3456+32000-1792=33664（cn?）.故选B.

9.（7分）（多选）（2。24.云南红河州二模）如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的

半径，贝I下列选项中正确的是（ABD）

A.圆锥的轴截面为直角三角形

B.圆锥的表面积大于球的表面积的一半

C.圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为兀

D.圆锥的体积与球的体积之比为1：4

解析：设球的半径为R.如图所示，OB=OA=OC=R,所以N84C=全故A正确；圆锥

的表面积为与=兀心+加长陋氏=兀/^+啦兀心，球的表面积为§2=4兀所以S]>^S2,故B正

InR

确；圆锥的母线长为gR,底而周长为2乃仁所以圆锥侧而展开图的圆心角的弧度数为

、伤/?

小式,故C错误：圆锥■的体积为Vi=g・7rR2-/?=17iR3,球的体积为甘兀R’，卷=；，故D正

确.故选ABD.

A

B（<^£bc

10.（7分）（多选）如图所示，△A7TC是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中。C

=O'A,=2O'B,,O7T=2,则以卜正确的有（ABC）

7

C/O'A~7

A.OA=4

B.△ABC是等腰直角三角形

C.08=4

D.△ABC的面积为8

解析：还原△A4C,如图所示，根据题意得O4=0C="C=4,O8=2O7T=4,故A,

C正确：因为0A=03=0C=4,所以N8C4=N84C=45°,则NC84=90。，故△A8C是等

腰直角三角形，故B正确；△A8C的面积S=：XACXO8=Jx8X4=16,故D错误.故选

ABC.

II.（7分）（多选）妇图，正方体人BCD-AEC。的棱长为4,动点E,产在棱人月上,

旦石尸=2,动点Q在棱。9上，则在三楂锥4-EFQ中，下列说法正确的是（AD）

D'QC

A.△£FQ的面积与点E,产的位置无关

B.三棱锥4-EFQ的体积与点Q的位置有关

C.三棱锥A-EFQ的体积与点E,F,。的位置都有关

D.三棱锥A，-EFQ的体积与点E,F,。的位置均无关

解析：如图，连接AZ）',BC,因为48〃C7）',且4B=。。'，可知四边形4BCQ'为平

行四边形，且人4_1_平面人DO7T,又人O'u平面人。。7V,则八BLAD',可知四边形/WC。'为

矩形，所以△£7；Q的面积SAEF0=4£F・AO'=：X2X4吸=4地，即△EP。的面积为定值，与

点、E,产的位置无关，故A正确；因为4。」平面A88'A',且平面488/'〃平面COD'C,

可知三棱锥QWEF的高为A,D,=4,所以三棱推4-E产。的体积VX-EFQ=VQ-AEF^^D'S^EF

=：X4X；X2X4=与，即三棱锋4-E尸。的体积为定值，与点、E,F,。的位置均无关，故B,

C错误，D正确.故选AD.

12.（7分）（2024•山西吕梁二模）已知圆台002的高为3,中截面（过高的中点且垂直

于轴的截面）的半径为3,若中截面将该圆台的侧面分成了面积比为1：2的两部分，则该圆

台的母线长为＞

解析：如图，设圆台的上、下底面圆的半径分别为r,R,因为中截面的半径为3,所以

根据梯形中位线性质可知r+R=6.又中截面将该圆台的侧面分成了面积比为I：2的两部分，

所以根据圆台侧面积公式可知半抖=£口=.，解得