2026年九年级下册数学专项培优：二次根式的化简与求值

专题01二次根式的化简与求值

阅读与思考

二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、

换元等技巧.

有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、

二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：

1、直接代入

直接将已知条件代入待化简求值的式子.

2、变形代入

适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.

数学思想：

数学中充满了矛盾.，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式

与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学

就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展.

想一想：若五=«（其中%都是正整数），则、都是同类二次根式，为什么？

例题与求解

【例1】当.=1+4002时,代数式（41?_2005厂2001产3的值是（）

A、0B、-1C、ID、-22003

（绍兴市竞赛试题）

[例2]化简

a\[h+b\[a(4b1)\fb

(1)

y/a\[ab-b4a+y/ba-b

（黄冈市中考试题）

710+>/14+715+721

（五城市联赛试题）

"+46+3/

(&+G)(6+a)

（北京市竞赛试题）

3后—W—2#+36—公+18

(4)

石+26+1

（陕西省竞赛试题）

解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通

过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.

思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也

广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.

【例3】比（〃十后十大的最小整数是多少？

（西安交大少年班入学试题）

解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x=G+=

想一想：设x=J19-,求工6工21+1+23的值.（“祖冲之杯”邀请赛试题）

x-lx+5x+15

形如：y）A±y[B的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.

【例4】设实数x,1y满足"+4+1)(丁+//+])=1,求/+),的值.

(“宗泸杯”竞赛试题)

解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.

【例5】(1)代数式+4+J(12-X)+9的最小值.

(2)求代数式—8x+41+J「2一4%+13的最小值.

(“希望杯”邀请赛试题)

解题思路：对于(1),目前运用代数的方法很难求此式的最小值，的几何意义是直角边

为a,。的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于(2),

设)=而了;手+府工二手"，设A(x,0),8(4,5),C(2,3)相当于求A6+AC的最

小值，以下可用对称分析法解决.

方法精髓：

解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.

【例6】设机=+<a<2),求zn10+/??9++川7+一/〃-47的

值.

解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.

能力训练

A级

71^2008.1^2008

1・化简：岫+35?侬（“希望杯”邀请赛试题）

2.若x+y=\]3\l5-yf2,x-y=小3叵_也，则xy=___（北京市竞赛试题）

____________71^7__________________________________________

、i(V1997-71999)(V1997->/200T)(V1999-V200T)(Vi999-V1997)

3.il•算：.____

_________________________

(V20(M->/1997)(>/2001-x/1999)

(“希望杯”邀请赛试题)

4.若满足UVxVy及&5函=五+6的不同整数对（x,），）是（上海巾竞赛试题》

5.如果式子J（x-J（戈-2产化简结果为2r—3,则工的取值范围是（)

A.xW1B.Q2C.WD.x>0

6、计算J14+6逐-J14-66的值为()

A.1B.逐C.2>/5D.5

（全国初中数学联赛试题）

7.4,b,C为有理数，旦等式a+b叵+杰=』5+2述成立,贝U2〃+999力+1001。的值是（）

A.1999B.2000C.2001D.不能确定

（全国初中数学联赛试题）

8、有下列三个命题

甲：若明£是不相等的无理数，则3+。-4是无理数;

乙：若明£是不相等的无理数，则4二4是无理数；

a+0

丙：若明尸是不相等的无理数，则JZ+/是无理数；

其中正确命题的个数是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

（全国初中数学联赛试题）

9、化简:

x6-y«yG762限

(1)(2)

Xy[y+y\/xy>/x-xy[yG+夜-行

E+5V7+46

7+V77+V66+V42

小5-旧

(4)（天津市竞赛试题）

Vl()+3->/6-J15

y/3+y/5

(5)（“希望杯”邀请赛试题）

3-V6-V10+VI5

八3_s

1()、设2-,求代数式(x+D(x+2)(x+3)(x+4)的值.

（“希望杯”邀请赛试题）

11、已知,7/2+9x+13+J7%2—5%+13=7x,求x的值.

12、设丁=住?建,%=住1+坐（〃为自然数），当口为何值，代数式19/+123冲+19），2的

VH+1+VH，〃+1-yln

值为1985?

B级

1.已知x=-^—f=,y=-^—f=.则丁+12xy+yy=

（四川省竞赛试题）

2+62-5/3

2.已知实数K,y满足（X心2008）（），yjy22008）=2008,则3--2y243.r-3），-2007=_

（全国初中数学联赛试题）

4-x/7x2

3.已知尤二—匚,那么1~；—=_____.（重庆市竞赛试题）

3x+x+1

4.〃=孤+蚯+M,那么2+三+［=.（全国初中数学联赛试题）

aa~a

5.a,〃为有理数，且满足等式=+用丽则。+8=（）

A.2B.4C.6D.8

（全国初中数学联赛试题）

6.已知。二后=2夜—#,c=#—2,那么〃，b,c的大小关系是（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<h<cD.c<a<b

（全国初中数学联赛试题）

7.已知«=」=—«,则的值是（）

A.Cl---B.dC.ClH-D.不能确定

aaa

8,若［a］表示实数。的整数部分，则［-----d等于（）

>/16-6x/7

A.1B.2C.3D.4

（陕西省竞赛试题）

9.把/一一!一中根号外的因式移到根号内，则原式应等于（）

Va-\

A.\J\-aB.yjci-XC.-yjd—1D.—