2024-2025学年广东省广州市荔湾区九年级（上）期末数学试卷

2024.2025学年广东省广州市荔湾区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.）

1.（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

2.（3分）下列方程为一元二次方程的是（)

A.x+2y=0B./-2=0C.x=2xi+3D.3x=l

3.（3分）下列事件是必然事件的是（）

A.某校300名学生中，至少有2名学生的生日是同一天

B.圆内接四边形的对角互余

C.直径是圆中最长的弦

D.打开电视，正在播放《新闻联播》

4.（3分）如图，已知点A,B,C在。0上，NCOA=100°,贝（）

5.（3分）对于二次函数y=-G+1）2+4,下列说法正确的是（）

A.当・1时，y随工的增大而增大

B.函数图象的对称轴是直线、=1

C.函数有最人值1

D.函数图象与X轴有2个交点

6.（3分）某社区为改善环境，决定加大绿化投入.四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入49万元，

设五月份和六月份该社区绿化投入的月平均增长率为x，根据题意所列方程为（）

A.25（1+x）+25（l+2x）=49

B.25（1+x）2=49

C.25（1-x）2=49

D.25+25（1+x）+25（l+x）2=49

7.（3分）如图，A。是半圆。的直径，B,。两点在半圆上，且崩=庶=丽，点P在丽匕若/PCB

8.（3分）游乐园里的大摆锤如图1所示，它的简化模型如图2,当摆锤第一次到达左侧最高点A点时开

始计时，摆锤相对地面的高度j随时间，变化的图象如图3所示.摆锤从A点出发再次回到A点需要（）

秒.

9.（3分）已知△48C的边8。=2&，且△A4C内接于半径为2的。0,则NA的度数为（）

A.60°B.45°C.45°或135°D.60°或120°

10.（3分）如图，已知二次函数y=a?+/u-+c的图象与x轴交于（-3,0）,顶点是（-1,m），则以下结

论：

①R?cV0：

②〃+/>+(?=0；

③若yWc,则-2WxW0；

④〃+c=2,n-

C.3D.4

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）

II.（3分）若点（a,4）与点（2,-4）关于原点对称，则。=

12.（3分）将抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度.所得到的抛物线解析式

为•

13.（3分）已知相，〃是方程x2-2x-3=0的两个根，则代数式-2〃?+/”〃的值为.

14.（3分）如图，这是某电路的示意图，随机闭合开关Si,52,53,中的任意2个，能同时使2盏小灯泡

15.（3分）如图是一个残缺圆的一段圆弧，在圆弧上任取两点A,从连接作A3的垂直平分线交A8

于点。，交AS于点C.己知AB=4>/3cnhCD=2cm，则阴影部分的面积为cm2.

16.（3分）如图，等边△/WC内接于BC=12代，点。为尻•上一动点，BELOD于点、E,当点/）由

点8沿元运动到点C时，线段AE的最大值是.

B

三、解答题（本大题共9小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（4分）解方程：x（2x7）=2（2v-5）.

18.（4分）若川，X2是关于x的一元二次方程x2-10x+4〃z=0的两个实数根，且XI+“2+XIX2=26,求〃?的

值.

19.（6分）如图，在平面直角坐标系中，点A（4,0）,8（3,3）,C（0,-1）.

（1）以点C为旋转中心，把△48C逆时针旋转90°,画出旋转后的B'C；

（2）在（1）的条件卜,

①点/V的坐标为；

②点8经过的路径曲，的长为（结果保留n）.

20.（6分）在一个不透明的口袋里装有分别标••行数字2,I,1的二个小球，除数字不同外，小球没有

任何区别，每次试验先搅拌均匀.

（1）从中任取一球，将球上的数字记为则二次函数），=苏-2叶3的图象开口朝下的概率

为;

（2）从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标，记为不放回），再任取一球，将球上的数字作

为点的纵坐标，记为卜用树状图或列表法表示出点（泉y）所有可能出现的结果，并求点（x,y）在

以原点为圆心，遍为半径的园内的概率.

21.（8分）如图，以点。为圆心，AB为直径作圆，在。。上取一点C,延长A8至点。，连接3C,使得

NDCB=ADAC,过点A作AE垂直于AD交DC的延长线于点E.

（1）求证：8是的切线；

（2）若CD=4,AO=8,求人E的长.

22.（10分）某公司经销一种绿茶，每千克成本为40元.市场调查发现，在一段时间内，销售量“，（千克）

随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：卬=-Zi+240.设这种绿茶在这段时间内的销

售利润为），（元），解答下列叵题：

（1）请直接写出y与x的关系式；

（2）当销售单价x为何值时，俏售利润的值最大，最大值为多少？

（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得24（X）元

的销售利润，销售单价应定为多少元？

23.（1（）分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（x+1）2+^（。#0）与x轴交于点A（-4,0）和

点R,连结AC.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求线段AB的长度；

（3）点P是抛物线上的一个动点，满足求点尸的坐标.

24.（12分）已知抛物线G：y=a.r+bx+c（«>0）过点4（xi,2）,点8（4，2）,点。（1,-3a+c）.直

线/：y=6+〃过点。（2,0）,交线段A8于点£,记△AOE的面积为Si,笈的面积为S2,且Si

=52+4.

(1)用含。的式子表示从

(2)求直线/：、=履+〃的解析式；

(3)当xiVx2,c=3a时，已知点广(5,加)在直线/上，若抛物线G与线段。尸有且只有一个交点,

求a的取值范围.

25.(12分)如图，以点P(-l,0)为圆心的圆，分别与x轴相交于B,C两点，与)，轴相交于A,。两

点、,PB=2,点M与点A关于点P成中心对称.

(1)请直接写出点8,点M的坐标；

(2)动直线/从与84重合时开始绕点8顺时针旋转角度a(0°<a<60°)后，与直线CW相交于点

E,过点£作EG_Lx轴，垂足为G,Q为3E的中点,连接MQ,QG.请问在旋转过程中NMQG的大

小是否变化？若不变，请求出/MQG的度数；若变化，请说明理由.

(3)将(2)中的0°<a<60°改为0°<a<l80°,其余条件不变，当△M0B为等边三角形时，求

点G的坐标.

备用图

2024.2025学年广东省广州市荔湾区九年级（上）期末数学试卷

选择题、填空题答案速查

题号12345678910

答案ABCCDBADCD

、928

11.-212.y=(.r+l)2+213.014.-15.^TT16.6V74-6

a

选择题、填空题解法提示

io.解：•・•抛物线开口向上，

•・•抛物线的顶点坐标为（-1,小），

・•・抛物线的对称轴为直线k-义=-1，

：,b=2zi>0,

•・•抛物线与y轴的交点在），轴的负半轴，

••・cV0,

,\abc<0,所以①正确；

•・•抛物线与x轴的一个交点为（・3,0）,抛物线的对称轴为直线工=-I,

・•・抛物线与x轴的一个交点为（1，0）,

即x=1时，y=（）,

.\a+b+c=（）i所以②止确；

•••抛物线与y轴的交点坐标为（0,c）,

而点（0,c）关于直线1=-1的对称点为（-2,c）,

・••当jWc时，所以③正确；

当x=-1时，m=a-b+c,

■:b=2a,a+b+c=0,

*.c=-3a,

J,tn=a-2a-3a=-4a,

而a+c=a-3a=-2a,

a+c=々"I,所以④正确.

故选：。.

16.解•：连接。8,0C,延长8。交AC于点”，设。8的中点为。以点7为圆心，78为半径作。丁，连

接AT交Or于点人如图所示：

•・•等边△ABC内接于00,且BC=12d5,

：.AC=BC=AB=12V3,NCBA=N8CA=60°,

：,BHLAC,CH=AH=^AC=65/3,NCBH=N0CH=30°,

在RSCH中，由勾股定理得：BH=VBC2-CH2=J(12佝2_(66尸=18,

在RtZXOCH中，N0CH=30，,

：・0C=0B=20H,

：,BH=OB+OH=3OH=\S,

：・OH=6,

：,OB=OC=2OH=\2,

:,TB=TO=6,

•••OT的半径为6,

即TF=TB=6,

•・・8E_L。。于点E,

：・NOEB=90°,

・••点E在OT上，

即当点。由点8沿B弧C运动到点。时，点E在0T上运动,

根据点与圆的位置关系得：当点E于点尸重合时，4E为最大，最大值是线段A/的长,

在RlAAE/中，TH=TO+OE=6+6=12,AH=6痘,

由勾股定理得：AT=yjTH2+AH2=122+(66/=6夕,

：,AF=AT+TF=6g+6.

工线段AE的最大值是66+6.

解答题参考答案

17.解：x(2x-5)=2(2x-5)

x(2x-5)-2(2,r-5)=0,

(x-2)(Zv-5)=0,

：,x-2=0^2x-5=0,

5

--

A-22

18.解：・・31,X2是关于x的一元二次方程IOx+4〃?=。的两个实数根,

/.Xl+.¥2=10,X\X2=^mt

,・31+X2+XLV2=26,

10+4"?=26,

:.m=4.

故答案为：（-1,3）.

②由勾股定理得，BC=4+32=5,

.•・点8经过的路径丽'的长为犯”=-7T.

1802

故答案为：|TT.

20.解：（1）三个数值有2个负数，

所以从中任取一球，将球上的数字记为小则二次函数），=«/-2X+3的图象开口朝下的概率二多

故答案为：

(2)画树状图为:

开始

-1i-21-2-1

共有6种等可能的结果,它们是(-2,-1),(-2,1),(-1,-2),(-I,I),(1,-2),(1,-1),

其中有2个点在。0内，它们是(-1,1),(L-1),

所以点(弟)，)在以原点为圆心，伤为半径的圆内的概率昙二/

21.(1)证明：连接0C,贝iJOC=OA,

：.ZOCA=ZDAC,

・：/DCB=/DAC,

:./DCB=NOCA,

•••A4是。。的直径，

・・・448=90°,

，ZOCD=ZOCB+ZDCB=ZOCB+ZOCA=NACB=90°,

〈OC是O。的半径，KCDIOC,

二•CD是。。的切线.

(2)解：・・・AE_LA。，即AE_OA,

・,.A£与OO相切于点4,ND4£=90°,

•••CE于OO相切于点C,

：.AE=CE,

VCD=4,AO=8,

：.DE=4+CE=4+AE,

,21

\AD+AE=DEri

A82ME2=(4+AE)2,

解得A£=6,

的长为6.

E

故答案为：)，=-2?+320.v-9600；

(2)y=-2r+320j-9600=-2(x-80)2+32OO,

•・•-2<0,

・•・当x=80时，y的值最大，最大值为3200,

••・当销售单价x为80元时，销售利润的值最大，最大值为3200元；

(3)当y=2400时,可得方程-2(A-80)2+3200=2400,

解得M=60,X2=100,

•••物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，

/.x=60,

・•・当销售单价为60元时，可获得销售利润2400元.

23.解：(I)将点人的坐标代入物物线表达式得：0=9〃+*则〃=-4，

则抛物线的表达式为：)=一上(X+1)2+1；

(2)令尸一,(工+1)2+3=0,则x=-4或2,即点3(2,0),

则A3=2-(-4)=6：

(3)当点。在x轴下方时，

•・・/PB4=NG4B,WOPB//AC,

由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：)=%+2,

则直线PB的表达式为：)=|(X-2),

当点P在X轴上方时，

则的表达式为：)=-3(/-2),

联立和抛物线的表达式得；L(x-2)=；(卢1)2|7或1(x_2)=I(A+1)2।9

244，44

解得：x=2（舍去）或・2或-4.5,

则点尸(-2,2)或(一义，一约.

24.解：(1)令x=l,贝ljy=a+A+c=-3a+c,

:.b=~4a；

(2)•・•直线/：)=匕+〃过点。(2,0),

・••()=2&十〃,

n=-2k,

•・•抛物线的对称轴为直线犬=-/=2,4,B的纵坐标相等,

.*.X|+JV2=4,

对于直线/：y=kx-2k,令y=2,则x=竽

K

2k+2

・•・£(―;—,2),

k

VD(2,0),AB所在直线为：y=2,

到AB的距离为2,

11

A5i-52=1X2XAE-1x2XRE=AE-BE=4,

华一…x2-竿)=4,

k