2025北京某中学高三12月月考数学试题及答案

2025北京北师大实验中学高三12月月考

数学

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

I.已知集合4=｛乂-1<%<2｝，B=1x|y=Vi-x｝,则4()

A.(-1J)B.C.D.(-«A2)

2.当数白在复平面上所对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知〃x)是定义在R上的奇函数，当入Y0时/(x)=/+x,则/(2)的值为()

A.2B.-2C.6D.-6

4.已知向量"=(2㈤，£+3=(4,—3),若。则4的值可以为()

A.-4B.-2C.2D.3

5.过抛物线V=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于48两点，它们到直线工=-2的距离之和等

于7,则()

A.3B.4C.5D.7

6.若直线心•+少-。-2〃?=0与圆C:(x-2)2+/=4交于力，B两点,当»用最小时，劣弧崩的

长为()

n-4兀-2兀一

A.-B.—C.—D.兀

233

2

7.设制e(O,l),若o=lg〃？，力=lg〃尸，c=(lgzn),则()

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>h>a

8.如图，四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于5,点E在线段SA上，且满足SE=-SA,过

C。下三点的平面与S8交于点F,则四边形。以匕的周长为()

A.8+2V19

B.16

局^口

C.14

D.8+V19

9.已知数列仇｝为等比数列，贝上数列｛%｝为单调递增数列”的条件是“对•任意〃wN.有

%+2＞心恒成立”.()

A.充分不必要B.必要不充分C.充分且必要D.非充分非必要

10.己知双曲线=的左、右焦点分别为。F2.过行向一条渐近线作垂线，垂

足为P.若|叫|=2,直线班的斜率为正，则双曲线的方程为()

4

,*>

A.工上二1二-J

8448

x2y2.v2V

C.------------=ID.---------------=1

4224

二、填空题

11.若用号球心距离为1的平面裁球体所得的圆面半径为3,则球的表面积为一.

12.若(2+x)(l-2%)'=4+4［二+%/+…+，则《+%+%+…+/=.

13.如图，网格纸上小正方形的边长为1.从4优。,。四点中任取两个点作为向量B的始点和终点,

则之力的最大值为

D

14.已知函数/(x)=V？sin0x,g(x)=0cos6yx,其中。＞0,48。是这两个函数图像的交点，且不

共线.①当口=1时，A48C面积的最小值为；②若存在A48c是等腰直角三角形，则口的最

小值为.

15.已知各项均不为零的数列｛〃“｝,其前〃项和是5“,％=〃，且1=%＜，(〃=1,2/)给出如下结

论：

①。2=1；

②若｛4｝为递增数列，则。的取值范围是(。，1)：

③存在实数。，使得｛见｝为等比数列;

④3mGN*,使得当k＞帆时，总有马-＜

局^口

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题

16.如图，在正三棱柱48C-44G中，底面边长为2,侧棱长为G，。是3c的中点.

(1)证明：48〃平面4)G；

(2)求直线4瓦与平面4QG所成角的正弦值；

17.在V/BC中，hcosA+aco^B=c2.

⑴求c的值；

(2)己知sinC=1,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得V,"。存

在且唯一，求V/14C的周长.

条件①：4=：；

条件②：44边上的高为|；

4

条件③：«=y.

注：如果选择的条件不符合要求，第(ID问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按

第一个解答计分.

18.2019年7月30日国家市场监督管理总局笫11次局务会议审议通过《食品安全抽样检验管理办

法》，自2019年10月1口起实施.某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物

含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于55%为优级品，固形物

含量低于55%且不低于50%为一级品，固形物含量低于50%为二级品或不合格品.

(1)现有6瓶水果罐头，已知其中2瓶为优级品，4瓶为一级品.

(i)若每次从中随机取出1瓶，共取两次，且取出的罐头有放回，求恰有一次取到优级品的概

率；

(ii)对这6瓶罐头依次进行检验，每次检验不放回，直到区分出6瓶罐头的等级时终止检验，记

检验次数为X,求随机变量犬的分布列与期望：

(2)已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为且各件产品是否为优级品相互独立，若

在10次独立重复抽检中，至少有8次抽到优级品的概率不小于7x0.759(约为0.5256).直接写出

局^口

P的最小值.

19.椭圆。：5+£=l(q>b>0)的左、右焦点分别为配鸟,七是椭圆C上一点，且

比周=2,怛用+|跖|=4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)M,N是y轴上的两个动点(点〃与点E位于x轴的两侧)，4MF、N=4MEN=90,，直线EM交

x轴于点P,求U的值.

20.己知函数/(x)=lnx-〃吟g(x)=1x2-1.

乙乙

(1)讨论/(X)的单调性；

(2)若加=0,求曲线y=/(x)与曲线y=g(x)的公切线;

2

(3)已知〃(x)=/(4)+g(x),若方(％)的两个极值点为％,x2(x2<x]<CX2),求才(再)一人(修)的取值范

围.

(2x»〃为偶数

21.正整数列区｝定义如下：西=1,对〃>0有％=J,心存机，

2xn+1,〃为奇数

_[2xn,"为奇数

超川=124+1,〃为偶数.

(1)直接写出。2,七，七,司;

(2)对meN,若％=2加，求北的值：

(3)证明：每个正整数在数列｛.%｝中出现且恰好出现一次.

局^口

参考答案

题号12345678910

答案BDBACBCACD

1.B

【分析】求函数的定义域求得集合6,进而求得/CB.

【详解】对于函数y=1-A>0,A<1,所以6={人|人41},

所以408=(7』］.

故选：B

2.D

【分析1先利用复数乘法运算和除法运算化简复数，然后利用复数的几何意义求解即可.

i'-i—+i)1-i11

［详解］因为"j-7=­-7=Tj-.x=^-=--->,

l-il-i+222

所以兔数二在更平面上所对应的点为位于第四象限.

1-1121)

故选：D

3.B

【分析】根据奇函数性质以及x<0时的解析式求解即可.

【详解】由于/(x)是定义在R上的奇函数，则"2)=-〃-2),

由于当x<0时/(>)=/+*，则/(-2)=2,

所以/(2)=-2,

故选：B.

4.A

【分析】根据向量的加法运算结合数量积公式计算求解.

【详解】因为方=(2乂)，5+=(4,-3),所以/=(2，-3-孙

因为4J.1，所以4%=0,

即4-32-/12=0,解得4=1或4=一4.

故选：A.

5.C

【分析】利用抛物线的准线与点的横坐标的关系，求出4、8横坐标之和，再结合焦点弦长公式计

算网.

【详解】抛物线V=4x的准线为％=-1,“=2.

局^口

设力（孙,打）、8（/，%），则力、B至U直线4二-2的距离之和为（以十2）十（/十2）二3十小十4.

由题知该和为7,故孙+/+4=7*口+&=3.

根据抛物线焦点弦长公式，\AB\=xA+xff+p=3+2=5.

故选：C.

6.B

【分析】化简直线方程化为*-2）+4（）-1）=0,得到直线恒过定点M（2,l）,结合圆的性质和圆的

弦长公式，即可求解.

【详解】由题意，直线"”+码，-。-2m=0可化为〃?（x-2）+a（y-l）=0,

当工-2=0且尸1=0,即x=2且y=l时，等式恒成立，

所以直线恒过定点”（2,1）,

由圆的方程知，圆心为。（2,0）,半径l=2,

当MCI直线时，取得最小值，且最小值为2护二H祈'=2"万=2百，

如图，

此时弦长48对的圆心角一半的正切值为行，故圆心角为三，

所以劣弧长为*2=与.

故选：B.

7.C

【分析】由对数运算公式可得方=2侬〃，由条件结合对数函数的性质可得lg〃?<0,结合不等式性质

比较。也c大小.

【详解】V/HG（0,l）,

局^口

a=1g///<0,b=｛^nf=21gm<1gm=a,c=(lgw)->0,

：.c>a>h.

故选：C.

8.A

【分析[通过四棱锥S-/18CD的所有棱长都等于5,确定其为正四棱锥，再结合余弦定理求得

CF,DE,即可求解.

【详解】四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于5,

所以四棱锥为正四棱锥，

所以力8c。是正方形，

因为AB//CD；又力8u平面S/出，C。/平面S/4,

所以C。//平面S18：

乂平面CDEFCI平面SAB=EF,

所以CDHEF,所以EF//AB；

333

囚为S£=2S*,所以S尸=己5'6=3,所以E尸月8=3；

555

△S8C中，SB=BC=SC=5,所以CF=QSC、SF2-2SCXSFXCOS^=M；

同理。E=如，

所以四边形QE/7。的周长为CD+QE+E/+fC=5+M+3+M=8+2M，

故选：A.

9.C

【分析】利用等比数列及递增数列的性质判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义判断即可

得.

【详解】设｛%｝的公比为夕且400,

若M为递增数列，则j>%”>。”恒成立;

若对任意〃eN•有4+2>%恒成立，则%.2=。应2>%，所以%(/_1)>0,

4“>0时，q<T或夕>1,显然夕<7时4”.1=。应<0,不符;

所以夕>1,此时勺+]=可0>。“,则｛%｝为递增数列；

能<0时,TvgvO或0<”。显然T<9<0时％川=。应>0,不符；

所以0<4<1,此时。川=%9>4,则｛4｝为递增数列；

综上，”对任意〃WN•有见+2>见恒成立”是“数列｛q｝为单调递增数列”的充要条件.

故选：C

10.D

局^口

八bb..

【分析】先由点到直线的距离公式求出力，设/00瑞:0,由tan〃=i^=£得到Qp|二。，

|。国=。.再由三角形的面积公式得到外，从而得到小，则可得到。_=巫，解出。，代入双曲

a~+24

线的方程即可得到答案.

因为鸟(c,0),不妨设渐近线方程为y=即加-砂=0,

所以|〃用=7及1=械=6,

da2+b，c

所以b=2.

设/。。工=,则tan0=^LR=g,所以|OP|=。，所以|。眉=心

因为卜〃=卜.孙,所以丹二妙，所以tan〃="=K=2,所以与=^，

22ciauc

因为耳(-c,0),

ab

l-cab2aa-41

明以“a；=——=----r=-------=――-=—»

a~a~+ccr+a~+4a~+24

一+c

c

所以近(/+2)=4%解得”近,

所以双曲线的方程为《-《=1

24

故选：D

11.40冗

【分析】利用球的截面的性质和勾股定理求得球的半径，然后利用球的表面积公式求解即可.

【详解】用平面去截球所得截面圆的半径为3,由球心到该截面的距离为I,则球的半径

r=Ji+3?=\/|7），

局^口

所以球的表面积为S=47rx(Vio)2=407r.

故答案为：407r.

12.-5

【分析】根据已知，应用赋值法求出对应参数、系数和，即可求.

【详解】令x=0,则”O=(2+O)X(1—2XO)7=2,

令x=l,贝+%+…+《=(2+l)x(l—2xl)7=3x(_l)=-3,

所以勺+%+%+…+为=-3-%=-3-2=-5.

故答案为：-5

13.3

【分析】由图可知，要使7否取到最大值，即要求向量6在向量。上的投影最大，然后再根据图形

即可求出结果.

【详解】由题意可知：则必5=|司•问cosG@=Wcos(a,5),

所以要使取到最大值，即要求向量5在向量值上的投影最大，

由图形可知：当向量坂=就时，向量5在向量"上的投影最大，

即a.B=忖cos<a,h>=Vfo

即的最大值为3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查向量的数量积几何意义的应用，考查数形结合以及计算能力.

14.171—

2

【分析】①利用函数的图象和性质的应用求出三角形的底和高，进一步求出三角形的面积；

②利用等腰直角三角形的性质的应用求出。的最小值.

【详解】函数/*)=&$而公％晨工)=&855，其中0>0,4,8,C是这两个函数图象的交点，

当e=1时，/(x)=&sin0x,g(x)=&cos©x.

所以函数的交点间的距离为一个周期2乃，高为啦."+理.拒=2.

22

所以：5旷席=3,2乃(1+1)=2万.

如图所示:

局^口

①当e=1时，A48c面积的最小值为2产；

②若存在是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,

则*•伊争"料解得。的最小值好

故答案为：2乃，—.

【点睛】本题主要考杳了一..角函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思

维能力，属于基础题型.

15.①②④

【分析】根据的递推关系可得4+2-4=1，所以｛%｝的奇数项和偶数项分别为公差为1的等

差数列，进而得生”.1=。+(〃7必=〃，即可结合选项求解.

【详解】由邑=《4+1(〃=1,2r)得工+]=。/24”+1，相减可得

\+1-Sn=%+2%+1-->%+1=(4+2一%)，

由于｛q｝各项均不为零，所以%+2—%=1，所以｛%｝的奇数项和偶数项分别为公差为I的等差数

列，

对于①，一。2=1，故正确；

对于②，由于｛/｝的奇数项和偶数项分别为公差为I的等差数列，所以。22=〃+(〃—)，％,二〃，

若V〃eN*4+]>%,则需要办£2,。2'+|>%”-ina+〃>〃>a+(〃T)，贝UO<”1,故正

确，

对于③，。2”.广。+(〃—1)，。2.=〃，若｛%｝为等比数列，则2=—"、为常数,则〃=1，

此时出=1,故。2刀=〃，%,=〃，进而可得数列的项为1,122,3,3,…，显然这不是等比数列，故错

a2n-]

误，

对于④，若上<=W_[<2°°，只要%足够大，一定会有。+左_1>0,

味"I

则纪尸>2-°小=?>2-°机-1,只要人足够的大，『趋近于0,

kkk

局^口

而2-0小-1<0,显然能满足:>2-°创-1,故而cN”,当心加时，总有马-<2”\故正确，

Ka2k-l

故答案为：①②④

【点睛】方法点睛：本题考查了数列的递推公式，数列单调性及与数列有关的比较大小问题.根据

数列前〃项和与数列的项的递推关系求通项公式时，注意分析〃="之2,在处理涉及隔项数列问

题，一般要考虑分〃为奇数和偶数来分类讨论，含参的恒成立或者存在类问题，先分离参数，转化

为求式子的最大值或最小值问题来处理.

16.（1）证明见解析

【分析】（I）利用中位线证明线线平行，再证明线面平行即可；

（2）利用正三棱柱的性质如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线面角的正弦值:

【详解】（1）如图，连接4。交4G于点。，连接。。，

则点。为4c的中点，且。是〃。的中点，

则0。为A/fC的中位线，所以OO//48.

又因为0Du平面ADCX,48a平面ADC{,

所以48〃平面4）G.

B

（2）取8£的中点F,

因为在正V/4C中，。是4。的中点，散ADJ.BC,

因为三棱柱48c为正三棱柱，

所以CG，平面A8C,

又因为。是8C的中点，E是的中点，

所以。/〃CG，

所以平面/BC,所以Obl.BC,DF1AD,

以。为坐标原点，分别以04DB、。/为x,乂z轴，建立空间直角坐标系,

局^口

则。(0,0,0),J(x/3,0,0),Cl0,-1,0),5(0,1,0),4(4O.G)，C.(0,-1,73),4(0,1,司.

故丽=卜61,0),次=(Go.O),西=(o,-l,6),

设平面ADC、的法向量为加=（X,y,Z）,

m-DA=JIx=0「

则_L，令y=6则x=0,z=l,即加=(0,6,1).

iii.OC]=-y+J3N=0

设直线44与平面4Z）G所成均为。，

可得sin8=|cos（44,而，=^^=乎，

所以直线4片与平面AOG所成角的正弦值为也.

4

17.（l）c=l

（2）i+Vio

【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再结合两角和的正弦公式化简求解C的值；

（2）根据所选条件，结合正弦定理、三角形面积公式等求出三角形的其他边，进而求得周长.

【详解】（1）由正弦定理-^~；=-^==£二及bC0S4+4C0S8=c2

sinJsinnsinC

得sin8cos4+sin4cos5=csinC.

所以sin（4+8）=csinC.

所以sin（"C）=csinC.

又因为Ce（O,兀），所以sin（7t-C）=sinCx0.

所以C=l.

⑵选条件①：因为且白

sinC

csinB5近

所以“

sinC6

因为b>。，所以8>C.所以Ce1o,5

局^口

又因为sinC=3,所以cosC=Jl—sin」C=±.

55

在山•/•(冗应4a37&

所以sin/l=sin—+C=——x-+——x-=----.

(4J252510

又白二白，所以。=也=述.

siMsinCsinC6

所以V48C的周长为〃+Rc=l+逑+迫=l+2&.

66

选条件②：因为。=1,48边上的高为,，所以凡,吠=;.

3133

又因为sinC=g,所以

所以必=3.

因为sinC=1,所以cosC=±Jl—sin2C=±1.

44

(1)当cosC=w时，由+从-2"cosC,得1="+〃-2〃6、三.

又就=三,所以/+/=5.

所以4=/?=.

2

所以V/18C的周长为a+/)+c=l+

(2)当cosC=-1时，由C2=/+〃-2"COSC,得1=。2+/_24”(一1).

又必=:，所以/+82=_3,不符合题意.

综上，v力8c的周长为〃+/)+。=1+■yr^.

4

选条件③：4=W

44496

由余弦定理C2=/+//-2MCOS。，PJW1=(-)2+^2-2X-6X-,即9从-彳6+7=0。

解得八彳5或〃=看7，此时V43C不唯一，不符合要求.

464

18.(1)(i)-；(ii)分布列见解析，£(%)=—

*

【分析】(i)根据概率乘法公式求解即可：

(ii)由题意可知，X的取值可能为2、3、4、5,计算出随机变量X在不同取值卜.的概率，可得出

局^口

随机变最X的分布列，进而可求得K(x)的值：

(2)设在10次抽检中至少有8次抽到优级品的概率为/(P),利用独立重复试验的概率公式可求

出/(P)的表达式，利用导数分析函数/(P)的单调性，即可得出P的最小值.

【详解】(1)(i)设恰有•次取到优级品的概率为产，

由题知每次取出优级品的概率为［=故p"C；x|x(l-

0JJ\/X

(ii)根据题意可知X的取值可能为2、3、4、5.

则。(>=2)=当=’，尸(X=3)=^£^=2,

p(X=4)=A：+C产A；=土=5)=人：*C；C；A：=j_.

15Z15

则X的分布列为：

X23L5

1248

P

151515百

所y以、i七vt(Xv)\=2fxl—+35x—2+(4x4—^+58x—=—64.

''1515151515

(2)设在10次抽检中至少有8次抽到优级品的概率为/(p),

则/(〃)=C：0Psi(1—p)~+C；op9(l—=45/(1—+10/(1—p)+“°

=p"(362*-80p+45),其中Ocpcl,

因为/'(P)=360p7(p-所以/(p)在(0」)单调递增.

注意到/⑶=7小丫,所以广之故夕的最小值为).

'⑷44

19.(1)—+^-=1；(2)3.

43

【分析】(1)根据椭圆定义直接求解即可；

(2)设出必(0,，〃)(〃?>0),根据直角的性质求出N点坐标、E点的纵坐标，进而求出点尸坐标，最

后利用两点间距离公式进行求解即可.

【详解】(I)因为|£玛|=2,同|+|跖|=4,

所以2<?=2,24=4=。=1,。=2;/=4;:-/=3、.•.椭圆方程为土+乙=1；

43

(2)因为A/,N是y轴上的两个动点，所以不妨设"(0,〃?)(/〃>0),N(0,〃)，

因为点M与点七位于x轴的两侧，所以设凤方,)%)(先<()),所以至+五=1,

43

局^口

由(1)知C=1,所以石(-1,0),

因为NMF、N=90,所以“FM.仆=-1=>；.:=-1=〃=,

11m

因为NMEN=90，所以

1

_-----；'o1

kk2

EM-EN=-1=>“".—----=-l=>x0+y（；+加（一一m）—1=0，

r°-x0m

而立+应=1,所以义2+3必（〃L_L）_9=。，解得为=一3〃?或y0=3,

43mm

因为No<。，〃?>0，所以为二一3"，

因此无”=———，所以直线EM的直线方程为：

%

y=--x+mf令），=0,得产之，即P（20）,

【点睛】关键点睛：根据直角得到N点坐标、E点的纵坐标是解题的关键.

20.⑴当〃T0时，/（X）在（0,+8）单调递增：当机>0时，f（x）在（（）,5）单调递增，在单

调递减

⑵尸x-1

【分析】（1）求出导函数，根据〃?的取值情况，讨论导函数的正负，即可得出答案；

（2）根据两个函数的解析式设出切点坐标，根据导数写出切线斜率，然后写出切线方程，列式求

解即可；

（3）根据条件求出司—二1，$e（Lc），然后构造函数求出函数值域即可.

【详解】（1）/'（幻=1—加=匕竺（》>0）,

XX

当加4（）时，/'（x）>0在x>0时恒成立，此时/（X）在（0,+田单调递增：

当初〉0时，令/'（x）=Onx=L,

m

当xe（0,2卜寸，f\x）>0,〃x）单调递增，

当x/L+s］时，f\x）<0,/（x）单调递减,

局^口

综上当时，/(x)在(0,+力)单调递增；当机>0时，/。)在(。弓)单调递增，在(5,内)单调

递减：

(2)w=0=>/(.¥)=Inx,<(x)=-(x>0),g'(x)=x,

x

设公切线在/(X)上的切点坐标为(/Jn/),则切线的斜率为/")=；,f>0,

此时切线方程为2=l*T)+ln/=L-l+hW,

tt

(\\\

设公切线在g(x)上的切点坐标为P,-P2--，则切线的斜率为g'(P)=P，

INL)

此时切线方程为歹=P(X-P)+g-=PX-一；，

1

1

所以1,In//>0时两边都是单调的,

,,1121，)

—1+In/=—p2—

22

且f=l时，等号成立，故f=l,

公切线方程为y=x-i

(3)〃(x)=/(》)+g(x)=InX-

2